Alternative approaches to maximally supersymmetric field theories [Elektronische Ressource] / Johannes Brödel

Johannes Broedel

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• Publié par: gottfried_wilhelm_leibniz_universitat_hannover
• Publié le: 01 janvier 2010
• Nombre de lectures: 41
• Langue: Deutsch
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Extrait

Alternative approaches
to maximally supersymmetric
field theories
Von der Fakult¨at fu¨r Mathematik und Physik
der Gottfried Wilhelm Leibniz Universit¨at Hannover
zur Erlangung des Grades
Doktor der Naturwissenschaften
(Dr. rer. nat.)
genehmigte Dissertation
von
Dipl.-Phys. Johannes Br¨odel
geboren am 20. Mai 1978 in Leipzig
2010Schlu¨sselw¨orter: Twistorstringtheorie,N=8 Supergravitation,
Grassmannsche Formulierung
Keywords: twistor string theory,N=8 supergravity,
Grassmannian formulation
Referent: Prof. Dr. Olaf Lechtenfeld
Leibniz Universit¨at Hannover
Korreferent: Prof. Dr. Marco Zagermann
Leibniz Universit¨at Hannover
Tag der Promotion: 25. Juni 2010Zusammenfassung
Diese Arbeit bescha¨ftigt sich mit der Untersuchung und Anwendung alternativer
Beschreibungsmo¨glichkeiten fu¨r maximal supersymmetrische Feldtheorien in vier Di-
mensionen: N=4 Super-Yang-Mills-Theorie undN=8 Supergravitation.
Wa¨hrend die Twistorstringtheorie Baumgraphen in der N=4 Super-Yang-Mills-
Theorie beschreiben kann, ist fu¨r die N=8 Supergravitation keine derartige Formu-
lierung bekannt. Zwar enth¨alt die Twistorstringtheorie neben dem N=4 Super-Yang-
Mills(SYM)-Teil noch weitere Vertexoperatoren, doch beschreiben diese die Zusta¨nde
in einerN=4 konformen Supergravitation und mu¨ssen modifiziert werden, um fu¨r die
Beschreibung einer Einsteinschen Supergravitation geeignet zu sein. Eine ver¨anderte
Version der Twistorstringtheorie, in der die konforme Symmetrie fu¨r die gravitativen
Vertexoperatoren gebrochen wird, ist ku¨rzlich vorgeschlagen worden. Der erste Teil
der Dissertation diskutiert strukturelle Aspekte und die Konsistenz der modifizierten
Theorie. Dabeizeigtsich,dassderGroßteilderAmplitudennichtkonsistentkonstruiert
werden kann. Dies wird darauf zuru¨ckgefu¨hrt, dass die Modifikation der Theorie die
DimensiondesModulraumesderalgebraischenKurvenimTwistorraumaufunzul¨assige
Weise reduziert.
Die Frage einer m¨oglichen Endlichkeit der N=8 Supergravitation ist eng mit der
Existenz gu¨ltiger Counterterme in der St¨orungsentwicklung der Theorie verknu¨pft.
4Der zum sogenannten R -Counterterm geho¨rende Vorfaktor ist ku¨rzlich in einer ex-
pliziten Rechnung zu null bestimmt worden. Dieses Verhalten weist darauf hin, dass
dieverwendeteFormulierungeineSymmetriederTheorienichtberu¨cksichtigt. Eineder
m¨oglicherweise vernachl¨assigten Symmetrien ist die versteckte E -Symmetrie. Fu¨r7(7)
das Auftreten dieser Symmetrie in einer Theorie ist die Gu¨ltigkeit der doppelt-weichen
skalaren Limes-Relation notwendig. Im zweiten Teil der Dissertation werden mit Hilfe
4der Stringtheorie die Amplituden fu¨r eine durch Hinzufu¨gen eines R -Counterterms
vera¨nderte Supergravitationswirkung berechnet, um die Gu¨ltigkeit zu u¨berpru¨fen. Es
wird gezeigt, dass aus dem doppelt-weichen Limes keineE -Einschr¨ankungenan den7(7)
4R -Counterterm hergeleitet werden k¨onnen. Entgegen der Erwartung fu¨r eine E -7(7)
symmetrische Theorie verschwindet der einfach-weiche skalare Limes der Amplituden
4jedoch nicht. Dies legt nahe, dass die E -Symmetrie durch den R -Counterterm7(7)
gebrochen wird.
Der dritte Teil der Dissertation bescha¨ftigt sich mit der Grassmannschen Formu-
lierung der N=4 SYM-Theorie. Jede Amplitude in der N=4 SYM-Theorie kann
als Linearkombination bestimmter infrarot(IR)-divergenter Integrale ausgedru¨ckt wer-
den. Die Koeffizienten dieser Integrale, die fu¨hrenden Singularita¨ten, bestimmen die
Struktur der Amplituden vollst¨andig. Aus Feldtheorierechnungen ist bekannt, dass die
fu¨hrenden Singularita¨ten nicht voneinander unabha¨ngig, sondern durch die sogenann-
ten IR-Gleichungen verknu¨pft sind. Weiterhin vermutet man, dass die fu¨hrenden Sin-
gularita¨ten sich als Linearkombinationen von Residuen eines mehrdimensionalen kom-
plexen Integrals in der alternativen Grassmannschen Formulierung darstellen lassen.
DieseResiduensindebenfallsnichtunabha¨ngig,sonderndurchverallgemeinerteFormen
desCauchyschenSatzes,dieverallgemeinerteResiduentheoreme,miteinanderverknu¨pft.
Beispiele weisen darauf hin, dass die IR-Gleichungen in der Sprache der Residuen aus
den verallgemeinerten Residuentheoremen folgen. Es wird gezeigt, dass die verallge-meinerten Residuentheoreme in der Grassmannschen Formulierung nicht nur mit den
IR-Gleichungen korrespondieren, sondern mit einem gro¨ßeren Satz von Bedingungen,
der aus Betrachtungen zur dualen konformen Anomalie von Ein-Schleifen-Amplituden
hergeleitetwerdenkann. EineexpliziteFormderAbbildungsowohlzwischendendualen
konformen Bedingungen als auch den IR-Gleichungen wird hergeleitet und diskutiert.Abstract
The central objective of this work is the exploration and application of alternative
possibilities to describe maximally supersymmetric field theories in four dimensions:
N=4 super Yang-Mills theory andN=8 supergravity.
While twistor string theory has been proven very useful in the context of N=4
SYM, no analogous formulation forN=8 supergravity is available. In addition to the
part describingN=4 SYM theory, twistor string theory contains vertex operators cor-
responding to the states ofN=4 conformal supergravity. Those vertex operators have
to be altered in order to describe (non-conformal) Einstein supergravity. A modified
version of the known open twistor string theory, including a term which breaks the
conformalsymmetryfor the gravitationalvertexoperators,hasbeen proposedrecently.
Inafirstpartofthethesisstructuralaspectsandconsistencyofthemodifiedtheoryare
discussed. Unfortunately,themajorityofamplitudescannotbeconstructed,whichcan
be traced back to the fact that the dimension of the moduli space of algebraic curves
in twistor space is reduced in an inconsistent manner.
The issue of a possible finiteness of N=8 supergravity is closely related to the
question of the existence of valid counterterms in the perturbation expansion of the
4theory. In particular, the coefficient in front of the so-calledR counterterm candidate
hasbeenshowntovanishbyexplicitcalculation. Thisbehaviorpointsintothedirection
of a symmetry not taken into account, for which the hidden on-shellE symmetry is7(7)
the prime candidate. The validity of the so-called double-soft scalar limit relation is a
necessarycondition for a theory exhibitingE symmetry. By calculating the double-7(7)
softscalarlimitforamplitudesderivedfromanN=8supergravityactionmodifiedbyan
4additionalR counterterm,onecantest for possibleconstraintsoriginatingin theE7(7)
symmetry. In a second part of the thesis, the appropriate amplitudes are calculated
employing the low-energy limit of string theory, and the double-soft limit relation is
indeed shown to hold. However, if the modified action hasE symmetry, the single-7(7)
soft scalar limit of any amplitude should vanish. This not being the case suggests that
4the E symmetry is broken by the R counterterm.7(7)
Finally, the Grassmannian formulation ofN=4 SYM is investigated in a third part
of the thesis. Any amplitude inN=4 SYM theory can be expressed as a linear combi-
nationofcertaininfrared(IR)divergentintegrals. Beingknownasleadingsingularities,
the coefficients of these integrals completely determine the structure of an amplitude.
From field-theory calculations it is known that the leading singularities are not inde-
pendent, but are subject to a set of so-called IR equations. The alternative Grassman-
nian formulation is conjectured to describe the leading singularities as certain linear
combinations of residues of a multidimensional complex integral. These residues are
not independent but are related by generalized residue theorems (GRTs), which are
multidimensional generalizations of Cauchy’s theorem. Indeed, expressing the leading
singularities known from field-theory calculations in terms of these residues supports
the conjecture that the IR equations can be derived from GRTs. Here it is shown
that GRTs in the Grassmannian formulation do not only give rise to IR equations,
but to a larger set of constraints, which can be derived by considering the dual con-
formal anomaly of one-loop amplitudes. Explicit maps between GRTs and both, dual
conformal constraints and IR equations, are deduced and discussed.Contents
1 Introduction 1
2 Supersymmetric field theories 5
2.1 Field theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Fields and symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.2 Amplitudes and S-matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Spinor helicity formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Lie algebras, Lie superalgebras and supersymmetry . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 On-shell superspace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5 Supersymmetric Ward identities and different MHV sectors . . . . . . . . . 15
2.6 N=4 super Yang-Mills theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6.1 Fields and action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6.2 Tree-level amplitudes inN=4 SYM theory . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6.3 Dual (super)conformal symmetry . . . .