Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau Troisième

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Cours d'arithmétique
Cours, Chapitre en Mathématiques (2010) pour Troisième

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• Langue: Français

Extrait

1) Unpeu de vocabulaire

Arithmétique

Soient A et B deux nombres entiers. Lorsque je cherche les entiers Q et R tels que A=BQ+R avec 0≤R<B, je dis que j'effectue la division euclidienne de A par B. Exemple 0 : je veux partager 90 bêtises pour 48 chocolats. J'écris 90=1×4842. En conclusion, je peux mettre une bêtise avec chaque chocolat, et il reste 42 bêtises. ATTENTION !!!la division décimale90:48=1,875 est correcte mais ne permet pas de partager les bêtises car on ne les coupe pas en morceaux. ATTENTION !!! les écritures 90=2×48–6et90=−3×48234 sont correctes mais ne permettent pas de partager les bêtises ; ce ne sont pas des divisions euclidiennes.

Soient A et B deux nombres entiers. Lorsque la division euclidienne de A par B a un reste nul, je dis indifféremment que : « B est un diviseur de A » ou que « A est un multiple de B ». Exemple 1 : 1274 est-il multiple de 49 ? 84 est-il un diviseur de 1974 ? Exemple 2 : établis la liste de tous les diviseurs de 225.→RAPPEL DES CRIT7RES Exemple 3 : démontre que si 24 est un diviseur de A, alors 8 est aussi un diviseur de A. Exemple 4 : démontre que si A est un multiple de C et que B est un multiple de C, alors A+B est aussi un multiple de C.

Un nombre entier supérieur à 1 a toujours au moins deux diviseurs : 1 et lui même. Si ce sont les seuls, alors je dis que c'est un nombre premier. Exemple 5 : 2, 3, 5, 7, 11, 13 sont des nombres premiers ; 4, 6, 8, 9, 10, 12 ne le sont pas.

Deux nombres ont toujours au moins un diviseur commun : 1. Si c'est le seul, alors je dis que ce sont des nombres premiers entre eux. Exemple 6 : 24 et 15 ne sont pas premiers entre eux car 3 est un diviseur commun ; 24 et 25 sont premiers entre eux car 1 est leur seul diviseur commun.

Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont premiers entre eux, alors je dis que la fraction est irréductible 24 24 Exemple 7 : la fractionn'est pas irréductible ; la fractionest irréductible. 15 25 2) PGCD

Le Plus Grand Diviseur Commun de deux nombres s'appelle leur PGCD. 1001 Exemple 8 : la fractionest-elle irréductible ? 1309 Exemple 9 : un confiseur a fabriqué 48 chocolats et 90 bêtises. Il souhaite les vendre en constituant un maximum de lots tous identiques et en utilisant tous les chocolats et toutes les bêtises. Comment faire ?

On peut calculer le PGCD de deux nombres avec l'algorithme d'Euclide.

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3) Lepoint sur les nombres

Les nombres qui peuvent s'écrire comme une fraction, c'est à dire une écriture de la forme A où A et B sont des nombres entiers, s'appellent lesnombres rationnels. B Ceux qui ne le peuvent pas s'appellent les nombres irrationnels. Exemple 10 : Rationnels Irrationnels 2 5×  2  2 24 23; ;4,5; 2×3−3;  2;;  2; ; 3 15 ×  2 9 

Rappel : si un nombre rationnel est égal à une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10, alors je dis que c'est un nombre décimal.

Commentaires sur la leçon : « arithmétique »

Cette leçon concerne l'étude des problèmes portant sur des nombres entiers. Dans les années antérieures, j'avais déjà abordé les notions suivantes : division pour le partage d'une collection, diviseur d'un nombre entier, critères de divisibilité pour simplifier les fractions, nombre décimal, nombre non décimal.

Cette année j'ai vu comment calculer le PGCD de deux nombres. Cela sert : au partage de deux collections simultanément, à la simplification des fractions lorsque les critères sont inopérants : il faut savoir le faire. Je dois également connaître le sens du vocabulaire « nombres premiers », « nombres premiers entre eux », « fraction irréductible », « nombre rationnel », « nombre irrationnel ». J'ai également revu les techniques de calcul avec les fractions et le calcul littéral.