Measures and models of financial risk [Elektronische Ressource] / von Stefan Weber

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• Publié par: humboldt-universitat_zu_berlin
• Publié le: 01 janvier 2004
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• Langue: English
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Extrait

Measures and Models of Financial Risk
DISSERTATION
zur Erlangung des akademischen Grades
doctor rerum naturalium
(dr. rer. nat.)
im Fach Mathematik
eingereicht an der
Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät II
Humboldt-Universität zu Berlin
von
Diplom-Mathematiker Stefan Weber
geboren am 6. Mai 1973 in Hannover
Präsident der Humboldt-Universität zu Berlin:
Prof. Dr.Jürgen Mlynek
Dekan der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät II:
Prof. Dr.Uwe Küchler
Gutachter:
(1) Prof. Dr.Hans Föllmer
(2) Prof. Dr.Frank Riedel
(3) Prof. Dr.Alexander Schied
eingereicht am: 29. Juni 2004
Tag der mündlichen Prüfung: 12. November 2004Abstract
In this thesis, we study monetary measures and endogenous models of financial risk.
The first part considers two aspects of the quantification of financial risk. We focus
on the one hand on the calculation of risk measurements by Monte Carlo simulation.
On the other hand, we investigate a particular class of dynamic risk measures. In the
secondpartweanalyzetwomodelsoffinancialriskineconomieswithinteractingagents.
First, we focus on credit contagion of firms which interact with each other in a network
of business partners. Second, we investigate the market interaction of investors with
bounded rationality in an evolutionary selection market model.
The simulation of distributions of the value of financial positions is an important
issueforfinancialinstitutions.Ifriskmeasuresareevaluatedforasimulateddistribution
insteadofthemodel-implieddistribution,theprobabilityoferrorsofriskmeasurements
need to be analyzed. This topic is investigated in Chapter 1. For distribution-invariant
risk measures which are continuous on compacts and for value at risk we derive large
deviation bounds. If the approximate risk measurements are based on the empirical dis-
tribution of independent samples, the rate function equals the minimal relative entropy
under a risk measure constraint. For average value at risk (AVaR) and shortfall risk we
solve this minimization problem explicitly.
Chapter 2 provides an axiomatic characterization of dynamic risk measures. We
prove a representation theorem and investigate the connection to static risk measures.
Two notions of dynamic consistency are proposed. A key insight is that dynamic con-
sistency and the notion of measure convex sets of probability measures are intimately
related. Measure convexity can be interpreted using the concept of compound lotteries.
This leads to a characterization of a class of static risk measures closely connected to
shortfall risk.
Chapter 3 investigates credit contagion. Credit contagion refers to the propaga-
tion of economic distress from one firm to another. Using methods from the theory of
interacting particle systems, we propose a model for these contagion phenomena, as-
suming they are due to the local interaction of firms in a business partner network.
We study aggregate credit losses on large portfolios of financial positions contracted
with firms subject to credit contagion. In particular, we provide an explicit Gaussian
approximation of the distribution of portfolio losses. We find that contagion processes
induce additional fluctuations of losses around their averages, whose size depends on
the denseness of the business partner network.
InChapter4wederiveacontinuoustimeapproximationoftheevolutionarymarket
selection model of Blume and Easley (1992). Conditions on the payoff structure of theassets are identified that guarantee convergence. We prove that the continuous time
approximation equals the solution of an integral equation in a random environment.
For constant asset returns, it reduces to an autonomous ordinary differential equation.
We study its long-run behavior using techniques related to Lyapunov functions, and
compare our results to the benchmark of profit-maximizing investors.
iiZusammenfassung
Diese Arbeit behandelt die Bemessung und endogene Modellierung von Finanzrisiken.
Teil I untersucht neben der Monte Carlo Simulation statischer Risikomaße auch die
dynamische Bemessung von Finanzrisiken. In Teil II analysieren wir zwei Modelle mit
interagierendenAkteuren.DabeibetrachtenwireinerseitsAnsteckungsprozesseaufKre-
ditmärkten, andererseits einen evolutionären Marktselektionsmechanismus.
Für Finanzinstitutionen ist die Simulation von Verteilungen von Finanzpositionen
von großer Bedeutung. Werden Risikomaße nicht für die wahre, sondern für die simu-
lierte Verteilung berechnet, ist die Analyse der Wahrscheinlichkeit von Fehlern des so
ermittelten Risikos wichtig. Mit dieser Fragestellung befasst sich Kapitel 1. Für vertei-
lungsinvariante Risikomaße, die stetig auf Kompakta sind, und für Value at Risk un-
tersuchen wir große Abweichungen. Beruht die approximative Risikobemessung auf den
empirischen Verteilungen unabhängiger Simulationen, ist die Ratenfunktion der großen
Abweichungen als eine minimale relative Entropie unter einer Risikomaßnebenbedin-
gung gegeben. Das resultierende Minimierungsproblem lösen wir explizit für Average
Value at Risk (AVaR) und Shortfall-Risk.
In Kapitel 2 untersuchen wir dynamische Risikomaße axiomatisch. Wir beweisen
einen Darstellungssatz, der den engen Zusammenhang zu statischen Risikomaßen auf-
zeigt. Wir definieren zwei Arten dynamischer Konsistenz. Es stellt sich heraus, dass
eine enge Verbindung zwischen der dynamischen Konsistenz und maßkonvexen Men-
gen von Wahrscheinlichkeitsmaßen besteht. Maßkonvexität lässt sich auch mit Hilfe
von zusammengesetzten Lotterien interpretieren. Dieser Zusammenhang führt auf ei-
ne Charakterisierung von statischen Risikomaßen, die eng mit Shortfall-Risk verwandt
sind.
Kapitel 3 befasst sich mit Ansteckungsprozessen auf Kreditmärkten. Wir konstru-
ierenmitHilfederTheorieinteragierenderTeilchensystemeeinModellfürAnsteckungs-
prozesse von lokal interagierenden Geschäftspartnern. Für große Portfolios von Bank-
krediten, die an vernetzte und interagierende Firmen vergeben sind, untersuchen wir
aggregierte Verluste und leiten eine explizite Gaußsche Approximation der Verlustver-
teilung her. Die Ansteckungsprozesse induzieren zusätzliche Fluktuation der Verluste,
deren Größe vom Grad der Vernetztheit der Ökonomie abhängt.
In Kapitel 4 konstruieren wir eine zeitstetige Approximation eines evolutionären
Marktselektionsmodells von Blume and Easley (1992). Wir identifizieren Bedingungen
an den Dividendenprozess, die die Konvergenz implizieren. Die zeitstetige Approxima-
tion ist Lösung einer Integralgleichung in einer zufälligen Umgebung. Für den Spezi-
alfall zeitlich konstanter Dividendenzahlungen ergibt sich eine autonome gewöhnlicheDifferentialgleichung, deren Langzeitverhalten wir mit Hilfe von Lyapunovfunktionen
charakterisieren. Unsere Resultate vergleichen wir mit einem Modell von rationalen In-
vestoren.
ivContents
Introduction 1
I Measures of Financial Risk 6
1 Distribution-Invariant Risk Measures, Entropy, and Large Deviations 7
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Large Deviation Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Continuity on Compacts and a Contraction Principle . . . . . . . 9
1.2.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3 Large Deviation Bounds for VaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3 Rate Functions and Dependence of Observations . . . . . . . . . . . . . 22
1.4 Entropy Minimization under AVaR-Constraints . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.1 Existence of Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.2 Structure of the Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5 Entropy Minimization under a Shortfall Risk Constraint . . . . . . . . . 43
1.5.1 Existence of Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.5.2 Structure of the Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2 Distribution-Invariant Dynamic Risk Measures 47
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2 An Axiomatic Characterization of Risk Dynamics . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.1 The Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.2 Distribution-Invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3 Representation of Distribution-Invariant Risk . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3.1 Static Distribution-Invariant Risk Measures . . . . . . . . . . . . 53
2.3.2 A Simple Representation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.4 Dynamic Consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
vContents vi
2.4.1 Representation of Consistent Risk Measures . . . . . . . . . . . . 61
2.4.2 Consistency and Mixtures of Distributions . . . . . . . . . . . . . 63
2.4.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.5 Consistency, Compound Lotteries, and Shortfall Risk . . . . . . . . . . . 66
2.5.1 Static Risk Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.5.2 Dynamic Risk Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.6 Conclusion. . . . . . . . . . .