Functional data analysis with applications in finance [Elektronische Ressource] / von Michal Benko

Benko Michal

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• Publié par: humboldt-universitat_zu_berlin
• Publié le: 01 janvier 2006
• Nombre de lectures: 38
• Langue: English
• Poids de l'ouvrage: 2 Mo

Extrait

Functional Data Analysis with Applications in
Finance
DISSERTATION
zur Erlangung des akademischen Grades
doctor rerum politicarum
(Doktor der Wirtschaftswissenschaft)
eingereicht an der
Wirtschaftwissenschaftlichen Fakultät
Humboldt-Universität zu Berlin
von
M.Sc. Michal Benko
geboren am 31.07.1979 in Banská Bystrica
Präsident der Humboldt-Universität zu Berlin:
Prof. Dr. Christoph Markschies
Dekan der Wirtschaftwissenschaftlichen Fakultät:
Prof. Oliver Günther Ph.D.
Gutachter:
1. Prof. Dr. Wolfgang Härdle
2. Prof. Dr. Alois Kneip
eingereicht am: 23. November 2006
Tag des Kolloquiums: 20. Dezember 2006Abstract
In many different fields of applied statistics an object of interest is depend-
ing on some continuous parameter. Typical examples in finance are implied
volatility functions, yield curves or risk-neutral densities. Due to the dif-
ferent market conventions and further technical reasons, these objects are
observable only on a discrete grid, e.g. for a grid of strikes and maturities
for which the trade has been settled at a given time-point. By collecting
these functions for several time points (e.g. days) or for different under-
lyings, a bunch (sample) of functions is obtained – a functional data set.
The first topic considered in this thesis concerns the strategies of recovering
the functional objects (e.g. implied volatilities function) from the observed
data based on the nonparametric smoothing methods. Besides the standard
smoothing methods, a procedure based on a combination of nonparametric
smoothingandtheno-arbitrage-theoryresultsisproposedforimpliedvolatil-
itysmoothing. Thesecondpartofthethesisisdevotedtothefunctionaldata
analysis (FDA) and its connection to the problems present in the empirical
analysis of the financial markets. The theoretical part of the thesis focuses
on the functional principal components analysis – functional counterpart of
the well known multivariate dimension-reduction-technique. A comprehen-
sive overview of the existing methods is given, an estimation method based
on the dual problem as well as the two-sample inference based on the func-
tional principal component analysis are discussed. The FDA techniques are
applied to the analysis of the implied volatility and yield curve dynamics. In
addition, the implementation of the FDA techniques together with a FDA
library for the statistical environment XploRe are presented.
Keywords:
Functional Data Analysis, Implied Volatility, Principal Component
Analysis, BootstrapZusammenfassung
An vielen verschiedenen Stellen der angewandten Statistik sind die zu unter-
suchenden Objekte abhängig von stetigen Parametern. Typische Beispiele in
FinanzmarktapplikationensindimplizierteVolatilitäten,risikoneutraleDich-
ten oder Zinskurven. Aufgrund der Marktkonventionen sowie weiteren tech-
nisch bedingten Gründen sind diese Objekte nur an diskreten Punkten, wie
zum Beispiel an Ausübungspreise und Maturitäten, für die ein Geschäft in
einem bestimmten Zeitraum abgeschlossen wurde, beobachtbar. Ein funktio-
naler Datensatz ist dann vorhanden, wenn diese Funktionen für verschiedene
Zeitpunkte (z.B. Tage) oder verschiedene zugrundeliegende Aktiva gesam-
melt werden. Das erste Thema, das in dieser Dissertation betrachtet wird,
behandelt die nichtparametrischen Methoden der Schätzung dieser Objekte
(wie z.B. implizierte Volatilitäten) aus den beobachteten Daten. Neben den
bekanntenGlättungsmethodenwirdeineProzedurfürdieGlättungderimpli-
ziertenVolatilitätenvorgeschlagen,dieaufeinerKombinationvonnichtpara-
metrischerGlättungunddenErgebnissenderarbitragefreienTheoriebasiert.
Der zweite Teil der Dissertation ist der funktionalen Datenanalyse (FDA),
speziell im Zusammenhang mit den Problemen, der empirischen Finanz-
marktanalyse gewidmet. Der theoretische Teil der Arbeit konzentriert sich
auf die funktionale Hauptkomponentenanalyse – das funktionale Ebenbild
der bekannten Dimensionsreduktionstechnik. Ein umfangreicher Überblick
der existierenden Methoden wird gegeben, eine Schätzmethode, die von der
Lösung des dualen Problems motiviert ist und die Zwei-Stichproben-Inferenz
basierendaufderfunktionalenHauptkomponentenanalysewerdenbehandelt.
Die FDA-Techniken sind auf die Analyse der implizierten Volatilitäten- und
Zinskurvendynamikangewandtworden.Darüberhinaus,wirddieImplemen-
tation der FDA-Techniken zusammen mit einer FDA-Bibliothek für die sta-
tistische Software Xplore behandelt.
Schlagwörter:
Funktionale Datenanalyse, Implizierte Volatilität,
Hauptkomponentenanalyze, BootstrapContents
1 Introduction 1
2 Options Markets Beyond Black-Scholes 6
2.1 Black-Scholes Market . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Generalizations of the Black-Scholes Market . . . . . . . . . . 12
2.3 Black Scholes Implied Volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 State Price Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.1 No-arbitrage Conditions Implied by SPD . . . . . . . . 16
2.4.2 Total Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Nonparametric Regression and Empirical Finance 22
3.1 Nonparametric Reg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Local Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Functional Basis Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3.1 Fourier Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.2 Polynomial Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.3 B-Spline Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3.4 Approximation and Coefficient Estimation . . . . . . . 30
3.4 Density Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5 IV calculation - Description of Data . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.5.1 Interest Rates (Yield Curves) . . . . . . . . . . . . . . 36
3.5.2 Option Prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.5.3 Spot Prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5.4 Adjusted Spot – Data Correction Scheme . . . . . . . . 43
3.6 Estimating the IVS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.6.1 Liquidity Issues, Moneyness and Time to maturity . . . 47
3.7 Implied Volatility Surface - Empirical Findings . . . . . . . . . 50
3.8 Fitting the IVS and No-arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.8.1 Estimating the IV Smile for Fixed Maturity . . . . . . 52
3.8.2 Estimating the IV-Surface . . . . . . . . . . . . . . . . 57
iv3.9 Further Comments on IV-smoothing . . . . . . . . . . . . . . 61
4 Functional Data Analysis and Empirical Finance 64
4.1 Basic Setup of Functional Data Analysis . . . . . . . . . . . . 65
4.2 Principal Components for Functional Data . . . . . . . . . . . 67
4.2.1 Karhunen-Loève Expansion . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.2 Estimation of Functional Principal Components . . . . 70
4.2.3 Implementation via Basis Expansion . . . . . . . . . . 72
4.2.4 Smoothed Functional Principal Components (SFPCA) 75
4.2.5 Yield Curves Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2.6 Dual Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.2.7 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2.8 Choice of the Smoothing Parameter . . . . . . . . . . . 93
4.3 Two Sample Problem and FPCA . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3.1 Theoretical Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.3.2 Simulation Study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.4 Further Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.5 Implied Volatility Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.5.1 Further Remarks on IVs-Factor Analysis . . . . . . . . 114
A FDA Library 117
A.1 Basic Types of FDA Objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
A.1.1 Creating a FDA Data Object . . . . . . . . . . . . . . 118
A.1.2 Statistical Procedures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
A.1.3 Evaluating and Visualizing FDA Data and its Func-
tionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
A.1.4 Further Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
B Figures – Phenomenology of IVs 127
B.1 SPD as a Function of IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Bibliography 138
vList of Figures
2.1 Prediction intervals for 45 days future DAX value based on
the estimated SPD. Grey lines are the quantile lines (0.025
and 0.975). The black line is the true DAX level on the future
date. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Time plot of DAX centered closing level (red dashed line) and
4centeredscaled(multipliedby10 )IV(bluesolidline)atATM
and maturity 45 days from Jan 1st 1995 to June 30th 2005.
IV estimated by local polynomial estimator. . . . . . . . . . . 19
3.1 Euribor interest rate (points) and linearly interpolated yield
curve (blue line) June 02, 2006. . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2 Zero yields - swap based (points) and linearly interpolated
yield curve (blue line) June 02, 2006. . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3 Left figure – IVs observed on May 22nd, 2003, blue points are
IVs calculated from the Puts, red points