Les théorèmes d'incomplétude de Gödel

Miles Mathis, Bahrmanou

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LES THÉORÈMES D’INCOMPLÉTUDE DE GÖDEL (EN PASSANT) par Miles Mathis Kurt Gödel LES THÉORÈMES D’INCOMPLÉTUDE DE GÖDEL M. Mathis Théorème 1 : Dans tout système, on peut construire des phrases qui ne sont ni vraies ni fausses (variations mathématiques du paradoxe du menteur). Théorème 2 : Dès lors, aucun système consistant ne peut être utilisé pour prouver sa propre consistance. Aucune preuve ne peut se prouver elle-même. J’ai ici paraphrasé et distillé les théorèmes, car l’intention de ce court article n’est pas de prouver ou de réfuter les théorèmes de Gödel. Son intention est simplement de les commenter en passant. Je crois que Gödel fait partie de la branche princi- e pale de l’argumentation sur la logique au cours du 20 siècle, et on peut dès lors le révoquer avec celui-ci, en tant que groupe. Il ne mérite pas une critique appro- fondie ; il me suffit de montrer que son argumentaire tombe dans une catégorie ayant déjà été falsifiée. En résumé, je suis d’accord avec le théorème 2, mais je ne pense pas qu’il découle du théorème 1. Le théorème 2 est une version faible de la thèse centrale de Karl Popper selon laquelle toutes les mathématiques et les sciences créatives sont ba- sées sur des hypothèses et ne sont pas prouvables. Toute déclaration, quelque soit sa forme, au-delà d’une tautologie ou d’une stricte déduction, est dès lors falsi- fiable mais improuvable.

Sujets

• Complétude
• Mathis
• Mathématiques
• Popper
• Logique
• Kurt Gödel
• Théorie

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• Publié par: Bahrmanou
• Publié le: 10 juillet 2014
• Nombre de lectures: 28
• Langue: Français

Extrait

L ES THORMES D ’ INCOMPLTUDE DE G DEL ( E NPA S S A N T )

parMiles Mathis

Kurt Gdel

L ES THORMES D ’ INCOMPLTUDE DE G DEL

M. Mathis

ThÉorÈme 1: Dans tout systme, on peut construire des phrases qui ne sont ni vraies ni fausses (variations mathmatiques du paradoxe du menteur). ThÉorÈme 2: Ds lors, aucun systme consistant ne peut tre utilis pour prouver sa propre consistance. Aucune preuve ne peut se prouver elle-mme. J’ai ici paraphras et distill les thormes, car l’intention de ce court article n’est pas de prouver ou de rfuter les thormes de Gdel. Son intention est simplement de les commenter en passant. Je crois que Gdel fait partie de la branche princi- e pale de l’argumentation sur la logique au cours du 20sicle, et on peut ds lors le rvoquer avec celui-ci, en tant que groupe. Il ne mrite pas une critique appro- fondie ;il me suffit de montrer que son argumentaire tombe dans une catgorie ayant djÀ t falsifie. En rsum, je suis d’accord avec le thorme 2, mais je ne pense pas qu’il dcoule du thorme 1. Le thorme 2 est une version faible de la thse centrale de Karl Popper selon laquelle toutes les mathmatiques et les sciences cratives sont ba- ses sur des hypothses et ne sont pas prouvables. Toute dclaration, quelque soit sa forme, au-delÀ d’une tautologie ou d’une stricte dduction, est ds lors falsi- fiable mais improuvable. La thorie de Gdel a peut-tre prdat celle de Popper de 3 ans, mais cela n’a aucune importance, car le thorme 2 dcoule, non pas du thorme 1, mais entirement de la critique approfondie du positivisme de Popper. Tout systme logique est tabli dans le but d’viter la ncessit de prouver des axiomes ou des postulats. Un systme logique est un systme ferm dans lequel des axiomes et des oprationsdÉfinissentl’tendue totale de toute consistance (ou vrit). Le systme tout entier ne requiert ds lors aucune preuve, et toute r- frence À une chose en dehors du systme est illogique en soi. Les dductions n’exigent pas de preuve au-delÀ de leurs propres postulats. Seules des inductions ou des infrences exigent une preuve extrieure. Ce qui veut dire que connec- ter un systme logique À un autre exige une preuve. Cette preuve constitue un ensemble supplmentaire d’axiomes ou d’oprations qui sont galement accepts sans preuve.

Notez qu’il existe deux significations spares du mot «preuve »dans le dernier paragraphe. Selon une signification, une preuve se rfre À une srie d’tapes, d’un postulat À un rsultat. Selon l’autre, une preuve est suppose tre l’vidence absolue d’une vrit. Si nous utilisons cette dernire signification, ce qui est l’usage commun, nous devons trouver que rien ne peut tre prouv, mme les tautologies. Un philosophe astucieux peut insrer du doute mme dans A=A. Mais ce n’est pas ce que signifie «preuve »en logique. Selon les rgles de la logique, une preuve doit avoir un point de dpart. Ce point de dpart est un axiome, ou postulat. Ce postulatdoittre logiquement improuvable. Essayer de le prouver, c’est ne pas

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comprendre la logique elle-mme. Mais de mme, s’il ne peut tre prouv vrai, on ne peut pas prouver qu’il est faux. Cela n’en fait pas un paradoxe. Cela en fait une supposition.

Ds lors, le thorme 1 me parat vrai mais trivial. Ces phrases paradoxales peuvent tre cartes simplement en ajoutant un autre axiome. Par exemple, n’importe quelle variante du paradoxe du menteur peut tre vite en ajoutant ce postu- lat : «aucune dclaration auto-rfrence ne sera permise, car ces dclarations sont une cause de cercles vicieux logiques. Le contenu de toute dclaration doit s’appliquer À une autre dclaration et pas À elle-mme ». Si vous me demandez de prouver la vrit de ce postulat ajout, je peux vous rpondre que vous ne compre- nez pas le concept de postulat. Je peux postuler tout ce que je veux. Vous pouvez essayer de le falsifier en montrant qu’il est inconsistant avec d’autres postulats djÀ accepts mais vous ne pouvez pas exiger de preuve.

Gdel semble galement confus quant au concept de postulat, ou axiome. Des axiomes peuvent tre choisis À volont, afin de crer de la consistance À partir de rien. Un axiome est vrai parce qu’il est dfini comme vrai. De mme, une opration est lgale parce que je dclare qu’elle l’est. Et un systme logique est consistant en raison du fait qu’on n’a pas montr qu’il est inconsistant. Ce n’est pas la mme chose qu’tre vrai ou prouv.

Popper ne perdit pas de temps avec des rfutations ou des preuves formelles, parce qu’il comprenait l’absurdit d’une telle notion. Crer une rfutation ou une preuve formelle en gnral est une contradiction dans les termes. La rfutation de la com- pltude par Gdel doit tre aussi incomplte que toute autre preuve. Ce qui signifie que le Thorme d’Incompltude est lui-mme incomplet et ds lors improuvable. Il est inutile, except en tant que contradiction grandiose supplmentaire, et nous n’avons aucun besoin d’encore plus de contradictions logiques posant en tho- rmes.

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Karl Popper

M. Mathis

Popper critiquait Hilbert de la mme manire qu’il critiquait les positivistes lo- giques. Le problme d’Hilbert tait qu’il essayait de prouver des choses que, non seulement il ne pouvait prouver, mais qui n’avaient pas besoin d’tre prouves. Russell et Whitehead se trouvaient dans la mme position, mathmatiquement. Nous n’avons pas besoin de prouver que1 + 1 = 2, car c’est un axiome. C’est vrai par dfinition. Vous ne pouvez pas prouver des dfinitions et, ce qui est plus impor- tant,vous n’avez pas besoin de prouver des dÉfinitions. C’est la raison pour laquelle elles sont des dfinitions : pour que nous n’ayons pas À les prouver. Nous dcidons de les accepter arbitrairement et nous examinons oÙ elles nous entranent. Si nous pouvons bátir des systmes qui ne sont pas dmontrs inconsistants sur ces dfini- tions, alors nous pouvons affirmer que ces dfinitions sont corrobores. Mais cela ne les rend pas vraies ou prouves. Elles sont simplement non rfutes.

Les thormes de Popper sont bien plus importants pour l’Histoire que ceux de Gdel, pour la simple raison que les thormes de Popper vitent mieux l’inconsis- tance que ceux de Gdel. Le Thorme d’Incompltude est lui-mme un paradoxe, un paradoxe qui dpend d’une contradiction primordiale. Les thormes de Pop- per possdent galement plus de contenu. Popper relie explicitement ses systmes À d’autres systmes logiques – comme par exemple la physique, les mathma- tiques, la logique symbolique, la thorie des jeux, les probabilits, etc. Il passa sa vie entire À discuter des implications de ses thormes. Il ne se contenta pas de

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simplement donner quelques paradoxes au monde pour ensuite se retirer dans du mysticisme.

Ce n’est pas par hasard que le nom de Gdel est dsormais li À celui d’Escher. Ils sont tous deux profonds et importants. Ce qui veut dire qu’ils ne le sont pas. Ils ne sont que des modes. Gdel est devenu plus connu que Popper et plus fa- e meux que n’importe quel mathmaticien ou logicien du 20sicle parce que ses ides – comme les ides d’Escher en peinture – permirent le passage vers le mains- tream, oÙ elles pouvaient tre dulcores et popularises. Elles pouvaient tre relies, comme les interprtations populaires de la relativit et de l’lectrodyna- mique quantique, À d’autres modes comme Star Trek, Star Wars ou la science- fiction d’Asimov.

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Comme une sorte d’addenda, je vais montrer que Popper sous-entendait l’exis- tence d’un moyen de tourner autour, ou de dpasser, l’implication de sa thorie, À savoir que « rien n’est vrai ou prouvable ». Cette mthode, que je vais relater en des termes trs gnraux, nous entrane aussi dans les parages du Thorme d’Incom- pltude de Gdel. Trs souvent, nous choisissons des dfinitions et des axiomes À partir d’un ensemble de dclarations qui sont empiriquement ou intuitivement trs fortes. C’est-À-dire que nous pouvons nous rfrer comme d’une preuve À de l’inn ou À un rsultat d’exprience. Mais cette sorte de preuve n’a jamais t accepte par les philosophes, pour diverses raisons (pas tellement bonnes). Si la dclaration « ce chien est blanc » ne peut pas tre prouve en dsignant un chien blanc, quel espoir avons-nous de pouvoir prouver quoi que ce soit? Si la phrase « les oiseaux savent comment migrer » n’est pas prouve par les milliards d’oiseaux qui migrent vers le sud pour revenir ensuite À leur point de dpart, quelle chance avait Russell de pouvoir prouver que1 + 1= 2? Cette galit, une fois que l’on a montr qu’elle se situe mathmatiquement au-delÀ de la preuve, doit s’en remettre À une preuve empirique – en dsignant un paire de pommes, par exemple. Personnellement, je trouve la preuve empirique complte, et je vais maintenant vous dire pourquoi.

Popper croyait que les tautologies chappaient À son principe de falsifiabilit. Les tautologies ne pouvaient pas tre falsifies, puisqu’il n’existe pas logiquement de falsificateur possible. Elles taient ds lors vraies, mme lorsque rien d’autre ne l’tait. En fait, Popper pensait que l’expression= 21 + 1tait vraie parce qu’il s’agissait d’une tautologie. Il pensait que les preuves de Russel taient inutiles parce qu’une tautologie reprsente l’exception À la rgle de la falsification et de la vrification. Si c’est le cas, alors je peux chapper À l’exigence d’tre falsifiable en montrant que dsigner un chien blanc est une tautologie, À savoir : «cette chose que je dsigne, je la dfinis comme tant un chien. La couleur de cette chose, je l’appelle blanc. Ds lors, cette chose que je dsigne est un chien blanc». Ce qui revient bien entendu À appeler un chien blanc un chien blanc. A=A. Comment pourrais-je tre dans le faux?

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M. Mathis

De cette manire, nous allons au-delÀ de Gdel et de Popper. Nous pouvons « prou- ver » un grand nombre de choses en dmontrant qu’elles constituent des tautolo- gies. Les oiseaux migrateurs sont un autre exemple. «Je dfinis ces choses que vous voyez voler comme des oiseaux. Je dfinis “migrer” comme tant ce qu’ils sont en train de faire. Ds lors, ils migrent ». Comment cette dclaration pourrait- elle tre falsifie? Il se trouve que l’on peut dmontrer qu’une grande partie du langage, et mme de la science, est constitue de tautologies.

Vous allez dire que ceci signifie simplement que ces choses sont triviales : c’est vide de contenu. Mais ce n’est pas vide de contenu. C’est rempli de dfinitions et d’axiomes, qui sont assez riches en contenu. Par exemple, dans l’exemple du chien blanc, vous avez appris ce qu’est un chien et ce qu’est blanc, du moins selon moi. Qu’est-ce qu’apprendre, dans la plupart des cas, sinon dcouvrir ce que sont les choses selon d’autres gens – des parents, des enseignants, des historiens, des crivains, des scientifiques, etc. En tant que personne, vous apprenez une liste gigantesque de dfinitions. Un large pourcentage de ce que sait n’importe quelle personne est dfinitionnel. Apprendre la signification des mots est central pour toute intelligence. La signification des mots est dfinitionnelle. C’est galement tautologique. «Ceci est un chien; un chien, c’est ceci». A=A. Nous possdons donc djÀ un corpus norme de dclarations qui sont vraies du fait qu’elles sont des tautologies et qui, pourtant, sont riches en contenu.

Les mots s’appliquent galement aux actions, pas uniquement aux choses. Les op- rations sont des actions. De cette manire, je peux prouver beaucoup d’oprations en montrant qu’elles sont des dfinitions tautologiques. Les oiseaux migrateurs ne sont qu’un exemple parmi d’autres.

— « Ces oiseaux migrent » — « Qu’est-ce que migrer? » — « Voler vers le sud pour la dure de l’hiver » — « Qu’est-ce que l’hiver? » — « L’hiver, c’est maintenant » — « Qu’est-ce que le sud? » — « Le sud, c’est la direction dans laquelle ils volent ».

Des tautologies, encore et encore. «Je dfinis ces choses faisant ce qu’elles font comme faisant ce qu’elles font ».

L’une des subtilits de Gdel concernant son premier thorme tait que celui-ci s’appliquait uniquement À des systmes logiques qui taient suffisamment riches en contenu – qui taient non-triviaux. Il ne fournit aucune mthode infaillible permettant de dcouvrir quels systmes sont riches et lesquels sont trop pauvres, mais il a t suppos qu’il cartait d’avance les tautologies (au strict minimum). Je viens de montrer que les tautologies sont plutÔt riches en contenu. En faisant ainsi, j’ai fatalement sap le thorme 1.

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Un systme logique entirement compos de tautologies ne peut admettre le moin- dre paradoxe du menteur, car le paradoxe du menteur ne se rsout pas en la forme A=A. Aucun paradoxe du menteur n’est une tautologie, et aucune tautologie n’est un paradoxe du menteur. Et pourtant, les tautologies sont riches en contenu. Ds lors, le thorme 1 est falsifi.

Je peux aller encore plus loin. Toute dduction est une tautologie, puisque la chose prouve est contenue dans les axiomes. Les axiomes sont des dfinitions, qui sont des tautologies. Les rsultats sont des sous-ensembles des axiomes. Ds lors, toutes les dductions sont tautologiques. Il n’y a pas plus de contenu dans le rsultat qu’il n’y en avait dans les axiomes. Ds lors, le rsultat ne peut pas tre falsifi. Si les axiomes ne peuvent pas tre falsifis, alors les rsultats ne peuvent pas tre falsifis.

En fait, c’tait le raisonnement des anciens Grecs, qui dfinissaient « preuve » exac- tement de cette faÇon. Vous prouviez des choses en montrant que vos rsultats taient logiquement contenus dans vos axiomes. Vous ne prouviez pas quoi que ce soit selon les standards modernes, puisque vous ne trouviez aucune « nouvelle information ».Vous ne faisiez que clarifier une ancienne information. Vous r- largissiez vos dfinitions, vous rappelant de leur contenu entier. Et pourtant les Grecs voyaient ce processus comme un vrai enseignement, comme de la vraie in- telligence, comme de la vraie connaissance, comme non-trivial.

De cette faÇon, nous possdons un norme corpus de connaissances que nous pou- vons appeler «vraies ».Et rien de tout cela n’a À tre prouv au-delÀ de simples preuves dductives, parce que tout cela est dfinitionnel, ou axiomatique. Tout est tautologique.

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Bertrand Russell

M. Mathis

Vous pouvez dire que mon utilisation de la tautologie est de bien des faÇon simi- laire À celle de Russel. C’est le cas. La diffrence tant que Russell et Whitehead ont normment sur-complexifi le problme en parlant de «la classe de toutes les classes» et autres charabias mathmatiques. Cette fausse rigueur, apprise de Peano, de Frege, de Cantor et du reste, ne fit que donner À d’autres chicaneurs comme Gdel l’occasion de pntrer dans la place et d’entretenir des paradoxes. J’ai montr que Gdel n’a caus aucun dommage rel À Russell (ou À qui que ce soit d’autre), mais que Popper fit grand tort À Russell. Popper fit paratre Russell plus que ridicule pour avoir crit des milliers de pages axiomatisant des choses qui taient djÀ des axiomes ds le dbut. Peano est aussi coupable d’avoir gách des rames de papier pour nous apporter 9 axiomes lÀ oÙ un ou deux auraient suffi – et avaient suffi pendant des sicles.

D’autres pourraient affirmer que ma preuve empirique ressemble fort À la re- cherche des positivistes d’une donne sensible ou d’une observation–dclaration, ou bien qu’elle reflte la «thorie de la correspondance». Mais ce n’est pas le cas. J’affirme qu’une preuve empirique est en ralit une tautologie. Une preuve par dsignation nedevientpas vraie ou vrifie par une correspondance. Elle est vraie parce qu’elle est djÀ axiomatique avant mme qu’une preuve quelconque ait dbut. Ma thorie est bien plus forte car elle vite la ncessit d’une vri- fication, d’une preuve ou d’une correspondance. Une tautologie ne requiert pas de preuve ni de vrification. Ce n’est pas une correspondance. C’est une galit

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dfinitionnelle. Selon les rgles de ma logique, demander une preuve ou une vri- fication d’une tautologie est une contradiction. Cette logique interdit la chicanerie ou l’ergoterie par de vieux moyens (on pourrait dire « Grecs ») : elle dfinit comme contradictoire toute demande de vrification d’axiome, de postulat, de dfinition ou de tautologie. Je pourrais approfondir le sujet mais je ne trouve pas cela utile. Popper croyait qu’argumenter sur de la smantique tait une perte de temps. Je trouve la logique fondamentale une encore plus grosse perte de temps, car nulle part, dans aucun secteur philosophique, aussi peu n’a jamais t accompli avec autant d’nergie.

Qu’est-ce que cela peut faire, allez-vous demander, que Peano ou Russel aient pass tant de temps À prouver avec rigueur des tautologies ? Ils ne faisaient de tort À per- sonne et ils taient au moins dans le bon camp. Ils taient honntes. Eh bien c’est important, parce qu’il y avait (et il y a encore) tellement de travail rel À faire en mathmatique et en physique. Quand les grands mathmaticiens et les grands phy- siciens perdent leur temps À des trivialits et À des absurdits, cela devrait avoir une certaine importance pour l’Histoire et pour les futurs scientifiques et math- maticiens. Personnellement, cela me tracasse, car je m’aperÇois que Russel et les grands mathmaticiens de l’poque auraient pu corriger Einstein, Newton, Cauchy, Cantor et ainsi de suite. R-axiomatiser des tautologies pendant que Cantor ajoute des infinis, qu’Einstein fait des erreurs de simple algbre et que Heisenberg saute À des conclusions hátives, on pourrait appeler cela chipoter pendant que Rome brÛle. En fait, Russell fut l’un des grands vulgarisateurs d’Einstein, avec son livre The ABC of Relativity. Sachant ce que je sais, je ne peux pas laisser passer ce fait. Un grand mathmaticien aurait vu l’erreur dans les simples quations algbriques d’Einstein. C’est le principal. Le fait que Russell tait contre la bombe, la guerre ou tout autre chose ne me concerne pas. Exactement comme je ne suis pas concern par le fait qu’Einstein tait contre la bombe ou la guerre. Je suis concern par la constatation que les mathmaticiens et les physiciens ne sont pas capables de faire de la simple algbre.

Je pourrais crire des milliers de pages À ratisser lesPrincipia Mathematicade Russell et Whitehead afin de montrer oÙ se trouvent les inconsistances et À trier les diverses dclarations de Frege, Russell et Gdel, mais aprs Popper cela ne vaudrait pas vraiment la peine. Toutes les variantes du positivisme se sont rvles tre des entreprises voues À l’chec (et franchement pathtiques). Axiomatiser encore plus des choses qui taient djÀ des axiomes est quivalent À tenter de venir À bout d’une srie infinie en additionnant tous les termes. Cela ne peut ressembler À rien d’autre qu’À de la perte de temps. Je pense qu’on le savait djÀ À l’poque de Russell. Le seul intrt qu’il y avait À rfuter un prcdent logicien tait de prendre son titre. Russell prit le titre de Frege en tant que logicien numro un. Gdel prit ensuite le titre de Russell. Mais cette faÇon de faire les faisait plus ressembler À des champions d’chec qu’À des solutionneurs utiles de problmes. Les champions d’chec ne sont pas plus utiles À la socit que les idoles du football. Ils ne crent rien de plus que du divertissement.

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M. Mathis

Le paradoxe de Russell est directement analogue aux Thormes d’Incompltude de Gdel. Russell dtruisit la nave thorie des ensembles de Frege au moyen d’un simple paradoxe, exactement comme Gdel dtruisit la thorie axiomatique des ensembles de Russell. Mais aucune de ces destructions n’est logique en elle- mme. Avec le recul, la raison pour laquelle Frege n’ajouta pas simplement un axiome supplmentaire afin de se dbarrasser du paradoxe de Russell n’apparat pas clairement. Historiquement, c’est exactement ce qui s’est pass. La thorie des ensemble ZFC (Zermelo-Fraekel/Choice) ajoute plusieurs axiomes qui interdisent la cration des paradoxes cancreux connus. Elle le fait À peu prs de la mme manire que je l’ai fait navement ci-dessus – en interdisant des dclarations auto- rfrences. Les paradoxes de Russell et de Gdel concernaient tous deux des dclarations auto-rfrences. En jargon de logicien, elles taient des ensembles qui s’incluaient eux-mmes. La ZFC les interdit axiomatiquement, et la plupart des logiciens contemporains acceptent la consistance de la ZFC.

Le problme avec ceci est qu’il est inconsistant de croire en la ZFC et de penser en mme temps que les paradoxes de Russell et de Gdel taient importants ou signi- ficatifs. Si la ZFC est correcte, alors il y a trs peu de choses fausses dans la thorie nave des ensembles et les intrigues historiques paraissent plus que ridicules. Ce n’tait qu’une tempte dans un verre d’eau. Ce fut plus d’un sicle de travail pass À rsoudre quelque chose alors qu’une semaine aurait suffi. Zermelo connaissait en ralit le paradoxe de Russell avant que Russell envoie sa lettre À Frege, mais il le ngligea comme quelque chose de trivial. Il pensait que Ça ne mritait mme pas la moindre attention jusqu’À ce que Frege commette un satı mathmatique sur le bÛcher funraire de la thorie nave des ensembles. Ce fut la raction extrme de Frege qui fut la cause d’une instabilit dans le monde des maths, pas le paradoxe lui-mme. On pourrait penser qu’un mathmaticien, et plus spcialement un ma- thmaticien entran dans tous les arts du peaufinage d’quation par son matre Cantor [voir mon article sur Cantor], pourrait comprendre comment transcender un paradoxe auto-rfrenc.

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L’analyse de Popper sur la manire dont nous parvenons À la connaissance est bien plus proche de la ralit que l’analyse classique. C’est ce que l’on pourrait appeler une pistmologie oprationnelle. Elle est totalement oppose À l’pistmologie traditionnelle, qui se perd dans une tentative de gnralisation de dclarations spcifiques. Des millnaires ont t perdus À tenter de prouver de prtendus « uni- versels », alors qu’en fait les universels ne sont pas pertinents dans la question de l’apprentissage. Exactement comme nous n’avons pas À prouver des axiomes, nous n’avons pas besoin non plus de prouver des universels. Les neuf-diximes de nos connaissances sont de la sorte que je viens juste d’numrer, qui est base sur de la tautologie, ou de la dfinition et de la dduction. Le restant est du type de ce que Popper dcrit comme scientifique. Ce restant est hypothtique et fait reposer son

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contenu sur sa falsifiabilit. Les universels logie pratique. Ils ont un usage trs limit, Des abstractions infinies, ou universels, se

ne jouent aucun rÔle rel en pistmo- et cet usage est compltement abstrait. situent au-delÀ de la preuve.

Mais ce statut consistant À se situer au-delÀ de la preuve ne prsente pas de dan- ger pour la vrit, la connaissance, la science ou les mathmatiques. Absolument rien n’est perdu en laissant les universels non-prouvs. La seule chose que l’pis- tmologie classique n’a jamais expliqu est pourquoi nous devrions prouver les universels. Ce fut le grand apport de Popper À la philosophie. Ce fut sa premire question aux positivistes : « Que perdrions-nous si nous ne pouvions pas “induire” des dclarations gnrales, ou universels, À partir de dclarations singulires? ». Rponse : rien. Rien dans nos connaissances ne repose rellement sur une telle induction. Toutes les choses que les gens se soucient d’appeler vraies peuvent tou- jours tre appeles vraies, car elles sont vraies par dfinition. Les pommes sont rouges, les chiens aboient,2 + 2 = 4, et ainsi de suite. Et la science peut se passer d’universels puisqu’elle a toujours fonctionn sans universels. Sa mthode n’est pas inductive, elle ne proclame pas la certitude et ses rsultats ne sont pas vrifiables. Ses rsultats sont seulement plus ou moins falsifiables.

De cette faÇon, vous pouvez voir que les universels sont analogues À l’infini en ma- thmatique. Une dclaration universelle est une dclaration emmene vers l’infini, amene À la limite. L’analogie est encore plus serre, car l’infini comme l’univer- sel se sont rvls tre, dans leurs domaines respectifs, des briques gantes dans le mur. En philosophie, on a pass un nombre d’annes rellement extraordinaire À discuter de l’universel alors que son importance est pratiquement de zro. La mme chose peut tre dite de l’infini en mathmatique. Pratiquement rien d’utile en math n’a pu tre tir de l’tude de l’infini. Toute l’histoire du transfini a t une manipulation, cause par une erreur. Mme le calcul ne repose par sur l’infini, comme je l’ai dmontr autre part. Dvelopper des quations en utilisant des s- ries de Taylor et autres mthodes s’est rvl utile, mais ces mthodes n’auraient pas t ncessaires si le calcul avait t tabli en tout premier lieu sur le diffren- tiel constant plutÔt que sur un diffrentiel diminuant vers zro. La rsolution des problmes, dans tous les domaines, possderait un caractre tout diffrent aujour- d’hui si Archimde n’avait pas continu À rechercher des solutions aux quadratures au moyen de sries infinies, donnant ainsi des ides À Newton, Leibniz et tous les autres.

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