Isospectral metrics on weighted projective spaces [Elektronische Ressource] / von Martin Weilandt

Dipl.-Math. Martin Weilandt

Description

Isospectral Metrics on Weighted ProjectiveSpacesDISSERTATIONzur Erlangung des akademischen GradesDr. rer. nat.im Fach Mathematikeingereicht an derMathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät IIHumboldt-Universität zu BerlinvonDipl.-Math. Martin WeilandtPräsident der Humboldt-Universität zu Berlin:Prof. Dr. Dr. h.c. Christoph MarkschiesDekan der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät II:Prof. Dr. Peter FrenschGutachter:1. Prof. Dr. Dorothee Schüth2. Prof. Dr. Carolyn Gordon3. Prof. Dr. Christian Bäreingereicht am: 6. April 2010Tag der mündlichen Prüfung: 14. Juli 2010AbstractThe Laplace Operator on compact Riemannian manifolds naturally general-izes to compact Riemannian orbifolds and the spectrum of the resulting operatorconsists only of eigenvalues with finite multiplicities. The observation that thespectrum contains information about the geometry of a manifold (and, more gen-erally, an orbifold) gave rise to a whole field of mathematics. It is an open questionof so-called spectral geometry, whether a manifold and a singular orbifold can beisospectral (i.e., have the same spectrum with the same multiplicities of the eigen-values). Given the various obstructions to the existence of such an example forthe known examples of isospectral good orbifolds, this work is an attempt to shedlight on the spectral geometry of bad by giving the first examples ofisospectral Riemannian metrics on bad orbifolds.

Sujets

• Mathematics

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• Publié le: 01 janvier 2010
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Extrait

Isospectral Metrics on Weighted Projective Spaces

D I S S E R T A T I O N

zur Erlangung des akademischen Grades

Dr. rer. nat. im Fach Mathematik

eingereicht an der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät II Humboldt-Universität zu Berlin

von Dipl.-Math. Martin Weilandt

Präsident der Humboldt-Universität zu Berlin: Prof. Dr. Dr. h.c. Christoph Markschies

Dekan der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät II: Prof. Dr. Peter Frensch

Gutachter: 1. Prof. Dr. Dorothee Schüth 2. Prof. Dr. Carolyn Gordon 3. Prof. Dr. Christian Bär eingereicht am:6. April 2010 Tag der mündlichen Prüfung:14. Juli 2010

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Abstract

The Laplace Operator on compact Riemannian manifolds naturally general- izes to compact Riemannian orbifolds and the spectrum of the resulting operator consists only of eigenvalues with finite multiplicities. The observation that the spectrum contains information about the geometry of a manifold (and, more gen- erally, an orbifold) gave rise to a whole field of mathematics. It is an open question of so-called spectral geometry, whether a manifold and a singular orbifold can be isospectral (i.e., have the same spectrum with the same multiplicities of the eigen- values). Given the various obstructions to the existence of such an example for the known examples of isospectral good orbifolds, this work is an attempt to shed light on the spectral geometry of bad orbifolds by giving the first examples of isospectral Riemannian metrics on bad orbifolds. In our case these are particular fixed weighted projective spaces equipped with non-trivially isospectral metrics obtained by a generalization of Schüth’s version of the torus method.

Zusammenfassung

Der Laplace-Operator auf kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeiten besitzt eine natürliche Verallgemeinerung auf kompakte Riemannsche Orbifolds und das Spektrum des so gewonnenen Operators besteht ausschlielich aus Eigenwerten endlicher Vielfachheit. Die Feststellung, dass das Spektrum Informationen über die Geometrie einer Mannigfaltigkeit (oder, allgemeiner, einer Orbifold) enthält, begründete ein ganzes Teilgebiet der Mathematik. Es ist eine offene Frage der sogenannten Spektralgeometrie, ob eine Mannigfaltigkeit und eine singuläre Or- bifold isospektral sein (d.h., dasselbe Spektrum mitsamt den Vielfachheiten der Eigenwerte besitzen) können. Angesichts diverser Obstruktionen zur Existenz ei- nes solchen Beispiels für die bekannten Beispiele isospektraler guter Orbifolds, soll diese Arbeit die Spektralgeometrie schlechter Orbifolds erhellen. Zu diesem Zweck geben wir die ersten Beispiele für isospektrale Metriken auf schlechten Or- bifolds an. Diese basieren auf bestimmten gewichteten projektiven Räumen, auf denen wir mittels einer Verallgemeinerung von Schüths Version der Torus-Methode nicht-trivial isospektrale Metriken konstruieren.

Acknowledgements

First and foremost I am indebted to my supervisor Dorothee Schüth. Without her foresight this project never would have come into being and without her unceasing guidance and curiosity it could not have been finished. I would also like to thank all others who always had an open ear for my attempts to tread in uncharted territories in the universe of mathematics, in particular Emily Dryden and Marcos Alexandrino. Moreover, I am grateful to the Berlin Mathematical School and the SFB 647 for financial support. Last but not least I have the pleasure to thank my family for affection and continuous support.

Contents

1 Introduction 2 Orbifold Preliminaries 2.1 General Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Quotient Orbifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Quotients of Manifolds by Connected Lie Groups . . . . . . . . . 2.2.2 Quotients of Orbifolds by Finite Groups . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Tensor Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Tensor Fields on General Orbifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Tensor Fields on Quotient Orbifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Fundamental Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Integration on Oriented Orbifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Integration on Non-Oriented Orbifolds . . . . . . . . . . . . . . . 3 Spectral Geometry on Orbifolds 3.1 The Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Isospectral Orbifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Obstructions to Isospectrality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 The Torus Method for Orbifolds 4.1 Isospectral Metrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Nonisometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Examples of Isospectral Bad Orbifolds 5.1 Weighted Projective Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Isospectral Metrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Isospectral Pairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Isospectral Families . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Nonisometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Isospectral Quotients of Weighted Projective Spaces . . . . . . . . . . . . Bibliography

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