hp-version of the boundary element method for electromagnetic problems [Elektronische Ressource] : error analysis, adaptivity, preconditioners / von Florian Leydecker

Florian Leydecker

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• Publié par: gottfried_wilhelm_leibniz_universitat_hannover
• Publié le: 01 janvier 2006
• Nombre de lectures: 13
• Langue: English
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

hp-version of the boundary element method
for electromagnetic problems –
error analysis, adaptivity, preconditioners
Von der Fakult¨at fu¨r Mathematik und Physik
der Universit¨at Hannover
zur Erlangung des Grades
Doktor der Naturwissenschaften
Dr. rer. nat.
genehmigte Dissertation
von
Dipl.-Math. Florian Leydecker
geboren am 15. Juni 1974 in Frankfurt / Main
2006Referent: Prof. Dr. E. P. Stephan, Hannover University
Korreferent: Prof. Dr. N. Heuer, Uxbridge University, Brunel, UK
Tag der Promotion: 30.06.2006Abstract
This thesis deals with the hp-version for the coupling of finite elements and boundary
3elements inR . We present preconditioners as well as reliable and efficient a posteriori
error estimates for the hp-version.
In the first part we consider the hypersingular integral equation of the normal deriva-
tive of the double layer potential on surfaces and perform the Galerkin hp-version of
the boundary element method (BEM) on triangles. This method is known to converge
rapidly for smooth aswell as for singular solutions. On theother hand the arising linear
system is highly ill-conditioned. Hence, for an efficient solution procedure appropriate
preconditioners are necessary to reduce the number of CG-iterations. We present an it-
erative substructuring method which uses the functions concentrated on the wire basket
and the bubble functions in the interior of the elements separately. We prove that the
condition number of the preconditioned stiffness matrix has a bound which is indepen-
dent of the mesh size h and which grows only polylogarithmically in p, the maximum
polynomial degree.
An essential tool for the construction of such preconditioners is the use of suitable
polynomial extension operators from the boundary of a triangle into the interior. We
discuss different extensions in fractional Sobolev spaces and prove their continuity.
Inthesecondpartwepresentanhp-versionofthesymmetricfiniteelement/boundaryel-
ementcouplingmethodsolvingtheeddycurrentproblemforthetime-harmonicMaxwell’s
equations. WeuseH(curl,Ω)-conformingvector-valuedpolynomialstoapproximatethe
electric field in the conductor Ω and surface curls of continuous piecewise polynomials
on the boundary Γ of Ω to approximate the twisted tangential trace of the magnetic
field on Γ. We present both a priori and a posteriori error estimates. For the a poste-
rior estimate we prove efficiency and reliability on quasi-uniform meshes. As a second
example of Maxwell’s equations we discuss the time-harmonic scattering problem.
A further topic is the construction of an H(curl,Ω)-stable decomposition of the space
of N´ed´elec elementsND (T ). Considering the trace of this space and certain extensionp h
−1/2
operatorswegetanH (div ,Γ)-stabledecompositionofthespaceofRaviart-ThomasΓk
elements RT (T ). These results can be used to construct certain preconditioners andp h
reliable and efficient error estimates.
Furthermore, we present numerical results that underline our theoretical results. There-
fore, we have to discuss the construction of suitable polynomial spaces and their trans-
formations.
Keywords. extensionoperators,iterativesubstructuring,preconditioners,FEM/BEM-
coupling, Maxwell’s equations, a posteriori error estimates
3Zusammenfassung
Diese Arbeit behandelt die hp-Version der Kopplung von finiten Elementen und Rand-
3elementen inR . Wir pr¨asentieren sowohl Vorkonditionierer als auch zuverl¨assige und
effiziente a posteriori Fehlersch¨atzer fu¨r die hp-Version.
ImerstenTeilbetrachtenwirdiehypersingul¨areIntegralgleichungalsNormalenableitung
des Doppelschichtpotentials auf Ober߬achen und analysieren die Galerkin hp-Version
der Randelementmethode (BEM) auf Dreiecken. Diese Methode ist bekannt dafu¨r, fu¨r
glatte als auch fu¨r singul¨are L¨osungen sehr schnell zu konvergieren. Andererseits ist das
zugeh¨orige lineare Gleichungssystem sehr schlecht konditioniert. Folglich ben¨otigt man
fu¨rein effizientes L¨osungsverfahren geeignete Vorkonditionierer, um dieAnzahl der Iter-
ationen beim CG-Verfahren zu reduzieren. Wir pr¨asentieren eine iterative Substruktur-
Methode, bei der die Wirebasket-Funktionen, d.h. die auf dem Rand der Elemente
konzentrierten Funktionen, und die inneren Funktionen auf den Dreiecken getrennt be-
trachtet werden. Wir zeigen, dass die Konditionszahl der so vorkonditionierten Steifig-
keitsmatrix bezu¨glich der Gitterweite h beschr¨ankt bleibt, w¨ahrend sie lediglich poly-
logarithmisch in p, dem maximalen Polynomgrad, anw¨achst.
Als wichtiges Hilfsmittel bei der Konstruktion eines solchen Vorkonditionierers erweisen
sich polynomiale Fortsetzungsoperatoren vom Rand eines Dreiecks in sein Inneres. Wir
diskutieren verschiedene Fortsetzungen in gebrochenen Sobolev-R¨aumen und beweisen
ihre Stetigkeit.
ImzweitenTeilpr¨asentierenwireinehp-VersiondersymmetrischenKopplungvonfiniten
Elementen und Randelementen zur L¨osung des Wirbelstromproblems der zeitharmonis-
chen Maxwell-Gleichungen. Wir verwenden H(curl,Ω)-konforme vektorwertige Poly-
nome zur Approximation des elektrischen Feldes im Leiter Ω und Fl¨achenrotationen
von stetigen, stu¨ckweisen Polynomen auf dem Rand Γ von Ω zur Approximation der
gedrehten Tangentialspur des magnetischen Feldes auf Γ. Wir beweisen sowohl a priori
als auch a posteriori Fehlerabsch¨atzungen. Fu¨r den a posteriori Fehlersch¨atzer zeigen
wir Effizienz und Zuverl¨assigkeit auf quasi-uniformen Gittern. Als weiteres Beispiel der
Maxwell-Gleichungen diskutieren wir auch das zeitharmonische Streuproblem.
Ein weiterer Punkt dieser Arbeit ist die Konstruktion einer H(curl,Ω)-stabilen Zer-
legung des Raumesder N´ed´elec -ElementeND (T ). Unter Benutzung von Spurbildungp h
−1/2
und eines Fortsetzungsoperators erhalten wir eine H (div ,Γ)-stabile Zerlegung desΓk
RaumesderRaviart-ThomasElementeRT (T ). DieseErgebnissek¨onnenzurKonstruk-p h
tion von Vorkonditionierern sowie effizienten und zuverl¨assigen Fehlerabsch¨atzungen
genutzt werden.
Weiterhin pr¨asentieren wir numerische Ergebnisse, die unsere theoretischen Resultate
unterstreichen. Dazu haben wir die Konstruktion der passenden Polynomr¨aume und
ihrer Transformationen eingehend untersucht.
Schlagw¨orter. Fortsetzungsoperatoren, Iterative Substruktur-Methoden, Vorkondi-
tionierer,FEM/BEM-Kopplung,Maxwell-Gleichungen,aposterioriFehlerabsch¨atzungen.
4Contents
Introduction 7
1 An extension theorem 15
1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2 An extension theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Proof of Theorem 1.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Iterative Substructuring for the hp-version 29
2.1 Basis functions and preconditioners . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Technical tools . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3 Proof of the main result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4 Numerical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5 Additional technical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5.1 Results of Bic˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5.2 Discrete harmonic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3 Spaces and operators for Maxwell 51
3.1 Spaces and trace operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Boundary integral operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2.1 The Stratton-Chu representation formula . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3 Trace spaces of order s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.1 Mapping properties of the integral operators . . . . . . . . . . . . 64
4 Basis functions and interpolation operators 69
4.1 N´ed´elec basis functions for higher polynomial degrees . . . . . . . . . . . 69
4.1.1 Definition on the reference cube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.1.2 Basis functions on a tetrahedron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.1.3 Transformations and an inverse inequality for N´ed´elec functions . 77
4.2 A numerical experiment with N´ed´elec functions: FEM for the eddy cur-
rent problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.3 Raviart-Thomas basis functions for the approximation in H(div,Ω) . . . 83
−1/2
4.4 Raviart-Thomas basis functions for the approximation in H (div ,Γ) . 84Γk
4.4.1 Definition on squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.4.2 Definition on triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
54.4.3 Transformations and an inverse inequality for Raviart-Thomas
functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
−1/2
4.5 TND-basis functions for the approximation in H (curl ,Γ) . . . . . . 90Γ⊥
4.5.1 Transformations forTND-basis functions . . . . . . . . . . . . . . 90
4.6 The de Rham diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.7 An extension operator forRT (K ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94p h
4.8 hp-Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .