Large deviations and exit time asymptotics for diffusions and stochastic resonance [Elektronische Ressource] / von Dierk Peithmann

Peithmann Dierk

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• Publié le: 01 janvier 2007
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Extrait

Large deviations and exit time asymptotics for
diffusions and stochastic resonance
DISSERTATION
zur Erlangung des akademischen Grades
doctor rerum naturalium
(Dr. rer. nat.)
im Fach Mathematik
eingereicht an der
Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät II
Humboldt-Universität zu Berlin
von
Diplom-Mathematiker Dierk Peithmann
geboren am 29.06.1972 in Rahden
Präsident der Humboldt-Universität zu Berlin:
Prof. Dr. Christoph Markschies
Dekan der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät II:
Prof. Dr. Wolfgang Coy
Gutachter:
1. Prof. Dr. Peter Imkeller
2. Prof. Dr. Ludwig Arnold
3. Prof. Dr. Michael Scheutzow
Tag der mündlichen Prüfung: 13. August 2007Abstract
In this thesis, we study the asymptotic behavior of exit and transition times of certain
weakly time inhomogeneous diffusion processes. Based on these asymptotics, a prob-
abilistic notion of stochastic resonance is investigated. Large deviations techniques
play the key role throughout this work.
In the first part we recall the large deviations theory for time homogeneous diffusions.
Chapter 1 gives a brief overview of the classical results due to Freidlin und Wentzell.
In Chapter 2 we present an extension of their theory to stochastic differential equa-
tions with locally Lipschitz coefficients that depend on the noise amplitude. Kramers’
exit time law, which makes up the foundation stone for the results obtained in this
thesis, is recalled in Chapter 3.
The second part deals with the phenomenon of stochastic resonance. That is, we
study periodicity properties of diffusion processes. First, in Chapter 4 we explain
the paradigm of stochastic resonance. Afterwards, physical notions of measuring pe-
riodicity properties of diffusion trajectories are discussed, and their drawbacks are
pointed out. The latter suggest to follow an alternative probabilistic approach, which
is introduced in Section 4.3 and discussed in subsequent chapters.
In Chapter 5 we derive a large deviations principle for diffusions subject to a weakly
time dependent periodic drift term. Here the uniformity of the obtained large de-
viations bounds w.r.t. the system’s parameters plays a key role for the treatment
of transition time asymptotics in Chapter 6. These asymptotics represent the main
result of the second part. They yield exact exponential transition rates, whose de-
pendence on the time scale of the drift’s period is given explicitly, thus allowing for
a maximization of transition probabilities w.r.t. the time scale. This finally leads to
the announced probabilistic notion of resonance, which is studied in Chapter 7.
In the third part we investigate the exit time asymptotics of a certain class of self-
stabilizing diffusions. Diffusions of this type describe the limiting dynamics of in-
teracting particle systems as the number of particles tends to infinity. In Chapter 8
we explain the connection between interacting particle systems and self-stabilizing
diffusions. Moreover, we address the question of existence and uniqueness for self-
stabilizing diffusions. The following Chapter 9 is devoted to the study of the large
deviations behavior of these diffusions. In Chapter 10 Kramers’ exit law is carried
over to our class of self-stabilizing diffusions. Finally, the influence of self-stabilization
is illustrated in Chapter 11.
Keywords:
large deviations, stochastic resonance, exit times, self-stabilizing diffusionsZusammenfassung
Diese Arbeit behandelt die Asymptotik von Austritts- und Übergangszeiten für ge-
wisse schwach zeitinhomogene Diffusionsprozesse. Darauf basierend wird ein probabi-
listischer Begriff der stochastischen Resonanz studiert. Hierbei spielen Techniken der
großen Abweichungen eine zentrale Rolle.
Im ersten Teil werden Resultate aus der Theorie der großen Abweichungen für zeitho-
mogene Diffusionen rekapituliert. Kapitel 1 enthält eine Zusammenfassung der klassi-
schen Resultate von Freidlin und Wentzell. In Kapitel 2 werden Erweiterungen dieser
Theorie auf stochastische Differentialgleichungen vorgestellt, deren Koeffizienten lo-
kal Lipschitz sind und vom Rauschparameter abhängen. Im 3. Kapitel wird an das
Kramers’sche Austrittszeitengesetz erinnert, das die wesentliche Grundlage für die in
dieser Arbeit erzielten Ergebnisse bildet.
Der zweite Teil befasst sich mit dem Phänomen der stochastischen Resonanz, d.h. mit
der Untersuchung von Periodizitätseigenschaften für Diffusionsprozesse. In Kapitel 4
wird zunächst das Paradigma der stochastischen Resonanz erklärt. Anschließend wer-
den physikalische Gütemaße zur Messung der Periodizität von Diffusionstrajektorien
diskutiert und deren Nachteile aufgezeigt. Letztere legen es nahe, einem alternativen,
probabilistischen Ansatz zu folgen, der in Abschnitt 4.3 erläutert und in den anschlie-
ßenden Kapiteln mathematisch behandelt wird.
Das 5. Kapitel dient der Herleitung eines Prinzips der großen Abweichungen für Diffu-
sionen mit schwach zeitabhängigem, periodischem Drift. Hierbei spielt die Gleichmä-
ßigkeit dieses Prinzips in allen Systemparametern eine wichtige Rolle für die Untersu-
chung der Asymptotik von Übergangszeiten in Kapitel 6. Diese Asymptotik bildet das
zentrale Ergebnis des 2. Teils der Arbeit. Sie liefert exakte exponentielle Übergangsra-
ten, deren Abhängigkeit von der Zeitskala der Periode des Drifts explizit gegeben ist.
Hierdurch wird die Maximierung der Übergangswahrscheinlichkeiten bezüglich der
Zeitskala ermöglicht, was schließlich zum in Kapitel 7 studierten probabilistischen
Resonanzbegriff führt.
Teil drei der vorliegenden Arbeit setzt sich mit der Asymptotik der Austrittszei-
ten selbststabilisierender Diffusionen auseinander. Diffusionen dieses Typs beschrei-
ben die Grenzdynamik interagierender Teilchensysteme im Limes unendlich vieler
Teilchen. In Kapitel 8 wird zunächst der Zusammenhang zwischen interagierenden
Teilchensystemen und selbststabilisierenden Diffusionen erläutert und die Existenz
und Eindeutigkeit selbststabilisierender geklärt. Das folgende Kapitel 9
ist dem Studium der großen Abweichungen dieser Klasse von Diffusionen gewidmet.
Im 10. Kapitel wird das Kramers’sche Austrittszeitengesetz auf selbststabilisierende
Diffusionen übertragen. Schließlich wird der Einfluß der selbststabilisierenden Kom-
ponente auf das Austrittszeitengesetz in Kapitel 11 illustriert.
Schlagwörter:
grosse Abweichungen, stochastische Resonanz, Austrittszeiten, selbststabilisierende
DiffusionenContents
Introduction 1
Acknowledgements 7
I Large deviations for diffusions 9
1 Large deviations: classical results 11
1.1 The general setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 The Freidlin-Wentzell theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Large deviations: extensions and refinements 17
2.1 SDEs with dissipative drift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 Existence of strong solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.2 Superlinear growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Extensions of Freidlin-Wentzell estimates . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1 The large deviations principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2 A special case of the main estimate . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.3 Proof of the main estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 The exit problem: Kramers’ law 33
II Transition times and stochastic resonance 37
4 Introduction 39
4.1 The phenomenon of stochastic resonance . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2 Physical notions of optimal tuning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2.1 Diffusion with small noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2.2 Reduction to a two-state Markov chain . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.3 Spectral power amplification of the diffusion . . . . . . . . . . 47
4.3 A probabilistic notion of optimal tuning . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5 Uniform large deviations 51
5.1 A general result on weakly time inhomogeneous diffusions . . . . . . . 51
5.2 Slow periodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.2.1 Properties of the quasi-potential . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2.2 Large deviations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6 Exit and entrance times 61
6.1 Geometric preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.2 Lower bound for the exit rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.3 Upper bound for the exit rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7 Stochastic resonance 79
7.1 Resonance interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.2 Transition rates as quality measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.3 The robustness of stochastic resonance . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
III Largedeviationsandtheexitproblemforself-stabilizing
diffusions 87
8 Interacting particle systems and self-stabilizing diffusions 89
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8.2 Interacting diffusions and the McKean-Vlasov limit . . . . . . . . . . 92
8.3 Existence and uniqueness of self-stabilizing diffusions .