Aspects of twistor geometry and supersymmetric field theories within superstring theory [Elektronische Ressource] / von Christian Sämann

Christian Sämann

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Aspects of Twistor Geometryand Supersymmetric Field Theorieswithin Superstring TheoryVon der Fakult˜at fur˜ Mathematik und Physik der Universit˜at Hannoverzur Erlangung des GradesDoktor der NaturwissenschaftenDr. rer. nat.genehmigte Dissertation vonChristian S˜amanngeboren am 23. April 1977 in FuldaFor there is nothing hidden, except that it should be made known;neither was anything made secret, but that it should come to light.Mark 4,22\Wir mussen˜ wissen, wir werden wissen."David HilbertTo those who taught meBetreuer: Prof. Dr. Olaf Lechtenfeld und Dr. Alexander D. PopovReferent: Prof. Dr. Olaf LechKorreferent: Prof. Dr. Holger FrahmTag der Promotion: 30.01.2006Schlagworte: Nichtantikommutative Feldtheorie, Twistorgeometrie, StringtheorieKeywords: Non-Anticommutative Field Theory, Twistor Geometry, String TheoryCCZusammenfassungDieResultate,dieindieserArbeitvorgestelltwerden,lassensichimWesentlichenzweiForschungsrichtungen in der Stringtheorie zuordnen: Nichtantikommutative Feldtheoriesowie Twistorstringtheorie.NichtantikommutativeDeformationenvonSuperr˜aumenentstehenaufnaturlic˜ heWei-se bei Typ II Superstringtheorie in einem nichttrivialen Graviphoton-Hintergrund, undsolchen Deformationen wurde in den letzten zwei Jahren viel Beachtung geschenkt. Zu-n˜achst konzentrieren wir uns auf die Deflnition der nichtantikommutativen DeformationvonN =4 super Yang-Mills-Theorie.

Sujets

• Physik

Informations

• Publié par: gottfried_wilhelm_leibniz_universitat_hannover
• Publié le: 01 janvier 2006
• Nombre de lectures: 36
• Langue: Deutsch
• Poids de l'ouvrage: 3 Mo

Extrait

Aspects of Twistor Geometry
and Supersymmetric Field Theories
within Superstring Theory
Von der Fakult˜at fur˜ Mathematik und Physik der Universit˜at Hannover
zur Erlangung des Grades
Doktor der Naturwissenschaften
Dr. rer. nat.
genehmigte Dissertation von
Christian S˜amann
geboren am 23. April 1977 in FuldaFor there is nothing hidden, except that it should be made known;
neither was anything made secret, but that it should come to light.
Mark 4,22
\Wir mussen˜ wissen, wir werden wissen."
David HilbertTo those who taught meBetreuer: Prof. Dr. Olaf Lechtenfeld und Dr. Alexander D. Popov
Referent: Prof. Dr. Olaf Lech
Korreferent: Prof. Dr. Holger Frahm
Tag der Promotion: 30.01.2006
Schlagworte: Nichtantikommutative Feldtheorie, Twistorgeometrie, Stringtheorie
Keywords: Non-Anticommutative Field Theory, Twistor Geometry, String TheoryZusammenfassung
DieResultate,dieindieserArbeitvorgestelltwerden,lassensichimWesentlichenzwei
Forschungsrichtungen in der Stringtheorie zuordnen: Nichtantikommutative Feldtheorie
sowie Twistorstringtheorie.
NichtantikommutativeDeformationenvonSuperr˜aumenentstehenaufnaturlic˜ heWei-
se bei Typ II Superstringtheorie in einem nichttrivialen Graviphoton-Hintergrund, und
solchen Deformationen wurde in den letzten zwei Jahren viel Beachtung geschenkt. Zu-
n˜achst konzentrieren wir uns auf die Deflnition der nichtantikommutativen Deformation
vonN =4 super Yang-Mills-Theorie. Da es fur˜ die Wirkung dieser Theorie keine Super-
raumformulierunggibt,weichenwirstattdessenaufdie˜aquivalentenconstraint equations
aus. W˜ahrend der Herleitung der deformierten Feldgleichungen schlagen wir ein nichtan-
tikommutatives Analogon zu der Seiberg-Witten-Abbildung vor.
EinenachteiligeEigenschaftnichantikommutativerDeformationenist, dasssieSuper-
symmetrie teilweise brechen (in den einfachsten F˜allen halbieren sie die Zahl der erhal-
tenen Superladungen). Wir stellen in dieser Arbeit eine sog. Drinfeld-Twist-Technik vor,
mit deren Hilfe man supersymmetrische Feldtheorien derart reformulieren kann, dass die
gebrochenen Supersymmetrien wieder manifest werden, wenn auch in einem getwisteten
Sinn. Diese Reformulierung erm˜oglicht es, bestimmte chirale Ringe zu deflnieren und
ergibt supersymmetrische Ward-Takahashi-Identit˜aten, welche von gew˜ohnlichen super-
symmetrischen Feldtheorien bekannt sind. Wenn man Seibergs naturalness argument,
welches die Symmetrien von Niederenergie-Wirkungen betrifit, auch im nichtantikom-
mutativen Fall zustimmt, so erh˜alt man Nichtrenormierungstheoreme selbst fur˜ nichtan-
tikommutative Feldtheorien.
Im zweiten und umfassenderen Teil dieser Arbeit untersuchen wir detailliert geome-
trische Aspekte von Supertwistorr˜aumen, die gleichzeitig Calabi-Yau-Supermannigfal-
tigkeiten sind und dadurch als target space fur˜ topologische Stringtheorien geeignet sind.
Zun˜achst stellen wir die Geometrie des bekanntesten Beispiels fur˜ einen solchen Super-
3j4twistorraum, P , vor und fuhren˜ die Penrose-Ward-Transformation, die bestimmte
holomorphe Vektorbundel˜ ub˜ er dem Supertwistorraum mit L˜osungen zu den N = 4
supersymmetrischen selbstdualen Yang-Mills-Gleichungen verbindet, explizit aus. An-
schlie…end diskutieren wir mehrere dimensionale Reduktionen des Supertwistorraumes
3j4P und die implizierten Ver˜anderungen an der Penrose-Ward-Transformation.
Fermionische dimensionale Reduktionen bringen uns dazu, exotische Supermannig-
faltigkeiten, d.h. Supermannigfaltigkeitenmitzus˜atzlichen(bosonischen)nilpotentenDi-
mensionen, zu studieren. Einige dieser R˜aume k˜onnen als target space fur˜ topologische
Strings dienen und zumindest bezuglic˜ h des Satzes von Yau fugen˜ diese sich gut in das
Bild der Calabi-Yau-Supermannigfaltigkeiten ein.
BosonischedimensionaleReduktionenergebendieBogomolny-GleichungensowieMa-
trixmodelle, die in Zusammenhang mit den ADHM- und Nahm-Gleichungen stehen.
(Tats˜achlich betrachten wir die Supererweiterungen dieser Gleichungen.) Indem wir bes-
timmte Terme zu der Wirkung dieser Matrixmodelle hinzufugen,˜ k˜onnen wir eine kom-
˜plette Aquivalenz zu den ADHM- und Nahm-Gleichungen erreichen. Schlie…lich kann
die naturlic˜ he Interpretation dieser zwei Arten von BPS-Gleichungen als spezielle D-
Branekonflgurationen in Typ IIB Superstringtheorie vollst˜andig auf die Seite der topo-
logischen Stringtheorie ub˜ ertragen werden. Dies fuhrt˜ zu einer Korrespondenz zwischen
topologischenundphysikalischenD-Branesystemenunder˜ofinetdieinteressantePerspek-
tive, Resultate von beiden Seiten auf die jeweils andere ub˜ ertragen zu k˜onnen.
CCAbstract
There are two major topics within string theory to which the results presented in this
thesis are related: non-anticommutative fleld theory on the one hand and twistor string
theory on the other hand.
Non-anticommutative deformations of superspaces arise naturally in type II super-
string theory in a non-trivial graviphoton background and they have received much at-
tentionoverthelasttwoyears. First,wefocusonthedeflnitionofanon-anticommutative
deformation ofN =4 super Yang-Mills theory. Since there is no superspace formulation
of the action of this theory, we have to resort to a set of constraint equations deflned on
4j16
the superspace , which are equivalent to theN =4 super Yang-Mills equations. In~
derivingthedeformedfleldequations, weproposeanon-anticommutativeanalogueofthe
Seiberg-Witten map.
A mischievous property of non-anticommutative deformations is that they partially
break supersymmetry (in the simplest case, they halve the number of preserved super-
charges). In this thesis, we present a so-called Drinfeld twisting technique, which allows
for a reformulation of supersymmetric fleld theories on non-anticommutative superspaces
in such a way that the broken supersymmetries become manifest even though in some
sensetwisted. Thisreformulationenablesustodeflnecertainchiralringsandityieldssu-
persymmetricWard-Takahashi-identities,well-knownfromordinarysupersymmetricfleld
theories. If one agrees with Seiberg’s naturalness arguments concerning symmetries of
low-energy efiective actions also in the non-anticommutative situation, one even arrives
at non-renormalization theorems for non-anticommutative fleld theories.
In the second and major part of this thesis, we study in detail geometric aspects
of supertwistor spaces which are simultaneously Calabi-Yau supermanifolds and which
are thus suited as target spaces for topological string theories. We flrst present the
3j4geometry of the most prominent example of such a supertwistor space, P , and make
explicit the Penrose-Ward transform which relates certain holomorphic vector bundles
overthesupertwistorspacetosolutionstotheN =4supersymmetricself-dualYang-Mills
equations. Subsequently, we discuss several dimensional reductions of the supertwistor
3j4space P and the implied modiflcations to the Penrose-Ward transform.
Fermionic dimensional reductions lead us to study exotic supermanifolds, which are
supermanifolds with additional even (bosonic) nilpotent dimensions. Certain such spaces
can be used as target spaces for topological strings, and at least with respect to Yau’s
theorem, they flt nicely into the picture of Calabi-Yau supermanifolds.
Bosonic dimensional reductions yield the Bogomolny equations describing static mo-
nopole conflgurations as well as matrix models related to the ADHM- and the Nahm
equations. (In fact, we describe the superextensions of these equations.) By adding cer-
taintermstotheactionofthesematrixmodels,wecanrenderthemcompletelyequivalent
to the ADHM and the Nahm equations. Eventually, the natural interpretation of these
two kinds of BPS equations by certain systems of D-branes within type IIB superstring
theory can completely be carried over to the topological string side via a Penrose-Ward
transform. This leads to a correspondence between topological and physical D-brane sys-
tems and opens interesting perspectives for carrying over results from either sides to the
respective other one.
RCCContents
Chapter I. Introduction 15
I.1 High-energy physics and string theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
I.2 Epistemological remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
I.3 Outline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
I.4 Publications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Chapter II. Complex Geometry 25
II.1 manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
II.1.1 Manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
II.1.2 Complex structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
II.1.3 Hermitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
II.2 Vector bundles and sheaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
II.2.1 Vector bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
II.2.2 Sheaves and line bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
•II.2.3 Dolbeault and Cech cohomology . . . . . . . . . . . . . . . 36
II.2.4 Integrable distributions and Cauchy-Riemann structures . 39
II.3 Calabi-Yau manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
II.3.1 Deflnition and Yau’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
II.3.2 Calabi-Yau 3-folds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
II.3.3 The conifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
II.4