Formalismes non classiques pour le traitement informatique de la topologie et de la géométrie discrète, Non classical formalisms for the computing treatment of the topoligy and the discrete geometry

Agathe Chollet

Description

Sous la direction de Guy Wallet, Eric Andres
Thèse soutenue le 07 décembre 2010: La Rochelle
L’objet de ce travail est l’utilisation de certains formalismes non classiques (analyses non standard, analyses constructives) afin de proposer des bases théoriques nouvelles autour des problèmes de discrétisations d’objets continus. Ceci est fait en utilisant un modèle discret du système des nombres réels appelé droite d’Harthong-Reeb ainsi que la méthode arithmétisation associée qui est un processus de discrétisation des fonctions continues. Cette étude repose sur un cadre arithmétique non standard. Dans un premier temps, nous utilisons une version axiomatique de l’arithmétique non standard. Puis, dans le but d’améliorer le contenu constructif de notre méthode, nous utilisons une autre approche de l’arithmétique non standard découlant de la théorie des Ω-nombres de Laugwitz et Schmieden. Cette seconde approche amène à une représentation discrète et multi-résolution de fonctions continues.Finalement, nous étudions dans quelles mesures, la droite d’Harthong-Reeb satisfait les axiomes de Bridges décrivant le continu constructif.
-Analyse nonstandard
-Géométrie Discrète
-Mathématiques Constructives
The aim of this work is to introduce new theoretical basis for the discretization of continuous objects using non classical formalisms. This is done using a discrete model of the continuum called the Harthong-Reeb line together with the related arithmetization method which is a discretisation process of continuous functions. This study stands on a nonstandard arithmetical framework. Firstly, we use an axiomatic version of nonstandard arithmetic. In order to improve the constructive content of our method, the next step is to use another approach of nonstandard arithmetic deriving from the theory of Ω-numbers by Laugwitzand Schmieden. This second approach leads to a discrete multi-resolution representation of continuous functions. Afterwards, we investigate to what extent the Harthong-Reeb line fits Bridges axioms of the constructive continuum.
-Nonstandard Analysis
-Discrete Geometry
-Constructive Mathematics
Source: http://www.theses.fr/2010LAROS315/document

Sujets

• Géométrie discrète

Informations

• Publié par: Thesee
• Nombre de lectures: 45
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 4 Mo

Extrait

UNIVERSITÉ DE LA ROCHELLE
ÉCOLE DOCTORALE SCIENCES ET
INGÉNIERIE POUR L’INFORMATION
LaboratoireMathématiques,ImagesetApplications
THÈSE présentée par :
AgatheCHOLLET
soutenue le :7décembre2010
pour obtenir le grade de : Docteur de l’université de La Rochelle
Mention : Mathématiques et Applications
Formalismes non classiques pour le traitement
informatique de la topologie et de la géométrie
discrète
JURY :
Gilles Dowek Professeur, École Polytechnique, Rapporteur
Henry Lombardi Maître de Conférences HDR, Université de Franche-
Comté, Rapporteur
Jean-Pierre Reveillès Professeur Émérite, Université d’Auvergne, Rappor-
teur
Jean Petitot Directeur d’Étude à l’École des Hautes Études en
Sciences Sociales, Examinateur
Michel Berthier Professeur, Université de La Rochelle, Examinateur
Guy Wallet Professeur, Université de La Rochelle, Directeur de
thèse
Eric Andres Professeur, Université de Poitiers, Co-directeur de
thèse
Laurent Fuchs Maître de conférences, Université de Poitiers, Enca-
drant scientifique
tel-00579781, version 1 - 25 Mar 2011tel-00579781, version 1 - 25 Mar 2011Remerciements
Quelques remerciements pour commencer, de convention certes, mais surtout de toutes sin-
cérités et avec ma plus profonde gratitude.
Je débuterai par Guy Wallet, dont les qualités scientifiques et humaines seront toujours un
exemple pour moi. Je le remercie de m’avoir appris et fait découvrir de nombreux pans des
mathématiques et de la logique. Son soutien, son exigence, son aide précieuse et décisive, ses
idées, son encouragement, sa tolérance ont permis l’élaboration et l’accomplissement de cette
thèse. Je remercie ensuite Laurent Fuchs pour avoir partagé avec moi sa curiosité scientifique et
pour m’avoir tant de fois «emmené dans sa valise». Il m’a permis de découvrir et m’a enseigné
de nombreux domaines scientifiques passionnants. Je le remercie pour l’aventure Coq durant
laquelle, avec Nicolas Magaud, nous avons pu tant échanger et partager. Je remercie Eric Andres
pouravoiracceptédeco-dirigercettethèse,pourm’avoirtransmislesconnaissancesnécessairesen
géométrie discrète et pour ses conseils méthodologiques et scientifiques. Je remercie aussi Gaelle
Largeteau Skapin pour avoir toujours, et avec beaucoup d’humour et de sympathie, collaboré à
ces travaux.
Je tiens sincèrement à remercier les membres de mon jury de thèse. Tout d’abord, mes
rapporteurs, Ms. Jean-Pierre Reveillès, Gilles Dowek et Henry Lombardi, j’ai eu le plaisir de les
rencontrer à différents moments plus ou moins avancés de ma thèse et leurs remarques, toujours
pertinentes, surtout au moment des rapports m’ont beaucoup apporté. Je suis très fière, de par
leurs compétences et envergures scientifiques, qu’ils aient accepté de rapporter et critiquer ces
travaux. Je remercie Michel Berthier d’avoir accepté de faire partie de ce jury. Et finalement, je
remercie Jean Petitot de me faire l’honneur d’être présent et d’avoir suivi ces travaux.
Je remercie ma région, celle de Poitou-Charentes, pour le financement de ces travaux.
Je remercie l’ensemble des enseignants-chercheurs du laboratoire MIA et du département de
mathématiques de l’université de La Rochelle, notamment son directeur, Michel Berthier. Je les
remercie pour les cours de qualités qu’ils m’ont donnés ainsi que leurs discussions chaleureuses
au quotidien. Une mention particulière pour Christophe Saint-Jean qui a souvent pris le temps
de m’aider tant au niveau programmation que dans ses conseils et le partage de ses points de
vue. Je n’oublierai pas Christine Sicard, secrétaire du Laboratoire MIA qui, au quotidien, de par
sa gentillesse et son efficacité, m’a rendu de nombreux services. Je remercie aussi les membres
du laboratoire SIC pour m’avoir accueillie.
Ensuite, mes camarades de classe. Tout d’abord, Sloven, merci pour ton amitié au quotidien,
tes discussions astucieuses, ton aide précieuse tant pratique que logistique. Ensuite, je remercie
tous mes camarades du MIA, du SIC et d’ailleurs, Charles, Romain, Mathéo, José, Benjamin,
Guillaume, Aurélie, Baptiste, Stéphane, Luca, Virginie .. pour avoir partagé du savoir et des jolis
moments avec moi. Une pensée particulière pour Marc, mon ami poitevin qui a parcouru ces
trois années avec moi, de colloques en workshop, de Saint-Dié à Playa del Carmen, de la gare de
Poitiers au SIC...
Puis mes compagnons de routes et amis. Tout d’abord, Loulou, à qui je dois beaucoup. Puis,
tel-00579781, version 1 - 25 Mar 2011iv
Benjamin qui a su me faire découvrir de nombreux domaines scientifiques et qui, de par ses
discussions éclairées m’a donné goût à la recherche. Je remercie aussi mes amis Delphine et
Guillaume pour leurs partages d’idéaux et leurs intérêts constants à mes travaux. Je remercie
aussi mes copines Béné et Marion pour leurs précieuses relectures de cette thèse. Je les remercie
aussi, ainsi que Wi et Anoul, pour leur partage, depuis bien longtemps, de leurs pensées et leurs
passions. Je les remercie toutes les six d’avoir parfois su réduire mes doutes et m’avoir toujours
entourée. Je remercie aussi mes co-fondateurs de SYNAPSE, Arnaud, Clémence et Clotilde qui
m’ont toujours beaucoup apporté durant ces trois années tant dans la réalisation citoyenne
que dans le partage de nos expériences scientifiques. Pour finir, je salue mon ami du vendredi,
Léo, ingrédient indispensable à ma sociabilité qui partage depuis quelques années toutes ses
considérations artistiques, humaines et humouristiques avec moi.
Jeremercieensuitel’ensembledemafamille.Mamèretoutd’abord.Cellequiapermisdefaire
de chacun de nous trois, mon frère, ma soeur et moi, des êtres particulièrement stables et donc,
capablesderéalisercequel’onvoulait.Ellenousadonnéunamour,uneconfiance,untemps,une
admiration, une éducation dont tout enfant qui le perçoit et le reçoit ne peut être qu’heureux.
Mon père ensuite, je le remercie pour le temps passé devant mes cahiers de mathématiques puis
pour nos discussions autour de celles-ci. Je le remercie pour avoir guidé et éveillé chacun de mes
intérêts majeurs. Je leur dédie à tous les deux cette thèse. Je remercie ensuite ma soeur, Mélanie,
qui a eu le bon goût de tout me montrer, notamment une voie que j’ai su suivre par admiration.
Je remercie mon petit frère, Valentin, dont l’intelligence non-académique et humaniste saura
toujours me rappeler où je dois être. Je remercie mes grands-mères, Mémé et Mamy Lolotte dont
l’affection et l’oreille attentive m’ont toujours beaucoup apporté.
Pour finir en beauté, car il l’est, je remercie mon amour Baptiste, dont la douce présence,
les qualités d’esprit, les discussions qui en découlent, le soutien, l’exigence à mon égard ... me
permettent de découvrir et de réaliser ce que j’aime.
tel-00579781, version 1 - 25 Mar 2011Table des matières
Publications iii
0Introduction 1
0.1 Préambule........................................ 1
0.2 Historique ........................................ 3
0.3 Présentation du plan .................................. 7
1Deuxprésentationsdeladroited’Harthong-Reb 11
1.1 Introduction..................... 11
1.2 La droite d’Harthong-Reeb basée sur une axiomatique nonstandard........ 11
1.2.1 Arithmétique nonstandard axiomatique ................... 11
1.2.2 Construction de la droite d’Harthong-Reeb ................. 15
1.2.3 Isomorphisme entreHR etR ...................... 19ω lim
1.3 Nouvelle droite d’Harthong-Reeb définie à partir desΩ-nombres.......... 20
1.3.1 Introduction au modèle de Laugwitz-Schmieden .............. 20
1.3.2 Changement d’échelle sur lesΩ-Entiers.................... 27
lim1.3.3 Isomorphisme entreHR etQ ....................... 28ω Ω
1.3.4 En pratique, sur machine ........................... 29
2Procesusd’arithmétisation 31
2.1 Introduction....................................... 31
2.1.1 Arithmétisation directe et ses limites..................... 32
2.2 Arithmétisationd’objetscontinusdupointdevued’unearithmétiquenonstandard
axiomatique....................................... 33
2.2.1 Description générale du processus d’arithmétisation............. 33
2.2.2 Exemples d’arithmétisation de courbes.................... 38
2.3 Arithmétisation d’objets continus du point de vue desΩ-Entiers.......... 44
2.3.1 Description du schéma....................... 44
2.3.2 En pratique et illustrations ........ 48
2.4 Conclusion........................................ 56
3Analysedelaconstructivité 59
3.1 Introduction..................... 59
3.2 Logique constructive 60
3.3 Retour sur les dé