American options in incomplete markets : upper and lower snell envelopes and robust partial hedging [[Elektronische Ressource]] / von Erick Trevino Aguilar

Treviño Aguilar Erick

Sujets

• Mathematics

Informations

• Publié par: humboldt-universitat_zu_berlin
• Publié le: 01 janvier 2008
• Nombre de lectures: 27
• Langue: English

Extrait

American Options in incomplete Markets:
Upper and lower Snell Envelopes and robust
partial Hedging
DISSERTATION
zur Erlangung des akademischen Grades
doctor rerum naturalium
(Dr. rer. nat.)
im Fach Mathematik
eingereicht an der
Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät II
Humboldt-Universität zu Berlin
von
Herr Dipl. Math. Erick Treviño Aguilar
geboren am 24.03.1975 in México
Präsident der Humboldt-Universität zu Berlin:
Prof. Dr. Christoph Markschies
Dekan der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät II:
Prof. Dr. Wolfgang Coy
Gutachter:
1. Prof. Dr. Hans Föllmer
2. Prof. Dr. Peter Imkeller
3. Prof. Dr. Frank Riedel
eingereicht am: 14. Dezember 2007
Tag der mündlichen Prüfung: 9. Juni 2008Abstract
This thesis studies American options in an incomplete financial market
and in continuous time. It is composed of two parts.
In the first part we study a stochastic optimization problem in which a
robust convex loss functional is minimized in a space of stochastic integrals.
This problem arises whenthe sellerof anAmerican optionaims tocontrol the
shortfall risk by using a partial hedge. We quantify the shortfall risk through
a robust loss functional motivated by an extension of classical expected util-
ity theory due to Gilboa and Schmeidler. In a general semimartingale model
we prove the existence of an optimal strategy. Under additional compactness
assumptions we show how the robust problem can be reduced to a non-robust
optimization problem with respect to a worst-case probability measure.
In the second part, we study the notions of the upper and the lower Snell
envelope associated to an American option. We construct the envelopes for
stable families of equivalent probability measures, the family of local martin-
galemeasuresbeinganimportantspecialcase. Wethenformulatetworobust
optimal stopping problems. The stopping problem related to the upper Snell
envelope is motivated by the problem of monitoring the risk associated to the
buyer’s choice of an exercise time, where the risk is specified by a coherent
risk measure. The stopping problem related to the lower Snell envelope is
motivated by a robust extension of classical expected utility theory due to
Gilboa and Schmeidler. Using martingale methods we show how to construct
optimal solutions in continuous time and for a finite horizon.
Keywords:
American options, Optimal exercise, Robust optimization, Shortfall riskZusammenfassung
In dieser Dissertation werden Amerikanischen Optionen in einem unvollstän-
digen Markt und in stetiger Zeit untersucht. Die Dissertation besteht aus
zwei Teilen.
Im ersten Teil untersuchen wir ein stochastisches Optimierungsproblem,
in dem ein konvexes robustes Verlustfunktional über einer Menge von stocha-
stichenIntegralenminimiertwird.DiesProblemtrittauf,wennderVerkäufer
einer Amerikanischen Option sein Ausfallsrisiko kontrollieren will, indem er
eine Strategie der partiellen Absicherung benutzt. Hier quantifizieren wir das
Ausfallsrisiko durch ein robustes Verlustfunktional, welches durch die Erwei-
terung der klassischen Theorie des erwarteten Nutzens durch Gilboa und
Schmeidler motiviert ist. In einem allgemeinen Semimartingal-Modell bewei-
sen wir die Existenz einer optimalen Strategie. Unter zusätzlichen Kompakt-
heitsannahmen zeigen wir, wie das robuste Problem auf ein nicht-robustes
Optimierungsproblem bezüglich einer ungünstigsten Wahrscheinlichkeitsver-
teilung reduziert werden kann.
Im zweiten Teil untersuchen wir die obere und die untere Snellsche Ein-
hüllende zu einer Amerikanischen Option. Wir konstruieren diese Einhüllen-
den für eine stabile Familie von äquivalenten Wahrscheinlichkeitsmassen; die
Familie der äquivalenten Martingalmassen ist dabei der zentrale Spezialfall.
Wir formulieren dann zwei Probleme des robusten optimalen Stoppens. Das
Stopp-Problem für die obere Snellsche Einhüllende ist durch die Kontrolle
des Risikos motiviert, welches sich aus der Wahl einer Ausübungszeit durch
denKäuferbezieht,wobeidasRisikodurcheinkohärentesRisikomassbemes-
sen wird. Das Stopp-Problem für die untere Snellsche Einhüllende wird durch
eine auf Gilboa und Schmeidler zurückgehende robuste Erweiterung der klas-
sischen Nutzentheorie motiviert. Mithilfe von Martingalmethoden zeigen wir,
wie sich optimale Lösungen in stetiger Zeit und für einen endlichen Horizont
konstruieren lassen.
Schlagwörter:
Amerikanische Optionen, optimale Ausübung, robuste Optimierung,
AusfallsrisikoivContents
0 Introduction 1
I Robust partial hedging of American options 7
1 Superhedging and no Arbitrage 9
1.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Superhedging Cost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Hedging in complete markets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Superhedging in incomplete markets . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Arbitrage free prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Robust Partial Hedging 25
2.1 Problem formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.1 Robust efficient hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1 Existence of an optimal strategy . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.2 Existence of a worst-case measure . . . . . . . . . . . . 36
2.2.3 Randomized stopping times . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.4 A compact weak-topology associated to the product
spaceQ×A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.5 Proof of theorem 2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.6 Reduction of PH(c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3 An upper bound for Quantile Hedging 49
3.1 Problem formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.1 Quantile Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
+ +3.2.2 The upper values QH (c) and T (c) . . . . . . . . . . 53
vII The upper and lower Snell envelopes 63
4 The upper Snell envelope 65
4.1 Problem formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2.1 Stability under pasting . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2.2 Lattice properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2.3 Proof of theorem 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.4 Existence of t-optimal times for the upper Snell enve-
lope in continuous time . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3 Special cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3.1 A study case based on compactness . . . . . . . . . . . 84
4.3.2 Absolutely continuous martingale measures . . . . . . . 87
4.3.3 Existence of t-optimal times for the upper Snell enve-
lope in discrete time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3.4 Stopping times of maximal risk . . . . . . . . . . . . . 90
5 The lower Snell envelope 93
5.1 Problem formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.2 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.2.1 Existence of t-optimal stopping times for the lower
Snell envelope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.2.2 Existence of a worst-case probability measure . . . . . 102
5.2.3 Optionality of the lower Snell envelope . . . . . . . . . 109
5.3 Illustrations and special cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.3.1 The lower Snell envelope for European options . . . . . 119
p q5.3.2 An example of aσ(L (R),L (R))-compact stable fam-
ily of measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.3.3 The lower Snell envelope in discrete time . . . . . . . . 124
5.3.4 Stopping times of maximal utility . . . . . . . . . . . . 131
III Appendix 133
A Appendix 135
A.1 BMO-Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Bibliography 139
List of symbols 145
viChapter 0
Introduction
The dynamic analysis of financial contracts is an important topic in the
modern theory of finance. Derivative contracts such as call options have
been playing a significant role both in the theory and in real financial mar-
kets. A call option is the right but not the obligation to buy a certain asset
at a specified price until or at a predetermined maturity date. If the option
specifies that the option holder may exercise the option only at the maturity
date, the contract is termed European. If the option can be exercised at any
time prior to the given expiration date, then the option is called American.
Early exercise makes American options more interesting and more complex
to analyze.
In a complete financial market the arbitrage free price of the American call
option with strike price K coincides with the value function of an optimal
+stopping problem with payoff function (x−K) which is formulated in terms
of the unique equivalent martingale measure. This allows one to solve both
the problem of optimal exercise for the buyer and the problem of hedging
for the seller. In the more realistic case of an incomplete market, valuation,
exercise and hedging of an Ame