Analysis of a coupled system of partial differential equations modeling the interaction between melt flow, global heat transfer and applied magnetic fields in crystal growth [Elektronische Ressource] / von Pierre-Étienne Druet

Pierre-Étienne Druet

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• Publié le: 01 janvier 2009
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Extrait

Analysis of a coupled system of partial differential
equations modeling the interaction between melt flow,
global heat transfer and applied magnetic fields in
crystal growth
DISSERTATION
zur Erlangung des akademischen Grades
doctor rerum naturalium
(Dr. rer. nat.)
im Fach Mathematik
eingereicht an der
Mathematisch-Naturwissenschaftlichen
Fakultät II
Humboldt-Universität zu Berlin
von
Herr Dipl.-Math. Pierre-Étienne Druet
geboren am 13.04.1979 in Liège
Präsident der Humboldt-Universität zu Berlin:
Prof. Dr. Dr. h.c. Christoph Markschies
Dekan der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen
Fakultät II:
Prof. Dr. Wolfgang Coy
Gutachter:
1. Prof. Dr. J. Sprekels
2. Prof. Dr. J. Naumann
3. Prof. Dr. F. Tröltzsch
eingereicht am: 27. August 2008
Tag der mündlichen Prüfung: 5. Februar 2009Abstract
ThepresentPhDthesisisdevotedtotheanalysisofacoupledsystemofnonlinearpartial
differential equations (PDE), that arises in the modeling of crystal growth from the melt
in magnetic fields.
The phenomena described by the model are mainly the heat-transfer processes (by
conduction,convectionandradiation)takingplaceinahigh-temperaturesfurnaceheated
electromagnetically,andthemotionofasemiconductingmeltedmaterialsubjecttobuoy-
ancy and applied electromagnetic forces. The model consists of the Navier-Stokes equa-
tions for a newtonian incompressible liquid, coupled to the heat equation and the low-
frequencyapproximationofMaxwell’sequations. Couplingoccursatmultiplelevels. The
liquid is electrically conducting and subject to the Lorentz force. The buoyant motion in
the liquid is taken into account by a Boussinesq type modeling of thermal expansion. On
the other hand, heat is produced in the electrical conductors in the furnace by the Joule
effect, and by viscous friction in the liquid, where the convective heat transport has also
to be taken into account. The different parts of the furnace interact with each other due
to for one part to the nonlocal radiation that takes place in the transparent cavity, and
cannot be neglected at the high temperatures considered; and due for the other part to
the long range of action of the electromagnetic fields.
We propose a mathematical setting for this PDE system, we derive its weak formu-
lation, and we formulate an (initial) boundary value problem that in the mean reflects
the complexity of the real-life application. The well-posedness of this (initial) boundary
value problem is the mainmatter of the investigation.
We prove the existence of weak solutions allowing for general geometrical situations
(discontinuous coefficients, nonsmooth material interfaces) and data, the most important
requirement being only that the injected electrical power remains finite. For the time-
dependent problem, a defect measure appears in the solution, which apart from the fluid
remains concentrated in the boundary of the electrical conductors. In the absence of a
global estimate on the radiation emitted in the cavity, a part of the defect measure is due
to the nonlocal radiation effects.
The uniqueness of the weak solution is obtained only under reinforced assumptions:
smallness of the input power in the stationary case, and regularity of the solution in the
time-dependent case.
Regularity properties, such as the boundedness of temperature are also derived, but
onlyinsimplifiedsettings: smoothinterfacesandtemperature-independentcoefficientsin
the case of a stationary analysis, and, additionally for the transient problem, decoupled
time-harmonic Maxwell.
In order to prove these results and the energy estimates on which they rely, tech-
niques are needed for handling mathematically the Lorentz force, the nonlocal radiation
1operators, the Joule term and in general the L right-hand side in the heat equation.
Some of these techniques were already available, but some of them, presented here as
auxiliary results, are used for the first time in the present thesis (resp. in the publications
extracted from the thesis), and fully belong to its main part.Zusammenfassung
Hauptthema der Dissertation ist die Analysis eines nichtlinearen, gekoppelten Systems
partieller Differentialgleichungen (PDG), das in der Modellierung der Kristallzüchtung
aus der Schmelze mit Magnetfeldern vorkommt. Die zu beschreibenden Phenomäne sind
einerseits der im elektromagnetisch geheizten Schmelzofen erfolgende Wärmetransport
(Wärmeleitung, -konvektion und -strahlung), und andererseits die Bewegung der Halb-
leiterschmelze unter dem Einfluss der thermischen Konvektion und der angewendeten
elektromagnetischen Kräfte.
Das Modell besteht aus den Navier-Stokeschen Gleichungen für eine inkompressible
Newtonsche Flüssigkeit, aus der Wärmeleitungsgleichung und aus der elektrotechnischen
Näherung des Maxwellschen Systems. Die Kopplung dieser Gleichungen ist vielfach. Die
die elektrisch leitende Flüssigkeit beeinflussende Lorentzkraft erzeugt eine Kopplung mit
den elektromagnetischen Feldern, die aus der thermischen Ausdehnung hervorgehenden
Schwimmkräfte eine Kopplung zur Temperatur. Andererseits, setzen sich die Produkti-
onsterme in der Wärmeleitungsgleichung aus dem in den elektrischen Leitern stattfinden-
den Joulschen Effekt undaus den Reibungsvorgängen in derFlüssigkeit zusammen. Auch
der konvektive Transport in der Flüssigkeit muss in Betracht gezogen werden. Schließ-
licherfolgtaucheinegeometrischeKopplungzwischendenverschiedenenOfenteilen,zum
TeildurchdienichtlokaleHohlraumstrahlung,zumTeildurchdieweitreichende Wirkung
elektromagnetischer Felder.
Wir erörtern die schwache Formulierung dieses PDG Systems, und wir stellen ein
Anfang-Randwertproblem auf, das die Komplexität der Anwendung widerspiegelt. Die
Hauptfrage unserer Untersuchung ist die Wohlgestelltheit dieses Problems, sowohl im
stationären als auch im zeitabhängigen Fall. Wir zeigen die Existenz schwacher Lösungen
in geometrischen Situationen, in welchen unstetige Materialeigenschaften und nichtglatte
Trennfläche auftreten dürfen, und für allgemeine Daten. In der Lösung zum zeitabhän-
gigen Problem tritt ein Defektmaß auf, das außer der Flüssigkeit im Rand der elektrisch
leitenden Materialien konzentriert bleibt. Da eine globale Abschätzung der im Strah-
lungshohlraum ausgestrahlten Wärme auch fehlt, rührt ein Teil dieses Defektmaßes von
der nichtlokalen Strahlung her.
Die Eindeutigkeit der schwachen Lösung erhalten wir nur unter verstärkten Annah-
men:dieKleinheitdergegebenenelektrischenLeistungimstationärenFall,unddieRegu-
larität der Lösung im zeitabhängigen Fall. Regularitätseigenschaften wie die Beschränkt-
heit der Temperatur werden, wenn auch nur in vereinfachten Situationen, hergeleitet:
glatte Materialtrennfläche und Temperaturunabhängige Koeffiziente im Fall einer statio-
nären Analysis, und entkoppeltes, zeitharmonisches Maxwell für das transiente Problem.
Der Beweis dieser Ergebnisse erfordert spezielle mathematische Techniken, beispiel-
weise für die Behandlung der Lorentzkraft, der nichtlokalen Strahlungsoperatoren, des
1Jouleschen Termes und allgemein der L rechten Seite in der Wärmeleitungsgleichung.
Einige dieser Techniken standen schon zur Verfügung. Andere, in dieser Arbeit als Hilfs-
resultate dargestellte Methoden sind hier zum ersten Mal verwendet.ivContents
1 Introduction 1
2 Motivation. Crystal growth from the melt in magnetic fields 5
2.1 Czochralski’s method in crystal growth.
The melt instability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Describing melt flow and global heat transfer in a crystal growth furnace 9
2.2.1 The model for the fluid flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.2 The model for global heat transfer . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.3 The model for electromagnetics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Brief discussion of the model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Mathematical setting 19
3.1 Initial and boundary value problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.1 The boundary value problem for the stationary system. . . . . . . 21
3.1.2 The initial boundary value problem for the time dependent system 23
3.1.3 Main assumptions on the data. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Weak formulation and functional setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.1 Stationary problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.2 Transient pr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 State of the research and main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4 Auxiliary results I. The nonlocal radiation operators 39
4.1 General properties of the operators K and G . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2 Compactness of the operator K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3 Coercivity inequalities involving the operators of heat radiation . . . . . 61
4.4 Passage to the limit in a PDE with nonlocal radiation boundary condition 67
5 Auxiliary results II. Higher integrability of the Lorentz force j×B 75
5.1 Embedding results for vector fields that satisfy a curl and a div constraint 77
5.2 Conditions for the hi