Contribution à l’étude des paliers hybrides non conventionnels

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èmeXV Congrès Français de Mécanique Nancy, 3 – 7 Septembre 2001 243 CONTRIBUTION A L’ETUDE DES PALIERS HYBRIDES NON CONVENTIONNELS Ahmad ALSAYED, Mihai ARGHIR, Daniel NICOLAS Université de Poitiers Laboratoire de Mécanique des Solides, UMR 6610 CNRS SP2MI, Téléport 2, Boul. Pierre et Marie Curie, BP 30179, 86962 Futuroscope Chasseneuil Cedex, France Résumé : Pour des paliers hybrides munis de poches profondes et fonctionnant avec des fluides incompressibles, la modification de la forme de l’alvéole est un moyen qui permet d’influencer leurs performances. L’influence des alvéoles de forme triangulaire et circulaire est analysée par rapport à la poche rectangulaire conventionnelle. Dans l’étude numérique, l’équation de Reynolds est intégrée utilisant une méthode numérique de type volumes finis et un maillage triangulaire non structuré. Les résultats montrent que pour des fortes excentricités, les alvéoles triangulaires orientées dans le sens de rotation de l’arbre sont préférables aux poches rectangulaires. Abstract : For deep pockets hybrid bearings working with incompressible fluids, a possible way of affecting their characteristics is to modify the shape of the pockets. The influence of triangular and circular shaped pockets versus conventional rectangular ones is analyzed in the present work. Reynolds equation is numerically integrated using a finite volume based method and a triangular unstructured grid. The results show that for high ...

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XV ème Congrès Français de Mécanique 

Nancy, 3 – 7 Septembre 2001 

C O N T R I B U T I O N A L ’  P A L I E R S H Y B R I D E S N O NE T U D E D E S C O N V E N T I O N N E L S  

Ahmad ALSAYED, Mihai ARGHIR, Daniel NICOLAS

Université de Poitiers

Laboratoire de Mécanique des Solides, UMR 6610 CNRS

243

SP2MI, Téléport 2, Boul. Pierre et Marie Curie, BP 30179, 86962 Futuroscope Chasseneuil Cedex, France

Résumé :

Pour des paliers hybrides munis de poches profondes et fonctionnant avec des fluides incompressibles, la modification de la forme de l’alvéole est un moyen qui permet d’influencer leurs performances. L’influence des alvéoles de forme triangulaire et circulaire est analysée par rapport à la poche rectangulaire conventionnelle. Dans l’étude numérique, l’équation de Reynolds est intégrée utilisant une méthode numérique de type volumes finis et un maillage triangulaire non structuré. Les résultats montrent que pour des fortes excentricités, les alvéoles triangulaires orientées dans le sens de rotation de l’arbre sont préférables aux poches rectangulaires.

Abstract :

For deep pockets hybrid bearings working with incompressible fluids, a possible way of affecting their characteristics is to modify the shape of the pockets. The influence of triangular and circular shaped pockets versus conventional rectangular ones is analyzed in the present work. Reynolds equation is numerically integrated using a finite volume based method and a triangular unstructured grid. The results show that for high eccentricities, triangular pockets oriented in the same sense as the journal rotation speed are preferable to rectangular ones.

Mots clés :

palier hybride, calcul numérique, alvéoles non conventionnelles

1 Introduction

Un palier hydrostatique est dit hybride lorsque la génération de pression dans le film est due à la fois à une source de pression extérieure (effet hydrostatique) et à une vitesse suffisamment élevée des surfaces (effet hydrodynamique). L’intérêt d’optimiser les caractéristiques du palier en termes de capacité de chargement est évident mais il faut aussi prendre en compte de nouveaux effets. Par exemple, la vitesse élevée du rotor nécessaire pour engendrer un effet hydrodynamique sensible risque d’introduire un comportement instable du palier hybride qui n’était pas caractéristique pour le fonctionnement purement hydrostatique. L’étude qui suit est limitée à l’analyse des paliers hybrides lubrifiés avec des fluides incompressibles tels que l’huile ou l’eau et dont la profondeur de l’alvéole est très importante devant l’épaisseur du film et la pression qui y règne est quasi - constante. Dans ces situations une possible voie permettant de modifier les performances du palier hybride est la

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modification de la forme de l’alvéole. On trouve très peu de travaux sur les paliers comportant des alvéoles non - conventionnelles. La plupart des études effectuées à ce sujet concerne les paliers alimentés par des alvéoles rectangulaires. Par exemple, les récents travaux effectués par Sinhasan et al. (1989) et Sharma et al. (1992) montrent l’influence des alvéoles, de la charge, de la vitesse et des paramètres de la résistance hydraulique sur les performances statiques et dynamiques du palier. L’étude expérimentale de Franchek et Childs (1994) porte sur la forme de l’alvéole et l’inclinaison de l’injection pour un palier hybride à cinq alvéoles peu profondes qui occupent 20% de la surface développée. Le palier fonctionne à de très grandes vitesses de rotation qui correspondent à un régime d’écoulement turbulent. L’étude a montré que pour des poches peu profondes l’injection inclinée donne les meilleurs résultats du point de vue du comportement dynamique du palier. Sharma et Sinhasan (1998) présentent une étude théorique en régime laminaire des paliers hybrides à quatre alvéoles de formes différentes (rectangulaire, circulaire, elliptique et triangulaire) et dont la surface occupée est de 30 % de la surface totale. Leur étude a montré que le palier comportant des alvéoles rectangulaires présente de meilleures caractéristiques statiques, que le palier comportant des alvéoles circulaires présente la raideur directe la plus élevée et que le palier comportant des alvéoles triangulaires présente une bonne stabilité.  Dans ce travail nous allons présenter une étude numérique sur l’influence de la forme des poches sur les performances d'un palier hybride à quatre alvéoles (figure 1a, b). Les poches sont considérées comme étant suffisamment profondes pour que l’inclinaison et l’emplacement de l’injection ne jouent aucun rôle et que la pression y soit constante. Les résultats pour des alvéoles rectangulaires, circulaires et triangulaires ont été obtenus par l'intégration de l'équation de Reynolds à l'aide d’une méthode de volumes finis non - structurés. Il est montré que, dans certaines conditions, la modification de la forme des alvéoles peut avoir des conséquences intéressantes sur les caractéristiques des paliers hybrides.

2 Modélisation mathématique et résolution

En régime laminaire, isotherme, permanent et pour un fluide incompressible l’équation de Reynolds s’écrit : 3  r  ∇   1 h 2 ∇ µ P   = V 2 ∇h (1)  oùh=C ( 1+εcosθ )  est l’épaisseur du film,Cest le jeu radial,θ la coordonnée est circonférentielle, Pest la pression,µest la viscosité dynamique du fluide, V r ( ωR,0 ) avecωet R la vitesse de rotation et le rayon de l’arbre. Le palier hybride est composé du domaine occupé par les alvéoles et d’une zone de film mince modélisée par l’équation (1). Chaque alvéole est alimentée par une résistance hydraulique (tube capillaire, orifice) et la pression y est considérée comme étant constante. Le domaine du film mince est discrétisé à l’aide d’une triangulation de Delaunay (figure 2a). Conformement à la méthode des volumes finis, l’équation (1) est alors intégrée sur les volumes de contrôle délimités par les triangles de la discrétisation. La relation de Gauss Ostrogradski permet alors d’exprimer l’opérateur différentiel.  ∫ h 3 P   d ϑ ∫ h 3 P n d γ ∫ h 3 ∂ d P n γ= ∑ i h i 3 i   ∂ P n   i γ i ϑ   ∇  12 =  ∇ µ Γ 12µ ∇ r = Γ 12µ ∂12µ ∂    (2) oùϑetΓsont la surface et le périmètre de la cellule etγest la longueur d’une arête.

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θ 

o s   e x   o R  

(a)

h

ω  

46 859 mm

 

0

z

b=31,63 mm

(c)

a=30,057 mm

(b)

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L=60,114 mm

2πRθ 

d=34,79 mm

(d)

FIG. 1: a) Palier hybride, b) Palier développé, c,d) Alvéoles triangulaire et circulaire 

  La dérivée ( ∂P∂n ) i une arête du volume de contrôle représentée est ensuite estimée sur sur la figure 2b oùP 0, P 1 sont les pressions au centre de deux cellules adjacents,P a , P b , P c  sont les pressions sur l'arête commune,P A , P B  sont les pressions au sommets communs,n r  la est r direction normale au vecteurABet ξ est la direction du vecteurP 0 P 1 .      ∂ ∂n P    0 = P a d 0 − a P 0 , ∂  ∂ P  = P 1 − b P b        (3)  n  1 d 1 ∂    ∂   =    4 ∂ P n ∂n P   0 ,1 = d 0 P 1 a + − d P 0 1b + d 0 P a a + − d P b1 b  ( ) oùd ij  la distance entre deux points indiqués par i et j. Les relations géométriques sur la est figure 2b permettent d’écrire : d 0a +d 1b = ( d 0c +d 1c ) cosξ r ,n r =d 01 cosξ r ,n r  (5)   P a − P b =   P c + P B d A − B P A d ca  −   P c − P B d A − B P A d cb   =  P B d − AB P A d 01 sin n r , ξ r   (6)   Il résulte: B t  P r P 0  a  n  c P 1   P b

   

a

b

A

FIG. 2: a) Discrétisation du domaine, b) Cellules de la discrétisation 

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   ∂ ∂ P =   P 1 −P 0r + P B −P A tan r n,ξ r        (7) n  d 01 cos r n,ξ d AB et l’équation (1) discrétisée s’écrit alors : t 0 P 0 = ∑ t i P i +S 0  (8) i t h 3 γ  t 0 = ∑ t i  (9) i = 12 i µd i i 0 , i −   ∂   + ∑ i 3   −   S 0 ω = 2 R ∂ h x  0 ϑ 0 i 12 h µ  P B d AB P A  i tan n r ,ξ r  (10) Les pressions sont imposées sur les frontières du domaine suivant la direction axiale du palier et sur les bords des alvéoles. L’équation discrétisée est alors résolue par une procédure itérative de type Gauss - Seidel. Cette discrétisation de type volumes finis est originale et a l'avantage de respecter rigoureusement la conservation du débit de fluide. Ceci ne serait pas le cas des discétisations de type éléments finis ou différences finies. Finalement, le couplage du champ de pression dans le film mince avec la pression d’alimentation est assuré par le débit de chaque alvéole et par une procédure itérative de type Newton – Raphson (Frêne et al., 1990).

3 Résultats et discussion

Le calcul a été effectué pour une excentricité statique imposée selon la directionX  (figure 1a). Les caractéristiques du palier sont: diamètreD=60 mm, longueurL=60 mm, pression d'alimentation de l'alvéoleP s =10 bar, longueur et diamètre du capillairel c =96,6 mm, d c =0,542 mm, jeu radialC=0,033 mm et viscosité dynamiqueµ=0,0345 Pa⋅s. Trois types d’alvéoles ont été analysés : rectangulaires, triangulaires et circulaires. Les dimensions des alvéoles circulaires et triangulaires sont données sur la figure 1c,d et ont été choisies afin de garder le rapport de la surface totale des alvéoles à la surface totale du palier constant et égal à 0,3. Les alvéoles triangulaires de type 1 sont orientées dans le sens de rotation et celles de type 2 dans le sens inverse. La figure 5 présente la charge en fonction de l'excentricité relative pour une vitesse de rotationNde faibles et moyennes excentricités, la forme de=334 tr/min. On constate que pour l’alvéole a une influence négligeable sur la charge. Pour les fortes excentricités les paliers munis d’alvéoles circulaires et d’alvéoles triangulaires de type 1 ont des meilleures capacités de charge que le palier à poches rectangulaires. En même temps, le palier muni d’alvéoles triangulaires de type 2 à une capacité de charge légèrement inférieure. Les nappes de pression et les pressions moyennes suivant la longueur du palier et pour une excentricité de 0,8 sont présentées sur les figures 3 et 4 pour les alvéoles rectangulaires et les alvéoles triangulaires de type 1. On peut observer que pour de fortes excentricités l’effet hydrodynamique au voisinage de l’alvéole la plus chargée et très important. La charge supérieure du palier muni d’alvéoles triangulaires est due au fait qu’au voisinage de la section minimale, la zone occupée par le film mince est plus étendue ce qui favorise la génération de pression due à l'effet hydrodynamique.  Les coefficients de raideur directeK XX  croisée etK YX  sont estimés à l’aide des différences finies. F Y F Y i F Y i F X F X i F X i ,K YX = ∂  =  − −1  K XX ∂ ∂ = e X = e x i − − e xi −1 −1 ∂e X e X i −e X i −1  (11)

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F X = ∫ P cosθds , F Y = ∫ P sinθds  (12) s s oùe X est l'excentricité selon la directionX,F X etF Y sont les forces résultantes etSest la surface totale du palier. Les coefficients de raideur directe et croisée sont présentés sur la figure 6 en fonction de l'excentricité relativeε x =e x Cde la force résultante, les deux. Comme dans le cas coefficients de raideur sont peu affectés par la forme de l’alvéole pour les faibles et les moyennes excentricités. Par contre, aux fortes excentricités, le coefficient de raideur directe du palier à alvéoles triangulaires de type 1 est presque le double du coefficient du palier muni d’alvéoles rectangulaires. Ceci montre un meilleur effet de centrage. D’autre part, le coefficient de raideur croiséeK YX aussi pour le palier avec alvéoles triangulaires deaugmente     alvéoles rectangulaires    triangulaires de type 13.0E+006 alvéoles       2.0E+006       1.0E+006         0.0E+000    0.4 0.6 0.8 10 0.2 distance circonf. /(pi*D)    FIG. 3: Nappes de pression pourε =0,8 FIG. 4: Pression moyenne pourε =0,8       5   000 200   4      tesolvélaguanri)1( seri vloéel s 000 alaires l rectangu a   alvéoles triangulaires (2) alvéoles circulaires  0 3   000     _ Kxx Rec 2000 Kxx_Tri(1)   -200 Kxx_Tri(2)   Kxx Cer _   y _ K x Rec 1000 Kyx_Tri(1)   Kyx_Tri(2)   Kyx Cer _   0 -400   0 0.2 0.4 0.6 0.8  0 0.2 0.4 0.6 0.8 excentricité relative  excentricité relative      FIG. 5: Charge totale  6 FIG.: Coefficients de raideur 

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type 1 et pour des fortes excentricités ce qui traduit une possible influence déstabilisatrice.

4 Conclusion

La présente étude porte sur l’influence de la forme des alvéoles sur les caractéristiques des palier hybrides fonctionnant avec des fluides incompressibles. L’équation de Reynolds est intégrée utilisant une méthode numérique de type volumes finis et un maillage non structuré. Dans la situation des poches profondes, couramment rencontrée dans la situation des paliers lubrifiés avec des fluides incompressibles, la modification de la forme de l’alvéole est un moyen qui permet d’influencer les caractéristiques. Les résultats montrent que pour des fortes excentricités, les alvéoles triangulaires orientés dans le sens de rotation sont préférables aux alvéoles conventionnelles de forme rectangulaire. Ce résultat est dû au fait que, au voisinage de la section du jeu minimal, la zone occupée par le film mince est mieux utilisée dans le cas des alvéoles triangulaires que dans le cas des alvéoles rectangulaires classiques.

Références

Franchek, N.M. and Childs, D.W., 1994, "Experimentated Test Result for Four High- Speed High Pressure, Orifice-Compensated Hybrid Bearings,"ASME Jour. of Trib., 116, 1, PP 147-153. Frêne, J., Nicolas, D., Degueurce, B., Berthe, D., Godet, M., 1990, Lubrification hydrodynamique. Paliers et butées, Editions Eyrolles. Sinhasan, R. Sharma, S.C. and Jain, S.C., 1989, "Performance Characteristics Of an Externally Pressurized Capillary Compendated Flexibile Journal Bearings,"Trib. Int'l., 22, 4, PP 283-293. Sharma, S.C. Sinhasan, R., and Jain, S.C., 1992, "Performance Characteristics Of Multirecess Hydrostatic/Hybrid Flexibile Journal Bearings With Membrane-Type Variable- Flow Restrictor as Compensating Elements,"Wear, 152, PP 279-300. Sharma, S.C. Sinhasan, R. Jain, S.C., Singh, N. and Singh S.K., 1998, "Performance Of Hydrostatic/Hybrid Flexibile Journal Bearings With Unconventional Recess Geometries, "STLE Trib Trans., 41, 3, PP 375-381.    

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