Fiche de Méthodes de Mathématiques de niveau Première

Tpautrel

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Introduction au raisonnement par récurrence
Fiche de Méthodes en Mathématiques (2010) pour Première S

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Extrait

Introduction au raisonnement par récurrence1ère S Le raisonnement par récurrence est la version mathématique du raisonnement de proche en proche. Soient P 0 , P 1 , P 2 ... des propriétés mathématiques. On sait que P 0 est vraie. On a P n vraie et on veut démontrer que P n+1 l'est aussi.

Principe: Soit P une propriété. ➢ Initialisation: P 0 est vraie. ➢ Hypothèsederécurrence:On suppose P n vraie donc qu'elle devrait également se vérifier au rang suivant, autrement dit P n <=>P n+1 . On essaye donc de montrer P n+1 à partir de P n . Exemple 1: Démontrer par récurrence la propriété suivante: « pour tout entier naturel n et tout réel strictement n 1x 1nx positif, . Démarche guidée: Initialisation: Vérifier P 0 . ➢ Hypothèse de récurrence: Quelle propriété supposons-nous vraie au rang n? Que cherchons-nous a ➢ établir? n1 n 1x 1x Comment exprimerà partir de? n1 1x 1n x1x En déduire queà partir de notre hypothèse de départ, soit que P n est vraie.

x Développer le membre de droite et factoriser le ensuite par. 1n1xn x²1n1x Que peut-on dire depar rapport à?

n1 1x 1n1x En déduire que.

Vous venez de démontrer l'inégalité de Bernoulli!

INFO:Jacques Bernoulli (1645-1705) est un mathématicien suisse. Il est connu en Terminale S pour le schéma de Bernoulli en probabilités.

n n−1 fx='x fx=n x Exemple 2: Démontrons par récurrence que si, f est dérivable sur IR et que. ➢ Initialisation: Vérifier la propriété pour n = 0, n = 1 et n = 2.

Hérédité: Formuler une hypothèse de récurrence. ➢ n1 n n x x x×x Exprimer enexprimant .On se propose donc de dériver le produit. uv'=... Rappeler la dérivée d'un produit n x×x Appliquer cette formule au produit:

n−1n n n x×xx=n1x En déduire que. Conclure.

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