Pr´eparation `a l’Agr´egation de Sciences Physiques Franc¸ois Levrier ENSP - Montrouge ´Physique Statistique - Corrige du TD 2 Ensemble canonique 18 octobre 2005 I - Statistique sur un nombre fini d’´etats quantiques 1. Chacune des deux particules peut ˆetre dans l’un des trois ´etats individuels |0i, |1i et |2i, mais le nombre d’´etats quantiques possibles pour l’ensemble des deux particules d´epend de la statistique consid´er´ee. Dans le cas de la statistique de Maxwell-Boltzmann avec des particules discernables, le nombre d’´etats quantiques du syst`eme est simplement ´egal au produit du nombre d’´etats individuels de chaque particule, donc Ω = 9. Lorsque lesMBD particules sont des indiscernables, il faut prendre en compte le postulat de sym´etrisation. Les ´etats|ai⊗|bi et|bi⊗|ai sont alors indistincts et ne doivent ˆetre compt´es qu’une fois. D’autre part, si les particules sont des bosons, les ´etats de la forme|ai⊗|ai sont autoris´es, d’ou` Ω = 6. Enfin, lorsqu’on consid`ere la statistique de Fermi-Dirac, il faut ´egalementBE ignorer ces ´etats|ai⊗|ai, ce qui implique que Ω = 3.FD 2. La fonction de partition est d´efinie comme la somme, sur tous les ´etats du syst`eme, des termes exp(−βE) ou` E est l’´energie du syst`eme dans l’´etat consid´er´e. En utilisant le d´enombrement de la question pr´ec´edente et en ´ecrivant le tableau des ´energies E, MBD BE FD |0i⊗|0i −→ E = 0 1 1 0 |0i⊗|1i −→ E = 2 1 1 |0i⊗|2i −→ E = 2 2 1 1 |1i⊗|1i −→ E = 2 1 1 0 |1i⊗|2i −→ E = 3 2 ...
ce qui ne redonne pas la fonction de partition de la statistique de BoseEinstein, du fait de l’existenced’e´tatso`ulesparticulessontdanslemeˆme´etatindividuel.Ceuxciexistentdans lesdeuxstatistiques,etontlemeˆmenombreder´ealisationsdanslesdeuxcas,nombrequi
nedoitpasˆetremodife´parlefacteurdeGibbs.Onretrouvelefait,note´auTD1,quela division parNt´libinaerscdiin’ledtnemetcerrocmptendconere!rticulesuqleseapqeeuolsr occupentdes´etatsquantiquesindividuelsdistincts. 3.eparnn´eyennlamo´drepenosee´e´dene´eL’etnieigrodtseenrrgnesmieroacopsceuqi,s X X 1 1∂Z1ξ ∂Z∂Z ∂ξ U=PlEl=Elexp (−βEl) =−=−=. Z Z∂β Z∂ξ ∂βZ ∂ξ l l Enfonctiondelastatistiqueconside´r´ee,onaalors 2 3 ξ2 + 6ξ+ 6ξ+ 4ξ UMBD=UMB=,pour la statistique de MaxwellBoltzmann, 2 34 1 + 2ξ+ 3ξ+ 2ξ+ξ 2 3 ξ1 + 4ξ+ 3ξ+ 4ξ UBE=,pour la statistique de BoseEinstein, 2 3 4 1 +ξ+ 2ξ+ξ+ξ 2 ξ1 + 2ξ+ 3ξ UFD=,pour la statistique de FermiDirac. 2 3 ξ+ξ+ξ Danslalimitedeshautestemp´eratures,soitpourβ→0 et doncξ→1, on a limUMB= limUBE= limUFD= 2 . ξ→1ξ→1ξ→1
Description du gaz 1.nsit´ed’,queladenuperaite´atst’dnaOejd´a,e´1DTuaca`luclrbilelucessamedemdans une boˆıte de volumeVenne´tsodfonce,endel’tionene´eigr, par 3/2 3/2 V mm 1/2 1/2 ρ() ==AV avecA= 2 32 3 2π~2π~
2.La fonction de partitionzenua`ee´icossaseazegedulicrtpacalculeenutilisatnaledsntie´ d’e´tatscidessus,commeuneinte´gralequiestlalimitecontinuedelaformuleclassiquede sommationsurlese´tatsdiscrets,soit Z ZZ ∞ ∞∞ 2AV 2 −β1/2−β2−x2 z=ρ()ed=eAV d=x edxen posantβ=x . 3/2 0 0β0 Cetteint´egralepeutsecalculerparint´egrationparpartie,etellevautπ/P.4ocrae´snneuqt,
2 AV πV2π~ z= == laavec Λlongueur d’onde thermique de de Broglie. 3/2 3 2βΛmkBT 3.e´’lnorticecxereCl’amommeoprune,t´cderpe´nctilafoulercalcssanoititrapedno`aeei´oc l’ensemble desNgraitucelpuantlegasconstitvuopdrioli,ztuafesrlta´eno´erembivantssutla statistiqueapproprie´e.Orlecalculexactdanslecasge´ne´ralestimpossible,danslecadredu formalismecanonique,dufaitdel’indiscernabilite´desparticules.Unepossibilite´decalcul approch´econsiste`autiliserl’approximationdeMaxwellBoltzmann.Pourcela,onpartdu casou`lesNgosselucirecsidtnrtpa´teee´ora`ds1ees,enablcnumtdonNgfonction de. La partitionassocie´e`acesyst`emeestalorsdonn´eeparlasomme X (d) exp ( Zg=−βEl), l o`ul=λ1⊗. . .⊗λNgatetcrmicoosqupie´dngis´nuessy`tdesuteelme,eλiontlstatses´e individuelsdechaqueparticule.Commed’autrepartl’e´nergieEletse´agemm`alesola des´energiesindividuellesdesparticules,puisquelegazestsuppose´parfait,onpeutalors factoriser X X (d)Ng Z(= exp−β)×. . .×) =z , g λ1exp (−βλNg λ1λN g laderni`ere´egalite´exprimantlefaitquetouteslesparticulesontlamˆemefonctiondepartition individuelle.L’approximationdeMaxwellBoltzmannprendencomptel’indiscernabilite´en divisant par le facteurNg!e,´`jd’altdiaemnoc,mo Ng z Zg=. Ng! Ceciestjustifi´esilaprobabilite´quedeuxparticulessoientdanslemeˆme´etatquantique individuelesttre`sfaible.CelaseralecassilenombremoyenNλucelraitdpeatetn´suansd donne´λpemeˆmiultselusee´atseaptrcint1.Or,letitdevatseenec,rbmodaenesntinntepd´ e´gala`Ngiofaborpalseqt´libiarepunu’elositucsnectiadat,st´etoit Ng β −λ Nλ=NgPλ=e . z Cenombreestpetitdevantund`eslorsquecetteconditionestre´alise´epourl’e´tatfonda mental,quiestlepluspeuple´,etdontl’e´nergieestnulle, 3 NgNgΛ N0= =1. z V