Color superconductivity from a Dyson-Schwinger perspective [Elektronische Ressource] / von Marcel Dominik Johannes Nickel

Description

Color-superconductivityfroma Dyson-Schwinger perspectiveDem Fachbereich Physikder Technischen Universit¨at Darmstadtzur Erlangung des Gradeseines Doktors der Naturwissenschaften(Dr. rer. nat.)genehmigte Dissertation vonDipl.-Phys. Marcel Dominik Johannes Nickelaus HanauDarmstadt 2007D172Referent: Prof. Dr. Jochen WambachKorreferent: Prof. Dr. Ju¨rgen BergesTag der Einreichung: 02.05.2007Tag der Pru¨fung: 11.06.2007Farbsupraleitung aus einer Dyson-Schwinger PerspektiveZusammenfassungFarbsupraleitende Phasen der Quantenchromodynamik bei verschwindenden Tempe-raturen und hohen Dichten werden untersucht. Das zentrale Objekt hierfu¨r ist die Ein-Teilchen-Green-Funktion der Fermionen, der sogenannte Quark-Propagator. Dieser wirdmit Hilfe seiner Bewegungsgleichungen, den Dyson-Schwinger Gleichungen, bestimmt.Um letztere handhaben zu k¨onnen, wird ein fu¨r das Vakuum erfolgreich angewandtesTrunkierungsschema zu endlichen Dichten erweitert und schrittweise verbessert. Dabeiwirdinsbesonderesichergestellt, dassanalytischeErgebnissebeiasymptotischhohenDich-ten reproduziert werden. Auf diese Weise wird erstmalig ein Zugang bei astrophysikalischrelevanten Dichten verwendet, der sowohl im Vakuum als auch bei asymptotisch hohenDichten bekannte Ergebnisse wiedergibt.Im ersten Teil der Arbeit wird der Rahmen der Untersuchung mit Schwerpunkt auf dieErweiterung zu endlichen Dichten dargelegt.

Sujets

• Physik

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• Publié le: 01 janvier 2007
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Extrait

a

Color-superconductivity
morfDyson-Schwingerperspective

DemFachbereichPhysik
derTechnischenUniversita¨tDarmstadt

zurErlangungdesGrades
einesDoktorsderNaturwissenschaften
(Dr.rer.nat.)

genehmigteDissertationvon
Dipl.-Phys.MarcelDominikJohannesNickel
ausHanau

Darmstadt2007
71D

2

Referent:

.forP

.rD

Jochen

Wambach

Korreferent:Prof.Dr.Ju¨rgenBerges

TagderEinreichung:02.05.2007

TagderPru¨fung:11.06.2007

FarbsupraleitungauseinerDyson-SchwingerPerspektive
Zusammenfassung
FarbsupraleitendePhasenderQuantenchromodynamikbeiverschwindendenTempe-
raturenundhohenDichtenwerdenuntersucht.DaszentraleObjekthierfu¨ristdieEin-
Teilchen-Green-FunktionderFermionen,dersogenannteQuark-Propagator.Dieserwird
mitHilfeseinerBewegungsgleichungen,denDyson-SchwingerGleichungen,bestimmt.
Umletzterehandhabenzuko¨nnen,wirdeinfu¨rdasVakuumerfolgreichangewandtes
TrunkierungsschemazuendlichenDichtenerweitertundschrittweiseverbessert.Dabei
wirdinsbesonderesichergestellt,dassanalytischeErgebnissebeiasymptotischhohenDich-
tenreproduziertwerden.AufdieseWeisewirderstmaligeinZugangbeiastrophysikalisch
relevantenDichtenverwendet,dersowohlimVakuumalsauchbeiasymptotischhohen
DichtenbekannteErgebnissewiedergibt.
ImerstenTeilderArbeitwirdderRahmenderUntersuchungmitSchwerpunktaufdie
ErweiterungzuendlichenDichtendargelegt.EswerdenauchphysikalischeObservablen
eingefu¨hrt,diedurchKenntnisdesPropagatorsbestimmtwerdenko¨nnen.
ImFolgendenwirdeinminimalesTrunkierungsschemavorgestellt.UmdieKom-
plexita¨tunseresZugangsimVergleichzupha¨nomenologischenModellenderQuanten-
chromodynamikaufzuzeigen,wirdzuna¨chstdienormalleitendePhasediskutiert.ImAn-
schlussfolgtdieUntersuchungderfarbsupraleitendenPhasenfu¨rmasseloseQuarks.Hier-
beikannderGu¨ltigkeitsbereichanalytischerErgebnisse,dieimschwachwechselwirkenden
RegimebeiasymptotischhohenDichtenbestimmtwurden,durchdirekteGegenu¨berstel-
lungmitnumerischenResultatenfu¨rastrophysikalischrelevanteDichtenausgeschlossen
werden.Zusa¨tzlichwirddieRollederQuarkmassenundvonNeutralita¨tsbedingungenfu¨r
niedrigeDichtenstudiert.ImGegensatzzupha¨nomenologischenModellenwirddieso-
genannteCFLPhasealsGrundzustandfu¨rallerelevantenDichtengefunden.Diesem
ErgebnisliegtdieerstmaligeBeru¨cksichtigungeinerModikationderWechselwirkung
imMediumzugrunde.DaNa¨herungenindiesemZugangalleinaufEbenederDyson-
SchwingerGleichungdurchgefu¨hrtwerdenundimmeraufeinekomplettselbstkonsistente
Lo¨sunggeachtetwird,werdenaußerdemneueErkenntnissezurCFLPhasegewonnen.
IneinemweiterenAbschnittwirddieAnwendbarkeitderMaximum-Entropie-Methode
zurExtraktionvonSpektralfunktionenausnumerischenErgebnissenineuklidischerRaum-
zeitdemonstriert.AlsBeispielwerdendieSpektralfunktionenvonQuarksindernormal-
leitendenundfarbsupraleitendenPhasebestimmt.HierdurchwerdendieErgebnisseun-
seresZugangsneubeleuchtet.Soko¨nnendasNicht-Fermi-Flu¨ssigkeitsverhaltendernormal-
leitendenPhaseunddieendlicheBreitederQuasiteilcheninderfarbsupraleitendenPhase
aufgezeigtwerden.

ImabschließendenKapiteldieserArbeitwerdenErweiterungenunseresTrunkierungs-
schemasinsbesonderedurchdieRu¨ckreaktionsogenannterGoldstonebosonenausgear-
beitet.DasolcheErweiterungeninunseremZugangauchnochnichtimVakuumdurch-
gefu¨hrtwurden,werdeneinleitendModikationendesQuark-PropagatorsimVakuum
bestimmt.DanachwirddieserZugangaufdieCFLPhasefu¨rmasseloseQuarkserweitert
undgleichzeitigEigenschaftenderGoldstonebosonenuntersucht.Schließlichwirdeine
selbstkonsistenteTrunkierungfu¨rdieModikationderWechselwirkungerarbeitet,welche
zusa¨tzlichdenMeißner-Ochsenfeld-Eektimplementiert.

Contents

1Introduction

2Theoreticalframework
2.1BasicaspectsofQCD..............................
2.1.1GeneratingfunctionalandLagrangianofQCD............
2.1.2GlobalsymmetriesofQCD.......................
2.1.3Gaugexing...............................
2.1.4Renormalization.............................
2.2Dyson-Schwingerequationsinthevacuum..................
2.2.1AschematicintroductiontoDSEs...................
2.2.2AtruncatedsetofDSEsforQCD...................
2.2.3TheDSEofthequarkpropagator...................
2.3Dyson-Schwingerequationsinthemedium..................
2.3.1ImaginarytimeandNambu-Gor’kovformalism...........
2.3.2qDSEandcolorneutralityatnon-vanishingchemicalpotential...
2.3.3SymmetryconstraintsontheNambu-Gor’kovpropagator......
2.3.4AsetupfortruncationsoftheqDSEinthemedium.........
2.4Relevantpropertiesandquantities.......................
2.4.1Ultravioletnitenessofthegapfunctions...............
2.4.2Occupationnumbersanddiquarkcoherencelengths.........
2.4.3Theeectiveaction...........................
2.5OnLuttinger’stheorem.............................

3AHard-Dense-Loop-liketruncationscheme
3.1Thetruncationscheme.............................
3.2Resultsfortheunbrokenphase........................
3.3Color-superconductivityinthechirallimit..................
3.3.1Color-superconductingphases.....................

i

1

6667890101013171719122527272920313

3333537393

ii

4

5

Contents

3.3.2Numericalresults............................43
3.3.3Conclusions...............................47
3.4Unlockingofcolorandavor..........................48
3.4.1TheparameterizationoftheCFLphase................49
3.4.2Thegapfunctionsand.....................52
DB3.4.3Numericalresults............................54
3.4.4Conclusions...............................63
3.5Neutralquarkmatter..............................63
3.5.1Neutralityconditionsand-equilibriumfortheCFLphase.....64
3.5.2ArethereelectronsintheCFLphase?................67
3.5.3Numericalresults............................70
3.5.4Conclusions...............................72

ApplicationoftheMaximumEntropyMethod73
4.1Introduction...................................73
4.2Spectralfunctionsandtheirproperties....................74
4.3MaximumEntropyMethod(MEM)......................76
4.4Spectralfunctionsofquarksincolddensematter..............81
4.4.1Color-superconductingquarkmatter.................81
4.4.2Inputdataanderrorestimate.....................82
4.4.3Choiceofthepriorestimate......................82
4.4.4The-dependence...........................83
4.4.5Errorestimate..............................84
4.4.6Spectraldensitiesinthe2SCandunbrokenphase..........84
4.5Summaryandconclusions...........................87

Extendingthetruncationscheme88
5.1Pioneectsinthequarkpropagator......................88
5.1.1Rainbow-ladderapproximation....................88
5.1.2Low-energypropertiesfromchiralsymmetry.............90
5.1.3Pioncontributionandtheqq¯g-vertex.................91
5.1.41/N-expansion.............................93
c5.1.5Somenumericalresults.........................94
5.2GoldstonemodesintheCFLphase......................96
5.2.1Low-energypropertiesfromWTIs...................99
5.2.2TheextendedtruncationschemefortheqDSE............103
5.2.3Numericalresults............................104

Contents

iii

5.3QRPAforthemediumpolarization......................106
5.3.1Istheunbrokenphasemeta-stable?..................106
5.3.2qq¯g-vertexconstructionfromSTI...................110
5.3.3MediumpolarizationandtheMeissnereect.............114
5.3.4Theextendedtruncationschemeforthemediumpolarization....117
5.3.5Numericalresults............................117
5.3.6Conclusions...............................120

6ConclusionsandOutlook

212

AConventions126
A.1ParameterizationsintheEuclideanframework................126
A.2SU(N)symmetrygroups............................127

BDenitionsandparameterizationsofcorrelationfunctions128
B.1Ghost,gluonandquarkpropagators......................128
B.2qq¯g-vertex....................................129
B.3Bethe-Salpeteramplitudes(BSAs).......................130
B.4GeneralizedWard-Takahashiidentities....................131

CDerivationoftheqDSEinthemedium

DThestrongrunningcouplingconstants

312

431

EParameterizationofphasesincolor-avorspace136
E.1Parameterizationof2SCandCFLphaseinthechirallimit.........136
E.2Thecolor-avorstructureoftheCFLphasefornitems..........137
E.3Thecolor-avorstructureoftheneutralCFLphase.............138
E.4Thecolor-avorstructureoftheneutral2SCphase.............139

FNumericalimplementation140
F.1ImplementationoftheqDSE..........................140
F.2ImplementationoftheMaximumEntropyMethod..............142
F.3Implementationofthemediumpolarization.................143

Chapter1

Introduction

Thelawsofnaturetowardssmallerdistancesarenowadaysunderstooddowntoscalesas
smallas1018m.Inthisregimetheir‘eective’descriptionintermsofaquantumeld
theoryisthestandardmodelofparticlephysics[1,2,3,4].Itconsistsoftwomainbuilding
blocks:theelectro-weakmodelandquantumchromodynamics(QCD).
Theelectro-weakmodeluni