Hecke eigenforms and the arithmetic of singular K3 surfaces [Elektronische Ressource] / von Matthias Schütt

Matthias Schütt

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• Publié par: gottfried_wilhelm_leibniz_universitat_hannover
• Publié le: 01 janvier 2006
• Nombre de lectures: 41
• Langue: Deutsch
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Extrait

Hecke eigenforms
and the arithmetic
of singular K3 surfaces
Von der Fakult at fur Mathematik und Physik
der Universit at Hannover
zur Erlangung des Grades
Doktor der Naturwissenschaften
Dr. rer. nat.
genehmigte Dissertation
von
Dipl.-Math. Matthias Schutt,
geboren am 21.11.1977 in Husum
(2006)Referent: Prof. Dr. Klaus Hulek, Hannover
Koreferent: Prof. Dr. Bert van Geemen, Milano
Tag der Promotion: 27. Juni 2006Zusammenfassung
Die Dissertation befasst sich mit der Artihmetik singul arer K3 Fl achen. Ferner
liefert sie eine ausgiebige Analyse der Hecke Eigenformen mit rationalen Koe zien-
ten und komplexer Multiplikation.
Zun achst gebe ich eine kurze Einfuhrung in die Theorie der K3 Fl achen. Dabei hebe
ich singul are K3 Fl achen ub er C hervor, d.h. K3 Fl achen mit maximaler Picard-
Zahl = 20. Insbesondere wiederhole ich die Ergebnisse von Shioda-Inose [S-I] und
Livnes Theorem, dass eine singul are K3 Fl ache ub er Q modular ist [L]. Daraufhin
formuliere ich die Frage, welche Neuformen tats achlich zu singul aren K3 Fl achen
ub er Q assoziiert sind.
Dieses Problem motiviert die Untersuchung der Hecke Eigenformen mit rationalen
Koe zien ten und komplexer Multiplikation (CM) fur beliebiges Gewicht. Diese
Untersuchung ndet im zweiten Kapitels der Arbeit statt. Das Hauptresultat lautet
wie folgt:
Theorem
Fur festes Gewicht k stehen die Neuformen mit rationalen Koe zienten und CM,
bis auf Twisten, in einer bijektiven Korrespondenz zu den imagin ar-quadratischen
K orpern, deren Exponent (k 1) teilt. Dies wird erreicht, indem eine Neuform auf
den zugeh origen CM-K orper abgebildet wird.
Der Beweis des Theorems gebraucht ein Resultat von Ribet [R], das einer Neuform
mit CM einen Gr o enc harakter des zugeh origen CM-K orpers mit entsprechenden
Spuren zuordnet. Dank Ergebnissen von Stark [St] und Weinberger [W] impliziert
das Theorem das folgende
Korollar
Bis auf Twisten gibt es nur endlich viele CM-Neuformen mit rationalen Koe zien-
ten und Gewicht 2; 3 oder 4. Fur beliebiges festes Gewicht gilt diese Aussage unter
Annahme der verallgemeinerten Riemannschen Vermutung.
Das Korollar wird von expliziten Tabellen fur Gewicht 3 und 4 begleitet.
Das dritte Kapitel widmet sich der Suche nach singul aren K3 Fl achen ub er Q. Diese
werden von rationalen elliptischen Fl achen durch einen Basiswechsel oder durch
andere Manipulationen der Weierstrass-Gleichung hergeleitet. Alle resultierenden
Faserungen sind extremal. Gemeinsam mit anderen bekannten Beispielen nde ich
so elliptische singul are K3 Fl achen ub er Q fur 24 der 65 Gewicht 3-Formen aus der
erw ahnten Liste.
Im letzten Kapitel studiere ich eine spezielle singul are K3 Fl ache detailiert. Diese
Fl ache besitzt eine extremale elliptische Faserung mit [1,1,1,12,3*]-Kon guration.
Ich bestimme die assoziierte Neuform des Levels 27 und zeige, dass die Neron-
Severi Gruppe NS(X) durch Divisoren ub er Q erzeugt werden kann. Dies ergibt
ein Gegenbeispiel zu einer Behauptung Shiodas [Sh2, Thm. 1]. Eine besondere
iiiiv
Eigenschaft der Fl ache ist die gute Reduktion bei 2. Sowohl diese Reduktion als
auch die entsprechende Fl ache ub er F wird ausgiebig analysiert. Dabei veri ziere3
ich Vermutungen von Tate, Shioda und Artin.
Schlie lic h diskutiere ich die reichhaltigen Twists, welche die Fl ache o eriert. Diese
produzieren alle Gewicht 3-Formen mit rationalen Koe zien ten und CM mitp p
Q( 3). Ein analoges Resultat kann fur den CM-K orper Q( 1) erzielt werden,
3etwa ub er die Fermat-Quartik in P . Da eine allgemeine Weierstrass-Gleichung
trivialerweise quadratische Twists zul asst, komme ich zum folgenden Schluss:
Satz
Es sei f eine der 24 Neuformen vom Gewicht 3 mit rationalen Koe zienten, fur
die wir eine assoziierte elliptische singul are K3 Fl ache ub er Q kennen. Dann l asst
sich jeder Twist von f geometrisch in einer extremalen elliptischen K3 Faserung
ub er Q realisieren.
Schlagworte: Hecke-Eigenform, komplexe Multiplikation, singul are K3 Fl acheAbstract
My thesis investigates the arithmetic of singular K3 surfaces. It also gives an ex-
tensive analysis of Hecke eigenforms with rational coe cien ts and complex multi-
plication.
The thesis starts with a brief introduction on K3 surfaces. I emphasize the notion of
singular K3 surfaces over C, i.e. K3 surfaces with maximal Picard number % = 20.
In particular, I recall the theory of Shioda-Inose [S-I] and Livne’s theorem that a
singular K3 surface over Q is modular [L]. I then formulate the question which
newforms might actually be associated to singular K3 surfaces over Q.
This motivates the study of Hecke eigenforms with rational Fourier coe cien ts and
complex multiplication (CM) of arbitrary weight. This investigation is the content
of the second chapter of the thesis. The main result is the following
Theorem
For xe d weightk, the newforms with rational Fourier coe cients and CM are, up to
twisting, in 1:1-correspondence with the imaginary quadratic elds K with exponent
dividing k 1. This can be achieved by mapping a newform to its CM- eld.
The theorem is established using the Gr o enc harakter associated to a newform with
CM by Ribet [R]. Due to work of Stark [St] and Weinberger [W], it implies
Corollary
Up to twisting, there are only nitely many CM-newforms with rational coe cients
and weight 2; 3, or 4. For arbitrary xe d weight, this holds subject to the Generalized
Riemann Hypothesis.
The corollary is supplemented by explicit tables for weights 3 and 4.
The third chapter is devoted to nding singular K3 surfaces over Q. These are
derived from rational elliptic surfaces by base change or other manipulation of the
Weierstrass equation. All resulting brations are extremal. Together with other
known examples, this approach enables me to nd corresponding elliptic K3 surfaces
over Q for 24 out of the 65 weight 3 forms from the list.
In the nal chapter, I discuss one particular singular K3 surface in detail. This
admits an extremal elliptic bration with [1,1,1,12,3*] con guration. I determine
the associated newform of level 27 and show that the Neron-Severi group NS(X)
can be generated by divisors over Q. This gives a counterexample to a claim of
Shioda [Sh2, Thm. 1]. One special property of this surface is the good reduction
at 2. This reduction is studied in detail as is the corresponding surface over F . I3
verify conjectures of Tate, Shioda and Artin for these cases.
Finally, I comment on the twists of the surface. These produce all weight 3 newformsp
with rational coe cien ts and CM by Q( 3). An analogous result can be derived
vvi
p
3for the CM- eld Q( 1), for instance using the Fermat quartic in P . Since a
general Weierstrass equation trivially admits quadratic twisting, I deduce the
Proposition
Let f be one of the 24 newforms of weight 3 with rational coe cients for which we
know an associated elliptic singular K3 surface over Q. Then any twist of f can be
realized geometrically as an extremal elliptic K3 br ation over Q.
Keywords: Hecke eigenform, complex multiplication, singular K3 surface.Contents
I Singular K3 surfaces 1
I.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.2 Lattice theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.3 Singular K3 surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I.4 The modularity of singular K3 surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
I.5 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
II CM-forms 11
II.1 Modular forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
II.2 Hecke Gr o enc haraktere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
II.3 Formulation of the results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
II.4 Well-de ned . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
II.5 Surjectivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
II.6 Injectivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
II.7 Reduction step for odd primes and trivialO . . . . . . . . . . . . . 23K
II.7.1 p stays inert in K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
II.7.2 p splits in K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
II.8 Reduction step for p = 2 and trivialO . . . . . . . . . . . . . . . . 25K
II.8.1 2 splits in K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
II.8.2 2 stays inert in K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26p
II.9 Reduction step for Q( 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27p
II.10 step for Q( 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
II.11 Rami cation step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32p
II.11.1 Odd p ramifying in K = Q( 3) . . . . . . . . . . . . . . . . 32p
II.11.2 2 rami es in K = Q( 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33p
II.11.3 (1 +i) as the rami ed prime in Q( 1) . . . . . . . . . . . . 35p p
II.11.4 ( 3) as the in Q( 3) . . . . . . . . . . . . 36
II.12 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
II.13 The CM-newforms of weight 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
II.14 The of weight 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
II.15 Outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
IIIExtrem