Firing statistics in neurons as non-Markovian first passage time problem [Elektronische Ressource] / von Tatiana Engel, geb. Verechtchaguina

Engel Geb. Verechtchaguina Tatiana

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• Publié le: 01 janvier 2007
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Extrait

Firing Statistics in Neurons as Non-Markovian First Passage
Time Problem
DISSERTATION
zur Erlangung des akademischen Grades
doctor rerum naturalium
(Dr. rer. nat.)
im Fach Physik
eingereicht an der
Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät I
Humboldt-Universität zu Berlin
von
Frau Dipl.-Phys. Tatiana Engel geb. Verechtchaguina
geboren am 31.08.1980 in Vologda
Präsident der Humboldt-Universität zu Berlin:
Prof. Dr. Christoph Markschies
Dekan der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät I:
Prof. Dr. Christian Limberg
Gutachter:
1. Prof. L. Schimansky-Geier
2. Prof. A.V.M. Herz
3. Prof. J. Garcia-Ojalvo
eingereicht am: 20. Dezember 2006
Tag der mündlichen Prüfung: 5. März 2007iiAbstract
Recentexperimentsrevealedthenon-Markoviancharacteroftheescapedynamicsinmany
physical, chemical and biological systems on time scales prior to relaxation. The escape rates
in the non-Markovian case are time-dependent and the escape times are dictated by the initial
conditions. Complex, multipeak distributions of the first passage time are characteristic for
the non-Markovian case. The non-Markovian first passage time problem cannot be reduced
to Kramers’ rate description and requires a more detailed, time-dependent approach. In this
thesis we investigate various aspects of the non-Markovian first passage time problem and in
particular its application to the dynamics of neurons.
Analytical, numerical and experimental methods are jointly used in this work to provide
a deeper insight into the many facets of the non-Markovian first passage time problem. On
the one hand, the analytical treatment allows for a closer inspection and comprehension
of the complex multipeak distributions. On the other hand, comparison of the analytical
and numerical predictions with experimental data uncovers the mechanisms underlying the
experimentallyobservedphenomenaandstimulatesthedevelopmentofmorecompleteneuron
models.
We elaborate an analytical approach to the non-Markovian first passage time problem,
which is based on the theory of level-crossings, and obtain several analytical approximations
for the first passage time density of a random process with differentiable trajectories. Based
on an exact expression for the first passage time density in form of an infinite series of
integrals over the joint densities of level-crossings, the approximations are derived either by
truncations (direct truncations and Padé approximants) or by correlations decoupling (Hertz
and Stratonovich approximations). We compare the quality of these approximations and
ascertain their regions of validity. Our approximations are applicable and provide accurate
results for different types of dynamics, ranging from almost Markovian to strongly non-
Markovian cases.
These analytical approximations in combination with numerical methods are applied to
investigatethespikepatternsobservedinresonantandnonresonantneurons. Inparticular,we
focus on spontaneous (driven by intrinsic noise) spike patterns obtained in stellate (resonant)
and pyramidal (nonresonant) cells in the entorhinal cortex in rat. These two types of neurons
exhibit striking different spike patterns attributed to the differences in their subthreshold dy-
namics. We use the phenomenological resonate-and-fire model, which can capture both types
of subthreshold dynamics and is still analytically tractable. By applying the Stratonovich
approximation, we show that the model with experimentally estimated pa-
rameter values can quantitatively reproduce the interspike interval distributions measured in
resonant as well as in nonresonant cells. We also found negative interspike interval correla-
tions in both types of neurons. To capture these negative correlations, we introduce a novel
nonrenewal threshold mechanism in the resonate-and-fire model. The nonrenewal model can
quantitatively reproduce both: the striking differences in the interspike interval distributions
as well as similar correlations observed experimentally in stellate and in pyramidal cells.Zusammenfassung
Der Charakter der Schwellwertdynamik (engl. escape dynamics) vieler physikalischer, chemi-
scher und biologischer Systeme hat sich in neueren Experimenten als im wesentlichen nicht
Markowsch herausgestellt. In diesem Fall sind die Übergangsraten (engl. escape rates) von
der Zeit und den Anfangsbedingungen abhängig und es stellen sich komplexe Wahrschein-
lichkeitsverteilungen für die erste Durchgangszeit (engl. first passage time) ein. Aufgrund
der Zeitabhängigkeit lässt sich das nicht Markowsche Schwellwertproblem nicht mit Kra-
mers Ratentheorie beschreiben und erfordert die Entwicklung eines Ansatzes mit expliziter
Zeitabhängigkeit für die Übergangsraten. In dieser Arbeit werden verschiedene Aspekte nicht
Markowscher Schwellwertprobleme und deren Anwendung bei der Beschreibung der Dynamik
von Neuronen untersucht.
Durch die Anwendung analytischer, numerischer und experimenteller Methoden konnten
wir einen detaillierten Einblick in den Bereich nicht Markowscher Schwellwertdynamik erhal-
ten. Einerseits erlaubt uns der analytische Zugang eine nähere Untersuchung und ein besseres
Verständnis der Wahrscheinlichkeitsverteilung der ersten Durchgangszeit. Andererseits hilft
uns der Vergleich von analytischen als auch numerischen Vorhersagen mit experimentellen
Daten, die grundlegenden Mechanismen der Neuronendynamik zu verstehen und die Ent-
wicklung detaillierter Neuronmodelle besser zu motivieren.
In dieser Arbeit entwickeln wir einen analytischen Zugang zu nicht Markowschen Pro-
blemen, dem die Theorie der Schwellwertüberschreitung (engl. level crossings) zu Grunde
liegt. Im Ergebnis erhalten wir mehrere analytische Näherungen für die Wahrscheinlichkeits-
verteilung der ersten Durchgangszeit für Zufallsprozesse mit differenzierbaren Trajektorien.
Ausgangspunkt für die Entwicklung dieser Näherungen ist eine unendliche Reihe von In-
tegralen über die Verbundsdichten der Schwellwertüberschreitungen. Dieser mathematisch
exakte Ausdruck für die Wahrscheinlichkeitsdichte der ersten Durchgangszeit wird durch den
Abbruch der Reihe (endlicher Abbruch der Reihe oder Padénäherung) oder durch die Ent-
kopplung der Korrelationen (Hertz- oder Stratonovichnäherung) genähert. Die Qualität und
der Gültigkeitsbereich der Näherungen werden von uns sorgfältig untersucht. Die abgeleiteten
Näherungen decken dabei den gesamten Bereich zwischen fast Markowschen und stark nicht
Markowschen Problemen ab.
Diese analytischen Näherungen werden in Kombination mit numerischen Methoden ge-
nutzt, um Spikemuster in resonanten und nicht-resonanten Neuronen zu untersuchen. Im
Besonderen haben wir uns dabei für die Entstehung spontaner, durch zellinternes Rauschen
hervorgerufener, Spikemuster in stellaten (resonanten) und pyramidalen (nicht-resonanten)
Zellen des entorhinalen Kortex in Ratten interessiert. Diese zwei Neuronentypen zeigten
deutliche Unterschiede in den Spikemustern, die den jeweiligen Unterschieden in den un-
terschwelligen Dynamiken zuzuordnen sind. Es ist hervorzuheben, dass die Anwendung der
StratonovichnäherungfürdenFalldesResonate-and-FireModells,dieInterspikeintervalldich-
te resonanter und nicht-resonanter Neuronen wiederzugeben vermag. Des weiteren wurden
negative Korrelationen in den Spikesequenzen für beide Neuronentypen gefunden. Um die-
se negativen Korrelationen angemessen zu beschreiben, haben wir einen nicht erneuerbaren(engl. nonrenewal) Schwellenmechanismus in das Resonate-and-Fire Modell integriert. Das
so modifizierte Resonate-and-Fire Modell kann die starken Unterschiede in den Interspikein-
tervalldichten als auch ähnliche Korrelationen in resonanten und nicht-resonanten Neuronen
beschreiben.Contents
1 Introduction 1
2 Basic facts and concepts 5
2.1 Deterministic aspects of neuron dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Neurons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.2 Subthreshold resonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.3 Neuron models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Stochasticity in neurons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.1 Mathematical description of random spike trains . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2 Modeling noise in neurons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.3 Role of noise in signal processing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Brief theory of point processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Multipeak first passage time densities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Characterization of firing patterns in resonant and nonresonant neurons 35
3.1 Subthreshold dynamics of the FitzHugh-Nagumo model . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Power spectral density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 Waiting-time density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4 Power spectral density obtained from waiting-time density . . . . . . . . . . . 44
4 Markovian approach to the first passage time problem 51
4.1 First passage time problem in Markovian models . . . . . . . . . . . . . . . . 52