Dérivation I Rappels sur les équations de droites

Description

Dérivation I Rappels sur les équations de droites Soit ( O ; ??i ; ??j ) un repère orthonormal. Soit D une droite. Deux cas sont possibles : • D est parallèle à l'axe des ordonnées : tous les points de D ont la même abscisse k. On dit alors que l'équation de D est : x = k • D est sécante à l'axe des ordonnées. Les coordonnées (x ; y) des point de D sont liées par une relation de la forme y = ax +b. a et b sont caractéristiques de D : * b est appelé l'ordonnée à l'origine de D . * a est le coefficient directeur de D . b est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées. O ??i ??j b y = ax +b a mesure l'inclinaison de la droite. • Si a > 0, la fonction affine associée à la droite est crois- sante. • Si a = 0, la fonction affine associée à la droite est constante et la droite est parallèle à l'axe des ordon- nées. • Si a < 0, la fonction affine associée à la droite est dé- croissante. O ??i ??j a > 0 a < 0 a = 0 Plus précisément : Page 1

• inclinaison de la droite


• tangente


• axe des ordonnées


• interprétation graphique


• coefficient directeur


• point de coordonnées


• ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées

Sujets

• Tangente
• Coordonnées cartésiennes
• Pente (mathématiques)

Informations

• Publié par: Ecole-pour-tous
• Nombre de lectures: 55
• Langue: Français

Extrait

Dérivation
I Rappelssurleséquationsdedroites
³ ´→− →−
Soit O ; i ; j unrepèreorthonormal.
SoitD unedroite.
Deuxcassontpossibles:
• D estparallèleàl’axedesordonnées:touslespointsdeD ontlamêmeabscissek.
Onditalorsquel’équationdeD est: x=k
• D estsécanteàl’axedesordonnées.
Lescoordonnées(x ; y)despointdeD sontliéesparunerelationdelaformey=ax+b.
a etb sontcaractéristiquesdeD :
* b estappelél’ordonnéeàl’originedeD.
* a estlecoefficientdirecteurdeD.
b estl’ordonnéedupointd’intersectiondeladroiteavecl’axedesordonnées.
y=ax+b
b
→−
j
→−O
i
a>0
a mesurel’inclinaisondeladroite.
• Sia>0,lafonctionaffineassociéeàladroiteestcrois-
sante.
• Si a = 0, la fonction affine associée à la droite est
constante et la droite est parallèle à l’axe des ordon-
a<0nées.
→−
j• Si a< 0, la fonction affine associée à la droite est dé-
→−Ocroissante. i
a=0
Plusprécisément:
Page1Interprétationgraphiqueducoefficientdirecteur:
B
Δy y −yB A
a= =
Δx x −xB A
Δy
A
Δx
→−
j
→−O
i
Commentutiliserlecoefficientdirecteurpourtracerunedroite?
Exemple:TracerladroitepassantparlepointA(2;1)etdecoefficientdirecteurégalà3.
Δy
Nousavonsvuquelecoefficientdirecteurpouvaits’écrire .
Δx
Δy 3
Parconséquent:a= =3=
Δx 1
Sil’onchoisitdeprendreΔx=1,alorsΔy=3Δx=3×1=3.Parconséquent,enpartantdeA,l’onsedéplacede
+1unitéenabscisses(doncde1unitéversladroite)etde+3unitésenordonnées(doncde3unitésverslehaut).
Δy=3×Δx=3
A
→−
Δx=1j
→−O
i
Δy
Sia estlecoefficientdirecteur,ona:a= doncΔy=a×Δx;enchoisissantunevaleurpourΔx,oncalculela
Δx
valeurcorrespondantepourΔy.
Si,aulieudeprendreΔx=1,onavaitprisΔy=2,onauraittrouvéΔy=3×2=6;enpartantden’importequel
pointdeladroite(Aouunautre),sil’onsedéplacede2unitésparallèlementàl’axedesabscisses,onsedéplace
danslemêmetempsde6unitésparallèlementàl’axedesordonnées.
Page2
bbbII Tauxdevariationd’unefonction
Définition:
Letauxdevariationd’unefonction f entrea etx estlenombre
f(x)−f(a)
x−a
f(a+h)−f (a)
Enposantx=a+h,cetauxdevariations’écritaussi .
h
Interprétationgraphique:
Soit f unefonctiondecourbereprésentativeC.
Notons A le point de coordonnées (a ; f(a)) (point fixe) et M le pointde coordonnées (a+h ; f(a+h)) (point
variable).
f(a+h)−f(a)
Le taux de variation de f entre a et a+h est le coefficient directeur de la sécante (AM) (droite
h
quicoupeC enaumoinsdeuxpointsdistincts, A etM).
6
5
M
4 f(a+h)-f(a)
A3
h
2
1
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−1
C
−2
III Tangenteàunecourbe,nombredérivé
Quesepasse-t-ilquand A restantfixe,M serapprochedeplusenplusde A.
La sécante (AM) se rapproche de plus en plus d’une droite limite, qui ne coupe plus la courbeC localement
qu’un point : on dit alors que cette droite «limite»est la tangente àC en a (en pointillés sur le graphique ci-
dessous).
Page3
bbb6
5
4
A3
2
1
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
M
−1
C
−2
2Ci-dessousestreprésentéelaparabole,représentativedelafonction f :x7!x etlestangentesàC en-2,-1,0,1
et2,5.
9
8
7
6
5
4C
3
2
1
0−3 −2 −1 1 2
−1
Définition:
Soit f unefonctiondéfiniesurunintervalleI etsoit A(a; f(a))unpointdelacourbeC ,représentativef
de f.
SiC admet une tangente en a, on appelle nombre dérivé de f en a le coefficient directeur de cettef
′tangente;onlenote f (a).
Remarque:
Onavuquelatangenteétaitlapositionlimited’unesécante(AM)lorsquelepointvariableM serapprochaitde
plusenplusdeM.
f(a+h)−f(a)
Lecoefficientdirecteurdecettesécanteest oùa+h eta sontrespectivementlesabscissesdeM
h
Page4
bbbbbbbbetde A.
f(a+h)−f(a)′f (a) est donc la limite, lorsqu’elle existe, de l’expression lorsque h se rapproche de 0 en étant
h
différentde0.(ondit«lorsqueh tendvers0»).
Celas’écrit:
f(a+h)−f(a)′f (a)= lim
h→0 h
Exemplesdecalculsdenombresdérivés:
2• Fonctioncarré: f :x7!x .
′(a) Cherchonslenombredérivé f (1),coefficientdirecteurdelatangenteàC en1.f
2 2 2 2f(1+h)−f(1) (1+h) −1 1+2h+h −1 2h+h h(2+h)
Pourtouth6?0, = = = = =2+h.
h h h h h
f(1+h)−f(1)
Lorsqueh tendvers0,lenombre2+h tendvers2:onécrit: lim = lim(2+h)=2.
h→0 h h→0
′Onendéduit: f (1)=2 .
′(b) Pourtouta,cherchonslenombredérivé f (a),coefficientdirecteurdelatangenteàlaparaboleena.
2 2 2 2 2 2f(a+h)−f(a) (a+h) −a a +2ah+h −a 2ah+h h(2a+h)
Pourtouth6?0, = = = = =2a+h.
h h h h h
f(a+h)−f(a)
lim(2a+h)=0donc lim =2a.
h→0 h→0 h
′Onendéduitque,pourtouta : f (a)=2a
1 ∗• Soit f lafonctioninverse: f :x7! ,définiesurR .
x
Soita6?0.
a−(a+h) −h1 1
−
f(a+h)−f(a) 1a(a+h) a(a+h)a+h a
= = = =− .
h h h h a(a+h)
2Lorsqueh tendvers0,a+h tendversa donca(a+h)tendversa .
f(a+h)−f(a) 1 1
Onendéduitque: lim = lim =− .2h→0 h h→0a(a+h) a
1′Onendéduitque: f (a)=−
2a
p
• Soitlafonctionracinecarrée: f :x7! x définiesur[0;+∞[.
Pourtouta>0etpourtouth6?0:³ ´ ³ ´p pp pp pp pa+h− a × a+h+ a 2 2f(a+h)−f(a) a+h− a ( a+h) −( a) a+h−a
= = ³ ´ = ³ ´ = ³ ´p p pp p ph h h× a+h+ a h a+h+ a h a+h+ a
h 1
= ³ ´ .=p pp p
a+h+ ah a+h+ a
³ ´p pp p p p p
Lorsqueh tendvers0, a+h tendvers a donclim a+h+ a = a+ a=2 a.
h→
f(a+h)−f(a) 1
Parconséquent: lim = p
h→0 h 2 a
2′Onendéduitque: f (a)= p .
2 a
Page5IV Dérivéedesfonctionsusuelles:
Définition:
′On appellefonctiondérivéede f, notée f , la fonction qui, à chaque nombrex, associe le nombredérivé de f
′enx,c’est-à-dire f (x).
′ ′ ′f :x7! f (x),où f (x)représentelecoefficientdirecteurdelatangenteàlacourbeC ,lorsqu’ilexiste.f
Plutôtquedecalculerlenombredérivéàchaquefoiscommenousl’avonsfaitprécédemment,onapprendpar
cœurlesformulesdonnantlesdérivéesdesfonctionsusuelles.
Lesrésultatssontconsignésdansletableauci-dessous:
Fonctionf définiesur Fonctiondérivéef’
′f(x)=k(constante) définiesurR f (x)=0(surR)
′f(x)=x définiesurR f (x)=1(surR)
n ′ n−1f(x)=x définiesurR; n∈N(n>1) f (x)=nx
p 1′f(x)= x définiesur[0;+∞[ f (x)= p sur]0;+∞[
2 x
1 1 ∗∗ ′f(x)= définiesurR f (x)=− surR
2x x
1 n∗ ′f(x)= définiesurR ; n∈N; n?1 f (x)=−n n+1x x
′Exemples:Pourchacunedesfonctions f suivantes,calculerl’expressionde f (x):
21. f(x)=x
n ′ n−1 2−1 1 ′Ona f(x)=x avecn=2; f (x)=nx =2x =2x =2x donc f (x)=2x
′2. f(x)=3; f(x)=k aveck=3donc f (x)=0
7 n ′ n−1 7−1 6 ′ 63. f(x)=x ;ona: f(x)=x avecn=7;alors f (x)=nx =7x =7x . f (x)=7x
1 1
4. f(x)= ;ona f(x)= avecn=3.
3 nx x
n 3 3 3′ ′Alors f (x)=− =− =− ; f (x)=−
n+1 3+1 4 4x x x x
V Opérationsetdérivation
Les fonctions que l’on étudie en mathématiques sont rarement des fonctions usuelles, mais des sommes,
produits,quotientsdefonctionsusuelles.
Nousallonsvoircommentondériveunesomme,unproduit,unquotientdefonctionsusuelles.
Lesrésultatssontdonnésci-dessous:u etv sontdesfonctionsdérivablessurunmêmeintervalleI.Alors:
1. Fonctionmultipliéeparuneconstante:
′ ′ ′ ′Pourk réel,ku estdérivableet: (ku) =ku ;(ku) (x)=ku (x).
′ ′ ′ ′ ′ ′2. Sommededeuxfonctions:u+v estdérivablesurI et: (u+v) =u +v ;(u+v)(x)=u (x)+v (x).
3. Différencededeuxfonctions:
′ ′ ′ ′ ′ ′u−v estdérivablesurI et: (u−v) =u −v ;(u−v) (x)=u (x)−v (x).
4. Produitdedeuxfonctions:
′ ′ ′ ′ ′ ′uv estdérivableet (uv) =u v+uv ;(uv) (x)=u (x)v(x)+u(x)v (x)
5. Inversededeuxfonctions:
µ ¶ µ ¶ µ ¶′ ′′1 1 v 1 1
estdérivable; =− ; (x)=−
2 2v v v v v (x)
6. Quotientdedeuxfonctions:
³ ´ ′ ′ ³ ´ ′ ′′ ′u u u v−uv u u (x)v(x)−u(x)v (x)
estdérivable; = donc (x)= .2 2v v v v v (x)
Page67. Puissanced’unefonction: ¡ ¢′n n ′ n−1Pourtoutn∈N,n>1,u estdérivableet u =n×u ×u
¡ ¢′n ′ n−1u (x)=nu (x)u (x)
8. Inversed’unepuissanced’unefonction:
µ ¶′ ′1 1 nu
Pourtoutn∈N,n>1, estdérivableet =−n n n+1u u u
µ ¶′ ′1 nu (x)
(x)=−n n+1u u (x)
Démonstrationsdequelques-unesdecespropriétés(horsprogramme):
• Multiplicationd’unefonctionparuneconstante:
Soita unréelfixédansI.
(ku)(a+h)−(ku)(a)
Ilfautétudierlalimitequandh tendvers0delaquantité: .
h
(ku)(a+h)+(ku)(a) ku(a+u)−ku(a) u(a+h)−u(a)
= =k× .
h h h
u(a+h)−u(a) u(a+h)−u(a)′ ′Lorsqueh tendvers0, tendversu (a)donck× tendversku (a).
h h
• Dérivationd’unesomme:
Soita unréelfixédansI.u etv sontdérivablesena.
(u+v)(a+h)−(u+v)