Construction et analyse de plans d'expérience sphériques ...

Frédéric Bertrand

Description

Motivations Problématique statistique Plans sphériques de force t Bases de Gröbner Exemple d’application
Construction et analyse de plans
d’expérience sphériques isovariants à l’aide
d’outils combinatoires et algébriques
1FRÉDÉRIC BERTRAND
1IRMA, Université Louis Pasteur
Strasbourg, France
Courriel :fbertran@math.u strasbg.fr
JDS07 – Angers – 11 juin 2007Motivations Problématique statistique Plans sphériques de force t Bases de Gröbner Exemple d’application
Sommaire
Motivations
Problématique statistique
Admissibilité et isovariance
Isovariance et surfaces de réponses
Confusions d’effets
Plans sphériques de force t
Définition et premières propriétés des plans sphériques
Existence de plans sphériques
Estimabilité
Bases de Gröbner
Exemple d’applicationMotivations Problématique statistique Plans sphériques de force t Bases de Gröbner Exemple d’application
Motivations
Le travail réalisé porte sur l’utilisation combinée d’outils
combinatoires et algébriques pour la construction et
l’analyse de plans d’expérience.
Les principaux avantages de cette approche sont sa grande
généralité, son automatisation et l’obtention des
coordonnées exactes des points du plan ainsi que la
détermination complète des confusions d’effets.Motivations Problématique statistique Plans sphériques de force t Bases de Gröbner Exemple d’application
Nous intéresserons ici plus particulièrement à la méthodologie
des surfaces de réponse, à laquelle le lecteur trouvera une
introduction dans Myers et ...

Sujets

• Sphère
• D'une ombre à l'autre
• Polynôme
• Théorème de Rice
• Technologies de Stargate
• Mesures agro-environnementales

Informations

• Publié par: Sheym
• Nombre de lectures: 92
• Langue: Catalan

Extrait

oMitavitnosrPboélamituqetstasiituqelPnaspséhrqieusedofcretaBessedrGböenr Constructionetanalysedeplans xEmelpe d’expériencesphériquesisovariantsàl’aide d’outilscombinatoiresetalgébriques F RÉDÉRIC B ERTRAND 1 1 IRMA,UniversitéLouisPasteur Strasbourg,France Courriel: [e-mail] JDS07–Angers–11juin2007 ’dpalpcitaoin

oMitavitnosrPboélamit Motivations uqetstasiituqelPnaspséhrqieusedofcret Sommaire Problématiquestatistique Admissibilitéetisovariance Isovarianceetsurfacesderéponses Confusionsd’effets aBessedrGböenrxEmep Planssphériquesdeforcet Définitionetpremièrespropriétésdesplanssphériques Existencedeplanssphériques Estimabilité BasesdeGröbner Exempled’application el’dpalpcitaoin

oMitavitno L s ert P a r v bo a l i é l am r itq é u a e il tsa s its é ituq p e roet P s alsnpséhrqieusedofcret Motivations ru’ltulisitaoinoc B m a b s i se n d é eG e örnbreE d’outils combinatoiresetalgébriquespourlaconstructionet l’analysedeplansd’expérience. expmel Lesprincipauxavantagesdecetteapprochesontsagrande généralité,sonautomatisationet l’obtentiondes coordonnéesexactes despointsduplanainsiquela déterminationcomplètedesconfusionsd’effets. ’dpalpcitaoin

oMitavitnosrPboélamituqetstasiituqelPnaspséhrqieusedofcretaBessedrGböenrxEmelpe’dpa Nousintéresseronsiciplusparticulièrementàlaméthodologie dessurfacesderéponse,àlaquellelelecteurtrouveraune introductiondansMyersetMontgomery(2002),etplus spécifiquementaucasdesplanssphériquesetàla propriété d’isovariancestatistique ,introduiteparBoxetHunter(1957). Lesplansdontlespointssupportssontsituéssurunesphère interviennentégalement,entreautres,danslesdomaines suivants: 1.larégressionsphérique, 2.lareconnaissancedeformes, 3.lagéostatistique 4.l’analysedesaberrationsoptiques lpcitaoin

oMitavitnosrPboélamituqetstasiituqelPnaspséhrqieusedofcretaBessedrGböenrxEmelpe’d Actuellementlaconstructiondeplansd’expérienceeuclidiens reposegénéralementsurlarecherchenumériquedes coordonnéesdespoints duplan. pap Sicetterésolutionnumériquepeut,deprimeabord,sembler satisfaisantepourl’expérimentateur,ils’avèrequ’ellesouffrede certainsdéfauts. Ellerendàlafoisimpossiblel’obtentiond’uneclassificationdes plansàuneisométrieorthogonaleprèsetl’analyseexacte desconfusionsd’effetsquiapparaissentnécessairement lorsquenousnousintéressonsàdesplanseuclidiensdepetite taille. Oruneconnaissanceprécisedesconfusionsd’effetsest importantepourleplanificateuretrendenparticulierpossible l’ajoutdetermescomplémentairesàdesmodèles polynomiauxquinemodélisentpaslaréponseavec suffisammentdeprécision. ilacitno

oMitavitnosrPboélamit Motivations uqetstasiituqelPnaspséhrqieusedofcret Sommaire Problématiquestatistique Admissibilitéetisovariance Isovarianceetsurfacesderéponses Confusionsd’effets aBessedrGböenrxEmep Planssphériquesdeforcet Définitionetpremièrespropriétésdesplanssphériques Existencedeplanssphériques Estimabilité BasesdeGröbner Exempled’application el’dpalpcitaoin

oMitavitnosrPboélamituqetstasiituqelPnaspséhrqieusedofcretaBessedG Problématiquestatistique örnbrexEmelpe’dpa Définition Unplanξ 0 estditadmissibles’iln’existepasdeplanξtelque: M(ξ 0 )6M(ξ)etM(ξ 0 ) 6 =M(ξ), oùM(ξ 0 )etM(ξ)sontlesmatricesdesmoments respectivementduplanξ 0 etduplanξ. p 1.2() Lapropriétéd’admissibilitéd’unplanestuniquementassociée àsespointssupportetnedépenddoncpasdespoidsduplan. Nousneconsidéreronsdoncquedesplanspourlesquelsles poidssontuniformesetsontparconséquentdesplansexacts. ilacitno

oMitavitnosrPboélamituqetstasiituqelPnaspséhrqieusedofcretaBessedrGböenrxEmelpe’dpalp Admissibilité,invarianceetmodèlespolynomiaux Nousconsidérons: 1.unmodèlederégressionpolynomialAdedegréd, 2.undomaineexpérimentalcompact. Proposition Lamatricedesmomentsd’unplan ξ depointssupports x 1 ,..., x r est: où M(ξ)=(µ α+β ) α,β ∈A , r X µ α (ξ)=x i α ξ(x i ),α ∈ N 0 v et | α | 62d. 1=i )2.2( )3.2( citaoin

oMitavitnosrPboélamituqetstasiituqelPnaspséhrqieusedofcretaBessedrGböenrxEe Définition Siunplanξestadmissiblepourunmodèlederégression polynomialAdedegrédilestditA − admissible. pmel’dpa Définition Unplanestditisovariantpourunmodèlederégressionsipour toutg∈O n ,M (ξ g )= M (ξ) . p emmeL Nousconsidéronsunmodèlederégressionpolynomialcomplet dedegréd,A d ,etunplanξ.Alors,ilexisteunplanisovariantξ e quisoitA d − admissibleettelque: M (ξ e )> M (ξ). ()4.2 ilacitno

oMitavitnosrPboélamituqetstasiituqelPnaspséhrqieusedofcretaBessedrGböenrxEmelpe’d NouspouvonscaractériserlesplansA d −admissiblespourun domaineχcompact.Lecasunidimensionnelaététraitéen 1959parKiefer. Théorème Soientv = 1et χ=[ a , b ] avec ( a , b ) ∈ R 2 telsquea < b.Un plan ξ estA d − admissiblesietseulementsi: Card(supp(ξ) ∩ ] a , b [)6 d − 1 . pap )5.2( ilacitno

oMitavitnosrPboélamituqetstasiituqelPnaspséhrqieusedofcretaBessedrGböenrxEmelpe’d Théorème Soitv>1,et S⊂ χunsegmentnondégénéréinclusdansle domaineexpérimental.SiunplanξestA d − admissible: Card(supp(ξ) ∩ ri( S ))6d − 1, oùri( S )estl’intérieurrelatifdusegment S . pap )6.2( ilacitno