Devoir Surveillé (DS) de Mathématiques de niveau BTS

Kdouh, Kdouh

Description

Avec correction. Partiel-3
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2011) pour BTS CIG

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Extrait

PARTIEL N°3 MATHEMATIQUES BTS-CIG1 -2010-2011

Exercice1op0n1is:t Partie A : Exploitation du graphique

4

3

2

1

-1

0

K 0,5

1

1,5

2

(C)

(D)

2,5

3

3,5

4

1. On admet que l’axe des ordonnées et la droite (D) sont asymptotes à la courbe C dessinée ci-dessus limf(x) limf(x)  représentant une fonctionf. En déduire : et x|0x|#¥ æ 1 1 2. Le point K; est le point. D’après le re ) ç ¸ commun à C eprésentation graphique :t (D è 3 3 ø  a) Quelle est la position de C par rapport à ( D) ?  b) Quel est le sens de variation def?

Partie B : Justification des observations graphiques 3 1 3 1  On pose f(x)1x# %g(x)1x# # ; 2 2 x x x x 1. Expliquer pourquoi C ne peut pas représenter la fonctiong.

limf(x) lim [ f(x)%x ] 2. Calculer puis . Donner une interprétation graphique de ce dernier résultat . x|#¥ x|#¥ 3 x#3x%1 3. a) Montrer que pour toutxstrictement positif,f(x) peut s’écrire : f(x)1 2 x limf(x)  b) Calculer . En donner une interprétation graphique. x|0 2 (x#2)(x%1) 4. a) Calculerf' (x) et montrer que : f'(x)1 pourx> 0 . 3 x  b) Etudier le signe def' (x) et donner le tableau de variation def.  c) Déterminer une équation de la droite ( T ) tangente à C au point A d’abscisse 1 . 5.  a) Montrer que l’équationf(x! 10 admet une solution uniqueadans l’intervalle ] 0 ; 1[. % 3  b) Donner un encadrement d’amplitude 10 dea.

6. Montrer que C possède une tangente T' parallèle à l’asymptote (D) ; donner une équation de T' . ( ! ( !

Exercice3ts:01inpo 2 x%4x#7 nie sur ¡\ { 1 } : f(x)1 et on appelle f  On considère la fonction f défi par x%1  sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;i;j plan d’unité graphique 2cm.) du

limf(x) limf(x) 1°. Calculer x|1 et x|1 ) ?.Que peut-on en déduire pour la courbe ( x21x01 c a c x 2° . a) Montrer qu’il existe trois réels , b et tels distinct de 1 :que pour tout réel f(x)1ax#b# x%1 b) Calculer la limite de f en +¥et en%¥.

c) Montrer que la courbe ( f ) admet une asymptote oblique (D) que l'on précisera.  Etudier la position de ( f ) par rapport àD

3°. Etudier les variations defpuis dresser son tableau de variations

1 4° Soit D la droite d’équation : y3 .  Déterminer les coordonnées des points A et B intersections de  A étant des deux points celui dont l’abscisse est la plus petite.

f avec la droite D.

T 5° Déterminer les équations réduites des tangentes ( T A ) et ( B ) aux points d’abscisses 2 et 5 de  la courbe ( f ). 6°- Montrer que le point I1;%2 ! est le centre de symétrie de la courbe (

T 7° Construire dans le même repère orthonormé (O;i;j ) les droites ( A ) et ( T B ) la droite ( D ) et ]1 ;#¥[  la courbe f dans l’intervalle .

limf(x)1 %¥ lim 1. puisque l’axe des ordonnées comme asymptote verticale et x|0 x|#¥

f(x)1 #¥

æ 1 1 K; 2. Le point ç ¸ est le point commun à C et (D) . D’après le représentation graphique : è 3 3 ø  a) Quelle est la position de C par rapport à (D) ?  Sur l’intervalle ]0; 1/ 3 [ , la courbe C est en dessous de la droite (D)  Sur l’intervalle ]1/ 3 ;#¥[ , la courbe C (D)est au dessus de la droite  b) la fonction f]1 ;]0; 1[ et sur l’intervalle est strictement croissante sur l’intervalle #¥[ etf(1)13 . 3 1 3 1 B. On pose f(x)1x# % ; g(x)1x# # 2 2 x x x x 1. Expliquer pourquoi C ne peut pas représenter la fonctiong. 3 1 3 1  On a : f(1)11# % 11#3%113 et g(1)11# # 11#3#114 2 2 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 f(1/ 3)% 1 #1 # 9%91g(1/ 3)1 # ## 1 9#9118# ¹  et 2 2 3 1/ 3 (1/ 3) 3 3 3 1/ 3 (1/ 3) 3 3 3 limf(x) lim [ f(x)%x ] 2. Calculer puis . Donner une interprétation graphique de ce dernier résultat . x|#¥ x|#¥ æ 3 1 ö æ 1 ö æ 1  limf(x)1limx# % 1limx#3 lim%lim ( ! ç 2 ¸ ç ¸ ç 2 ¸ x|#¥ |#x¥ |#¥x|#¥x|#¥x è x x ø è x ø è x ø æ 1 ö æ 1 ö limf(x)1 #¥ lim ( x ! 1 #¥et3 lim10etlim10  donc . ç ¸ ç 2 ¸ x|#¥ x|#¥ |#x¥ |#¥x è x ø è x ø y x  On déduit que la droite (D) d’équation est une asymptote de la courbe ( C ) au voisinage de #¥ 3 3 1x#3x%1 3. a) x# % 1 1f(x ) . 2 2 x x x 1 3 æ ö  b) On peut écrire f(x) sous la forme d’un produitf(x)1 ( x#3x%1 ! ´ ç ¸ 2 è x ø 3 æ 1 ö 3 æ 1 ö lim ( x#3x%1 ! 1 %1 limf(x)1lim ( x#3x%1 ! ´lim , or et lim1 #¥ ç 2 ¸ ç 2 ¸ x|0 è x ø è x ø x|0|x0|x0 x|0 limf(x)1 ( %1 ! ´ ( #¥ ! 1 %¥  Donc . On déduit que la droite d’équation x 1 0 est une asymptote de la x|0  courbe ( C ) au voisinage de 0. 2 (x#2)(x%1) 4. a) Calculerf' (x) et montrer que : f'(x)1 pourx> 0 . 3 x 2 2 3 3 ( 3x#3 ! ´x% ( x#3x%1 ! ´2x x ( x%3x#2 ! 4 2 4 2 4 2 3x#3x%2x%6x#2x x%3x2#x f'(x)1 1 1 1 2 4 4 4 2 x x x ( x ! 3 2 2 3 2 2 3 x%3x#2 (x#2)(x%1) (x#2)(x%2x#1)x%2x#x#2x4%x2#x3%x2# f'(x)1 . 1 1 1 1f'(x) 3 3 3 3 3 x x x x x  b) x 0 1 #¥ 3  + + x x # 2 + +  + 0 + 2 ( x%1 ! f'(x 0 + ) + #¥ f(x) 3

2 (x#2)(x%1) f'(x)10Û 10 3 x 2 (x#2)(x%1)10 2 x#210ou(x%1)10 x12ou x%110 Ûx12ou x11

c) Déterminer une équation de la droite ( T ) tangente à C au point A d’abscisse 1 . ( ! T:y1 f'(1)10 etf(1)13 doncy1f'(1)x%1#f(1)10#31 donc 3 , A 3 . 5.  a) Montrer que l’équationf(x! 10 admet une solution uniqueadans l’intervalle ]0 ;1[ . % 3  b) Donner un encadrement d’amplitude 10 dea. 3 1 % 1 2  La fonction f est strictement croissante sur ]0;1[ ; f(0, 5)10, 5# % 10, 5#02, 5 6 4 2 0, 5 0, 5 3 1 f(0, 25)10, 25# % 10, 25#12%161 %3, 7500  , l’équationf(x! 10 admet une solution 2 0, 25 0, 25  uniqueadans l’intervalle 0, 25 ; 0, 5 et à l’aide de la calculatrice on obtient : . [ ] %4 ;a £2 £ f(0, 32);%7´1000  et f0, 32 0, 33 .(0, 33) 0, 00282 0 , donc 6. Montrer que C possède une tangente (T ’) parallèle à l’asymptote (D) ; donner une équation de (T’). 3 x%3x#2 3 3 2  Sur l’intervalle f'(x)1 11Ûx%3x#21xÛ %3x#210Ûx1 3 x 3 % æ 2 ö 8 / 27#2%1 ( 8 27 ! / 27 %5719 / 27 f1 1 1 1 % ç ¸ è 3 ø 4 / 9 44 / 9 4 / 9 æ 2 ö æ 2 ö æ 2 ö æ 2 ö 57 179 1 % # 1 ´ % % 1 % y f'x f1x x ç ¸ç ¸ ç ¸ ç ¸ è 3 ø è 3 ø è 3 ø è 3 ø 4 12

Exercice 2 2 2 limx%4x#711%4#714 ü limx%4x#711 2%5#4 1 ü % # x|1 ï |x1 ï Þlimf(x)1 %¥ Þlimf(x)1 #¥ 1°) % % # # ý ý x|1|x1 limx%110 limx%110 % ï # ï x|1 þ |x1 þ 2 2 æ x%4x#7 ö x pourx¹0, limf(x)1lim1lim1limx1 #¥d'oùlimf(x)1 #¥ ç ¸ x|#¥ |#x¥ |#¥x|#¥x|#¥x x%1x è ø 2 2 æ x%4x#7 ö x limf(x)1lim1lim1limx1 #¥d'oùlimf(x)1 %¥ ç ¸ x|%¥ |x%¥ |%x¥ |%¥x|%¥x x%1x è ø 2 2 2 4 (x%3)(x%1) 4x%x3%x3#4#x4%x7#4 x%3# 1 # 1 1 1f(x) doncf(x)1x%3# . x%1 (x%1)x1%x1%x1%x1 4 4 ö 4 f(x) % (x % 3) 1 ; lim ç ÷1 lim 1 0 , donc la droite d’équation y x3 est une asymptote x | #¥ x | #¥ x % 1 è x % 1 ø x  oblique à la courbe C au voisinage de # ¥ 5°)Position de la courbe C par rapport à l’asymptote (D’) :

x % 1 0 0 si et seulement si x01  ; x % 1 2 0 si et seulement si x 2 1

4 % f(x) (x % 3) 1 0 0 sur ] x % 1

¥ [ % ;1 , C

est strictement au dessous de la droite (D) d’équation y1x%3

4  et f(x) (x3) 0 sur 1; , C est strictement au dessus de la droite (D)d’équation y1x%3 % % 1 2 ] # ¥ [ x % 1

2 (2x%4)(x%1) (%x 3) f'(x)1 2 (x%1)

4%x

2 7)#1´2x 1

2%x

2 2 4x%4#x%4x#7%x2x%3 1 2 2 (x%1) (x1%)

2 2 f'(x) ] 1;#¥ [ est du signe de x%2x% 3 car (x%1)2 0 sur . 2  Calculons les racines du polynôme x%2x% 3 . 2 % 4 % 2 2 # 4 D 1 ( % 2)² % 4 ´ 1 ´ ( 3 % ) 1 4 1 # 2 1 1 6 2 donc 2 racines réelles :0 ; x 1 1 1 1 1 % et 2 x 1 2 2 2 2  Ce polynôme admet deux racines réelles –1 et 3 donc x%2x% positif à l’extérieur de ces3 est  racines –1 et 3 On en déduit le signe de f'(x) puis les variations de f 2 3 % 4 ´ 3 # 7 9 % 12 # 7 4  fadmet un minimum en 3 qui est : f(3) 1 11 1 2 3 % 1 2 2

x f'(x)

f(x)

¥ % 1 1 3 #¥  + 0 0 + #¥ #¥ % 6

¥

¥

 2

3 1

4°) 2 2 x%4x#7x%4x#7 2 2 f(x)1 13Ûx%4x#713x%3x%7x#101 x%1x%1 7%3 7#3 D 149%4´1´101920 donc 2 racines réelles :x1 12et x1 1 2 2 2 La droite d’équationy =3coupe la courbe représentative defen deux points d’abscisses 2 et 5. A(2 ; 3) et B(5 ;3) sont donc les deux points recherchés. T 5° déterminons les équations réduites des tangentes ( T A ) et ( B ) aux points d’abscisses 2 et 5 de la courbe : 2² % 2 ´ 2 % 3 4 % 4 % 3 f' (2) 1 1 1 % 3  coefficient directeur de la tangente au point A : (2 % 1)² 1  Equation de la tangente au point A : y1f'(2)x%2#f(2) .y1 %3x%2#313%x9# ( ! ( !  (T) :y1 %3x#9 A 5²%2´5%13 25 %0 3%12 3 f'(5)1 11 1  coefficient directeur de la tangente au point B : (5%1)² 16 16 4 3 3 15 12  Equation de la tangente au point B : y1f'(5)x%5#f(5) . y 1 (x % 5) # 3y 1 x % # ( ! 4 4 4 4 3 3  (T) :y1x% B 4 4 6) Construction de la courbe C et des droites (D), (T A ), (T B )

y

5

4

3

2

1

0

T A

1

C

A

T B

2

3

4

B

( D !

5

6

7

8

x

Exercice 31

2 %x#3x%6 ¡ { } f x1 et soi C la courbe re  Soit f \ 1 la fonction définie par ( ) t f présentative de f dans le x%1 repère  orthogonal(O;i,j)unit´es : 1cm sur l’axe des abscisses ; 2 mm sur l’axe des ordonnées. 1. a. Calculer les limites de f aux bornes de cet ensemble.  b. Déduire de la question précédente une asymptote D à C f . 2.. Etudier les variations de f . c 3. a. Déterminer les réels a, b, c tels que f(x) 1 ax # b # x % 2 x  b. Montrer que la droite ( D ) d’équation % x # 2 est asymptote à C f quand vers #¥ et vers ¥ .  c. Etudier la position relative de C f et de ( D ) . 4. a. Déterminer le coefficient directeur de la tangente T 1 à C f au point A d’abscisse 0.  b. Déterminer une équation de la tangente T 2 à C f au point B d’abscisse 2. 5. Déterminer tous e f a . les points d C yant une tangente parallèle à T 1 6 . Montrer que le point ( 1; 1) est centre de symétrie de C f . 7. Déterminer les points d’intersection de C f avec les axes de coordonnées. T T C 8. Tracer D, ( D ) , 1 , 2 et f . Exercice 2 3 2  On considère la fonction f définie sur ¡ par : f(x)1 %2x#4x#8x#18 1. Déterminer les limites de f en et en #¥ 2. Calculer la dérivée de f et étudier son signe .Donner le tableau complet de variation . 3. En déduire le nombre de solutions de l’équation f(x)10 m 4. Soit un réel . Donner sans justification le nombre de solutions dans ¡ de l’équation f(x)1m . m On envisagera les différents cas des valeurs de possibles

Exercice3 3 2  On définit sur R la fonctionfpar f(x) 1 x % x % 8x # 6 et C sa courbe représentative dans un repère . 1. Déterminer les limites de f en et en #¥ 2. Calculer f'(x) . Réaliser le tableau de signes def'(x) f et les variations de la fonction .