Eigenvalue distributions of Wilson loops [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Robert Lohmayer

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• Physik

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• Publié par: universitat_regensburg
• Publié le: 01 janvier 2010
• Nombre de lectures: 20
• Langue: Deutsch
• Poids de l'ouvrage: 7 Mo

Extrait

EIGENVALUE DISTRIBUTIONS OF
WILSON LOOPS
DISSERTATION
ZUR ERLANGUNG DES DOKTORGRADES
DER NATURWISSENSCHAFTEN (DR. RER. NAT.)
DER NATURWISSENSCHAFTLICHEN FAKULTAT II { PHYSIK
DER UNIVERSITAT REGENSBURG
vorgelegt von
Robert Lohmayer
aus
Muhldorf am Inn
2010Promotionsgesuch eingereicht am: 22. April 2010
Die Arbeit wurde angeleitet von: Prof. Dr. Tilo Wettig
Prufungsaussc huss:
Vorsitzender: Prof. Dr. Josef Zweck
1. Gutachter: Prof. Dr. Tilo Wettig
2.hter: Prof. Dr. Andreas Sch afer
weiterer Prufer: Prof. Dr. Thomas Niehaus3
Contents
I Introduction 9
1 Motivation 9
2 Basic concepts of group theory 11
2.1 Basic de nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Representations and characters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Group algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 The symmetric group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Lie groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6 Irreducible tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Basic concepts of quantum eld theory 24
3.1 Path integral formulation of quantum mechanics . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Quantum eld theory: path integral quantization of scalar elds . . . . . . 25
3.2.1 Green’s functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.2 Generating functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.3 Euclidean eld theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 Quantum chromodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3.1 Free fermionic Lagrangian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3.2 Functional integrals for fermion elds . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.3 Local gauge invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.4 Functional integrals for gauge elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4 Wilson loops . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4.1 Wilson lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4.2 Closed Wilson lines: Wilson loops . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4.3 Divergences in perturbation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5 Quantum eld theory on a lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5.1 Matter elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5.2 Gauge elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.5.3 Partition function and Monte Carlo methods . . . . . . . . . . . . . 46
3.5.4 Gauge xing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.5.5 Wilson loops and con nement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5.6 Renormalization and continuum limit . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.6 Large-N expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.6.1 Planar diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.6.2 Factorization of expectation values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.6.3 Loop equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4 Pure gauge theories in two spacetime dimensions 59
4.1 Factorization of the partition function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 Exact area law for Wilson loops . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.1 Abelian case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.2 Non-Abelian case: Gross-Witten singularity . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3 Probability distribution for the Wilson loop matrix . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3.1 Character expansion and continuum limit . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3.2 Lattice action in terms of the heat kernel on the group manifold . . 65
4.3.3 Migdal’s recursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664 CONTENTS
4.4 Durhuus-Olesen transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.4.1 Complex Burgers equation from loop equations . . . . . . . . . . . . 70
4.4.2 Numerical solution { phase transition in the spectral density . . . . 72
4.4.3 Edge of the spectrum { analytical results . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4.4 Moments in analytic form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.4.5 Universal properties { turbulence and random matrix model . . . . . 81
4.4.6 Universal properties { higher dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . 83
II Eigenvalue densities of Wilson loops in 2D SU(N) YM 85
‘5 Three densities () and how they compare 86N
5.1 Convenient de nitions of dimensionless area . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.2 Averaging over the Wilson loop matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.3 General properties of the densities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
true5.4 True eigenvalue density (;t) and associated resolvent . . . . . . . . . . 88N
asym5.5 The antisymmetric density (;) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90N
5.5.1 Characteristic polynomial and totally antisymmetric representations 90
5.5.2 Antisymmetric resolvent and density . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.5.3 Real Burgers equation and double scaling limit . . . . . . . . . . . . 93
5.5.4 Equations of motion for the zeros z () . . . . . . . . . . . . . . . . 95j
sym5.6 The symmetric density (;T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
N
5.6.1 Inverse characteristic polynomial and totally symmetric representa-
tions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.6.2 Integral representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.6.3 Symmetric resolvent and density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6 Motion of the zeros z () as a function of 101j
6.1 () for small . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101j
6.1.1 Approximate \equations of motion" . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.1.2 Solution of the approximate equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.1.3 Relation to harmonic oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.1.4 Largest zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.2 () for large . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103j
6.2.1 The eigenvalues at =1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.2.2 Linearization of the large- equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.2.3 Constraints on the coe cients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.2.4 Leading asymptotic behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.3 Extremal () for 4 and large N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109j
6.3.1 Universal zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.3.2 Universal numerical values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.3.3 Double scaling limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
sym7 Asymptotic expansion of (;T ) 112N
7.1 Saddle-point analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.2 Leading-order result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.3 Finite-N correction to (;T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1161CONTENTS 5
8 The true eigenvalue density at nite N 118
8.1 Character expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8.2 Performing the average . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8.3 Basic combinatorial identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8.4 Factorizing the sums over p and q for the average resolvent at zero area . . 120
8.5 Integral representation at any area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.6 Making sense of negative integer N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
8.7 Large-N asymptotics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.8 A PDE for the average of the ratio of characteristic polynomials at di erent
arguments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
9 Comparison of the three eigenvalue densities 130
symtrue9.1 of (;t) and (;T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131N N
asymtrue9.2 Comparison of (;t) and (;) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131N N
III Large-N transitions for products of random complex matrices 135
10 Basic multiplicative random complex matrix model 137
10.1 General properties of complex Wilson loop matrices . . . . . . . . . . . . . 137
10.2 De nition of the model { SL( N;C) case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
10.3 of the model { GL( N;C) case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
10.4 Fokker-Planck equation and determinant restriction . . . . . . . . . . . . . 139
10.4.1 Derivation of the Fokker-Planck equation . . . . . . . . . . . . . . . 140
10.4.2 One-dimensional example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
10.4.3 Factorization of the probability distribution . . . . . . . . . . . . . . 141
10.5 Bounds for the domain of non-vanishing eigenvalue density . . . . . . . . . 142
10.5.1 Bounds for large t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
10.5.2 for