Existence and structure of strange non-chaotic attractors [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Tobias Henrik Jäger

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• Publié par: friedrich-alexander-universitat_erlangen-nurnberg
• Publié le: 01 janvier 2005
• Nombre de lectures: 16
• Langue: Deutsch
• Poids de l'ouvrage: 36 Mo

Extrait

Existence and structure
of strange non-chaotic attractors
Den Naturwissenschaftlichen Fakultaten¨
der Friedrich-Alexander-Universitat Erlangen-Nurnberg¨ ¨
zur Erlangung des Doktorgrades
vorgelegt von
Tobias Henrik Ja¨ger
aus Lich
iAls Dissertation genehmigt von den Naturwissenschaftlichen
Fakultaten der Friedrich-Alexander-Universitat Erlangen-Nurnberg¨ ¨ ¨
Tag der mu¨ndlichen Pru¨fung: 20.07.2005
Vorsitzender der Promotionskommission: Prof. Dr. D.-P. H¨ader
Erstberichterstatter: Prof. Dr. Gerhard Keller
Zweitberichterstatter Prof. Dr. Andreas Knauf
iiAcknowledgments: First of all, I would like to thank Gerhard Keller, without
whose guidance and advice this work would not have been possible. Further, I
would like to thank Andreas Greven for his support concerning various funding
applications, Henk Bruin and the Mathematics Department at the University of
Surrey for their hospitality during my visit to Guildford, and all colleagues in the
AG Stochastik und Dynamische Systeme at Erlangen. Finally, although not di-
rectly related to the thesis the collaboration with Jaroslav Stark, Sylvain Crovisier,
Francois Beguin, Frederique LeRoux and Paul Glendinning during the final period
of my PhD studies had also been a great source of inspiration.
iiiZusammenfassung: Die Existenz seltsamer nicht-chaotischer Attraktoren (SNA)
in quasiperiodisch getriebenen Systemen ist in zweierlei Hinsicht bemerkenswert,
weil dies zeigt daß seltsame Attraktoren sowohl in nicht-hyperbolischen Systemen
als auch in Verbindung mit nicht-chaotischer Dynamik auftreten k¨onnen. Daru¨ber-
hinaus spielen SNA auch eine besondere Rolle fu¨r die Verzweigungen invarianter
Tori, da sie ha¨ufig in sogenannten ‘nicht-glatten’ Sattel- und Heugabelverzweigun-
gen auftreten. Dies ist meist von einem vorhergehenden sehr charakteristischen
Verhalten der invarianten Tori begleitet, welches sich als ‘Exponentielle Entwick-
lung von Peaks’ beschreiben laßt. Ausgehend von dieser Beobachtung sollen in der¨
vorliegenden Arbeit neue Methoden entwickelt werden, um sowohl die Existenz von
SNA nachzuweisen als auch deren Struktur naher zu untersuchen.¨
Dabei werden in der Einleitung zuna¨chst die beno¨tigten Grundbegriffe bereit-
gestellt und dann anhand numerischer Daten belegt, das sich das beschriebene
Ph¨anomen in einer ganzen Reihe verschiedener und auch physikalisch relevanter
Systeme beobachten la¨ßt. In Kapitel 2 werden dann zuna¨chst sogenannte ‘Pinched
skew products’ untersucht. In diesen sehr einfachen Modellsystemen ist die Ex-
istenz von SNA bereits seit la¨ngerem bekannt, so daß es hier darum geht die
Struktur dieser Objekte naher zu beschreiben. Dies wird durch eine quantifizierte¨
Beschreibung der exponentiellen Entwicklung von Peaks ermo¨glicht. Der gesamte
restliche Teil der Arbeit ist dem Nachweis von SNA in bestimmten Parameterfami-
lien quasiperiodisch getriebener Intervallabbildungen gewidmet. Im 3. Kapitel wer-
den dazu einige allgemeine Grundlagen zusammengestellt. Zunachst werden allge-¨
meineSattelverzweigungen indenbetrachteten Systemenbeschrieben,dieabha¨ngig
davon ob es am Verzweigungspunkt zum Auftreten von SNA’s kommt als ‘glatt’
(ohne SNA) oder ‘nicht-glatt’ bezeichnet werden. Der in den numerischen Simula-
tionen beobachtete Ablauf von nicht-glatten Verzweigungen legt zudem nahe, daß
es dabei zum Auftreten eines speziellen Typs sehr ungewohnlicher Orbits kommt,¨
dieals ‘Sink-source-orbits’ bezeichnet werden. Die Existenz dieser Orbitsimpliziert
wiederum die Existenz von SNA’s. Daher genugt es in den folgenden Kapiteln die¨
erstere nachzuweisen, was zu einer wesentlichen Vereinfachung des Problems fu¨hrt.
Die Konstruktion der Sink-source-orbits geschieht dann durch Approximation mit
immer la¨ngeren endlichen Trajektorien. In Kapitel 4 wird zun¨achst die zugrun-
deliegende Strategie erlautert und die erste Stufe der induktiven Konstruktion aus-¨
gefu¨hrt. Zu Ende gefu¨hrt wird diese dann in Kapitel 6, wobei die wesentlichen
Hilfsmittel und Werkzeuge zuvor in Kapitel 5 bereitgestellt werden. Im letzten
Kapitel wird schließlich mit einer leichten Abwandlung der vorhergehenden Kon-
struktion die Existenz von SNA mit speziellen Symmetrieeigenschaften gezeigt, wie
sie in nicht-glatten Heugabelverzweigungen entstehen.
ivAbstract: The existence of strange non-chaotic attractors (SNA) in quasiperiodi-
cally forced systems is remarkable in two ways, as it shows that strange attractors
can occur both in systems which are not hyperbolic and in combination with non-
chaotic dynamics. Further, SNA’s seem to play an important role in the bifurca-
tionsofinvarianttori,astheyoftenoccurinso-called ‘non-smooth’ saddle-nodeand
pitchfork bifurcations. This is accompanied by a very distinctive behaviour, which
can be described as ‘exponential evolution of peaks’. Based on this observation, the
aim of this thesis is to develop a new method by which the existence of SNA can
be proved and their structure can be analyzed.
The introduction first provides some basic terminology. Further, it shows by
meansofnumericalsimulations thatthedescribedphenomenonispresentinanum-
ber of different systems, some of which are directly motivated by physical models.
Afterwards so-called ‘pinched skew products’ are studied in Chapter 2. For these
verysimplemodelsystemstheexistenceofSNAisalreadywell-known,suchthatthe
aimhereistoobtainfurtherinformationaboutthepropertiesandstructureofthese
objects. This is achived by a quantitative description of the exponential evolution
ofpeaks. Theremainderofthisthesisisthendedicated to theproofoftheexistence
of SNA in certain parameter families of interval maps with additive quasiperiodic
forcing. Chapter 3 first contains a description of saddle-node bifurcations in the
considered families. Depending on whether these bifurcations involve the occur-
rence of SNA, they are called either ‘smooth’ (without SNA) or ‘non-smooth’ (with
SNA). The characteristic behaviour during non-smooth bifurcations which can be
observed numerically furthersuggests that there exists a particular type of very un-
usualorbitsatthebifurcationpoint,whichwillbereferredtoas‘sink-source-orbits’.
The existence of such orbits implies the existence of SNA, which leads to a signifi-
cant simplification of the problem. The sink-source-orbits are then constructed by
means of approximation with finite trajectories. Chapter 4 first outlines the overall
strategy and also contains the first step of the inductive construction. Before this is
continued in Chapter 6, the necessary tools and auxiliary statements are provided
inChapter5. Finally, thelastchapter usesaslight modificationofthisconstruction
to show the existence of SNA with a certain kind of symmetry, as they occur in
non-smooth pitchfork bifurcations.
vviContents
1 Introduction 1
1.1 Basic definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Non-smooth saddle-node bifurcations and exponential evolution of
peaks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 A brief sketch of the mechanism behind . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Using the heuristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Non-smooth pitchfork bifurcations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Strange non-chaotic attractors in pinched skew products 20
2.1 The existence of SNA in pinched systems . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 How to use the exponential evolution of peaks . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Controlling the shape of the iterated upper boundary lines . . . . . . 21
2.4 The topological closure of the upper bounding graph . . . . . . . . . 26
2.5 Upper bounding graphs which contain isolated points . . . . . . . . 32
3 A general setting for the non-smooth saddle-node bifurcation 36
3.1 Equivalence classes of invariant graphs and the essential closure . . . 36
3.2 Saddle-node bifurcations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 Sink-source-orbits and the existence of SNA . . . . . . . . . . . . . . 42
4 The strategy for the construction of the sink-source-orbits 46
4.1 The first stage of the construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2 Dealing with the first close return . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3 Admissible and regular times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.4 Outline of the further strategy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5 Tools for the construction 59
5.1 Comparing orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2 Approximating sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3 Exceptional intervals and admissible times . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.4 Regular times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6 Construction of the sink-source orbits: One-sided forcing 81
6.1 Proof of the induction scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.2 The existence of SNA and some further remarks . . . . . . . . . . . 98
7 Construction of the sink-source-orbits: Symmetric forcing 104
7.1 Proof of the induction scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.2 SNA’s with symmetry . . . . . . . . . . . . . . .