A numerical study of quantum forces [Elektronische Ressource] : Casimir effect, vortices and Coulomb gauge Yang-Mills theory / vorgelegt von Laurent Moyaerts

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• Publié par: eberhard_karls_universitat_tubingen
• Publié le: 01 janvier 2004
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Extrait

A Numerical Study of Quantum Forces:
Casimir E ect, Vortices
and Coulomb Gauge Yang-Mills Theory
Dissertation
zur Erlangung des Grades eines
Doktors der Naturwissenschaften
der Fakult at fur Mathematik und Physik
der Eberhard-Karls-Universit at zu Tubingen
vorgelegt von
Laurent Moyaerts
aus Verviers, Belgien
2004Tag der mundlic hen Prufung: 19. November 2004
Dekan: Prof. Dr. Peter Schmid
1. Berichterstatter: PD Dr. Kurt Langfeld
2. Berich Prof. Dr. Frithjof KarschAbstract
The present thesis is devoted to the numerical investigation of Quantum Field Theories
(QFT) by means of non-perturbative methods. It is composed of two parts. In the rst part,
we present a new numerical approach to the study of physical systems under the in uence
of external classical elds. In the second part, we investigate by means of lattice simulations
the gluon sector of two-colour Quantum Chromo Dynamics (QCD) formulated in Coulomb
gauge.
Quantum eld theory with external conditions (QFEXT) is the investigation framework of
quantum phenomena related to the presence of a given classical background. This technique is
used in the context of solid state physics, e.g. in the study of (super-)conducting matter under
the in uence of external electromagnetic elds, in the context of high energy physics, where
special chromo-magnetic con gurations in the QCD vacuum are investigated, and has recently
found an application in nanotechnology, with the study of the Casimir e ect. We propose
to treat these applications of QFEXT in the light of the worldline formulation of quantum
eld theories. Expressed in terms of Schwinger proper-time integrals and rst quantized
Feynman path integrals, the worldline technique provides a formulation of QFEXT which
is conveniently implemented on the computer by means of Monte-Carlo techniques. In this
framework, the e ectiv e action at one-loop level can be computed for arbitrary background
con gurations.
Our rst investigation concerns the study of magnetic vortex systems, in particular the
quantum energy induced by uctuating fermionic elds. This investigation is relevant for the
physics of Type-II superconductors, as well as for the vortex picture of quark con nemen t
in QCD. In the case of a single vortex, the numerical estimates are compared with the
analytical results provided by the derivative expansion technique, based on an expansion
of the effective action in the gradient of the external eld. Exploiting the universality of
the numerical method regarding the background potential, we test the limits of validity of
the analytical approach at a quantitative level. We nd that renormalization induces a
serious breakdown of the derivative expansion. The binary vortex system, beyond the range
of applicability of analytical techniques, is also investigated and an e ectiv e vortex-vortex
interaction is obtained as a function of the distance between the vortex cores.
In a second step, we focus on the study of the Casimir e ect. The interaction of the
uctuating eld with the physical boundary is described in a complete eld theoretic way
in terms of an external potential accounting for the interface. The Casimir energy of a uc-
tuating scalar eld is investigated for several geometric con gurations in the case of rigid
bodies. The analytical result for the plate-plate con guration serves as a benchmark test
of the method. A study of the sphere-plate and cylinder-plate con gurations permits to in-
vestigate the e ects induced by a curved geometry. The numerical method allows a study
beyond the limits of validity of the standard analytical procedure, the Proximity Force Ap-
proximation (PFA), which is based on an integration of the parallel plate result along the
boundaries. In contrast to PFA, we obtain the Casimir energy for any distance-to-curvature
ratio.
The second part is devoted to the lattice study of the SU(2) Yang-Mills theory in the
Coulomb gauge formulation. Despite practical disadvantages which render the approach
inconvenient for perturbative calculations, Coulomb gauge gained in recent years increasing
interest in relation to the problem of con nemen t in QCD. This formulation indeed allows adirect access to the Coulomb interaction potential between static colour sources. We review
the properties of theb gauge approach, in particular the quantization of the theory
and the scenario of colour con nemen t, originally formulated by Gribov. In order to avoid
any confusion, we distinguish carefully the Coulomb potential from the Wilson potential
extracted from the Wilson loop expectation value. The mathematical expression of the
Coulomb potential contains the so-called Faddeev-Popov operator. Its central role in the
con ning property of the potential is discussed in the context of Gribov’s scenario.
After a short section devoted to the basic aspects of the lattice approach to gauge theories,
we report the results of our simulations for the ghost propagator, i.e. the expectation value
of the inverse Faddeev-Popov operator, as well as for the Coulomb potential. We address
also equal-time gluonic correlations via the study of the gluon propagator. Our estimates
are compared to the results obtained analytically in the Hamiltonian formulation of Yang-
Mills theory. We compute therefore the expectation value of the propagators in a xed time
slice. The numerical results in three and four dimensions indicate an enhancement of the
ghost propagator in the small momentum regime and a Coulomb potential compatible with
a linear con nemen t of static quarks. The investigation of equal-time gluonic correlations
in three and four dimensions reveals a striking behaviour of the gluon propagator in the
perturbative regime in the form of an anomalous scaling, whose origin is still under ongoing
debate. In four dimensions, the numerical gluon propagator attains a non-vanishing nite
value at zero momentum transfer.Zusammenfassung
Diese Dissertation ist der Untersuchung von Quantenfeldtheorien (QFT) mithilfe nicht-
st orungstheoretischer Methoden gewidmet. Sie besteht aus zwei Teilen. Im ersten Teil stellen
wir eine neuere numerische Methode vor, die die Studie der Quanteneigenschaften physika-
lischer Systeme in Anwesenheit au erer klassicher Felder erm oglicht. Im zweiten Teil werden
die Eigenschaften des Gluon-Sektors der Quantenchromodynamik (QCD) mit zwei Farben
mit Hilfe von Gittersimulationen in Coulomb-Eichung untersucht.
Die Untersuchung von Quantenph anomenen eines physikalischen Systems in Anwe-
senheit klassischer Hintergrundfelder erfolgt im Rahmen der sogenannten \Quantenfeld-
theorie unter au eren Bedingungen" (QFEXT). Diese Technik wird eingesetzt sowohl in
der Festk orperphysik, beispielsweise bei der Untersuchung der (supra-)leitenden Materie in
au eren elektromagnetischen Feldern, als auch in der Hochenergiephysik, z.B. in der Studie
spezieller chromomagnetischer Felder im QCD Vakuum. Die Studie des Casimire ekts kann
ebenso anhand dieser Methode durchgefuhrt werden. In dieser Arbeit werden diese Anwen-
dungen der QFEXT im Rahmen des Weltlinien-Formalismus der QFT untersucht. Dieser
auf Schwinger und Feynman zuruc kgehende Formalismus erm oglicht die Berechnung der ef-
fektiven Wirkung auf 1-Schleifen-Niveau fur beliebige Hintergrundfelder mithilfe des Monte-
Carlo Verfahrens.
Wir wenden unsere numerische Methode zuerst auf die Bestimmung der Quantenenergie
eines Systemes magnetischer Wirbel (Vortex) an, die durch uktuierende fermionische Felder
induziert wird. Diese Untersuchung ist sowohl fur die Physik des Typ-II-Supraleiters relevant,
als auch fur das Con nemen t-Szenario der QCD, das auf chromomagnetischen Flusswirbeln
basiert. Im einfachsten Fall eines einzelnen Vortex werden die numerischen Daten mit den
analytischen Ergebnissen verglichen, die mit der Gradiententwicklung erhalten wurden. Diese
N aherung basiert auf der Entwicklung der e ektiv en Wirkung nach Potenzen des Gradienten
des Hintergrundfeldes. Die Universalit at unserer Methode erm oglicht die Bestimmung der
Gultigk eitsgrenze des analytischen Zuganges auf einem quantitativen Niveau. Unsere nu-
merischen Ergebnisse zeigen, dass die Renormierung der e ektiv en Wirkung eine signi k ante
Verschlechterung des Konvergenzverhaltens der Ableitungsentwicklung verursacht. Das 2-
Vortex-System, welches fur die analytischen Methoden unzug anglich ist, wird untersucht,
und wir erhalten eine e ektiv e Vortex-Vortex-Wechselwirkung als Funktion vom Abstand der
Vortexkerne.
Desweiteren wenden wir unsere Methode auf die Studie des Casimire ekts an. Die Wech-
selwirkung zwischen dem uktuierenden Feld und den Grenz achen wird durch ein au eres
Potential beschrieben. Die Casimirenergie wird im einfachsten Fall eines uktuierenden
Skalarfeldes und starrer Grenz achen fur mehrere geometrische Kon gurationen bestimmt.
Das analytische Ergebnis fur die Kon guration mit zwei parallelen Platten dient als Test
unserer Methode. Eine Studie der mit Platte und Kugel bzw. Platte und
Zylinder, erm oglicht die Analyse der E ekte, die durch die gekrumm te Geometrie induziert
werden. Unser numerischer Zugang erlaubt die Bestimmung des Gultigk eitsbereiches der so-
genannten \Proximity Force Approximation" (PFA). Diese basiert auf der Integration des
analytischen Ergebnisses fur parallele Platten entlang der Rand achen. Im Gegensatz zur
PFA bestimmen wir die Casimirenergie fur beliebige Ve