Mémoire sur l'intégration des équations aux dérivées partielles des deux premiers ordres

Joseph Graindorge

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• Differential equation

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Extrait

MÉMOIRE
SUR
L'INTÉGRATION DES ÉQUATIONS
DÉRIVÉES PARTIELLES DES DEUX PREMIERS ORDRES.
PAR Joseph GRAINDORGE,
Docteur spécial en sciences physico-mathëroatiques,
répéliieur l'Kcolc des mines de Liège,à membre de la Socidtc royale
des sciences de Liège, etc.
^\^htINTRODUCTION HISTORIQUE.
L'intégration des équations aux dérivées partielles forme une
des théories les plus importantes de l'analyse. Elle doit principa-
lement cette importance aux nombreux problèmes qui conduisent
à des équations de cette espèce. Ses applications se présentent,
pour ainsi dire à chaque pas, dans la géométrie, la physique
mathématique et la mécanique.
Les premiers travaux sur cet objet sont dus à d'Alemhert (').
en trouve cependant déjà des traces dans unOn mémoire de
iV. Bernoulli sur les trajectoires orthogonales D'Alembert aQ).
montré que les intégrales de ces équations doivent renfermer
des fonctions arbitraires, et il a découvert le moyen de déterminer
le nombre de ces fonctions. Cette recherche a aussi occupé
Condorcet (^). Toutefois, suivant Cousin qui a traité le même(^),
sujet Euler avait, en 1734-, intégré une équation de ce(^),
genre il est donc le véritable inventeur de ce calcul, qu'il(^);
a développé d'une manière très-simple (^). En outre , il a donné
un grand nombre de délails sur les équations d'un ordre supé-
(') Mémoires de l'Académie des sciences de Paris 1767 et 1769.;
(*) Jeta e7'uditorum ; année nW.
(^) Mémoires de VAcadémie des sciences de Paris; 1770, 1771 et 1772.
(*) MONTUCLA, Histoire des III, 314.mathématiques, t. p.
Mémoires de(^) Vacadémie des sciences de Paris; 1778, 1783 et 1784.
{^) de Pétersbourg, t. Vil.
EiLER, Institutiones Petropolis;calculiintegraUs, t. IH. 1770.C);
"( )
au premier. D'Alembert, qui en fil les premièresrieur applica-
physiques, n'avait rien enseignétions aux sciences sur la nature
lies intégrales de ces équations. C'est seulement en 1773, que
Laplace a trouvé le moyen de reconnaître si une telle(') équation
peut avoir une intégrale donnée. Il a indiqué en même temps une
méthode de réduction de l'équation du second ordre à un système
d'équations différentielles ordinaires mais il n'a traité que les;
équations linéaires à deux variables indépendantes. Dans le
même travail, on trouve cette remarque importante que les
équations différentielles ordinaires sont des cas particuliers des aux dérivées partielles. Il suffît, dit Laplace, d'égaler
à zéro les coefficients des dérivées relatives à Tune des deux va-
riables par exemple.
, y
La méthode de Laplace suppose que l'on fait disparaître deux
des trois premiers termes de l'équation proposée. Legendre (2),
en étudiant l'équation des surfaces minimums, a été conduit à
une méthode nouvelle d'intégration qu'il a pu étendre aux équa-
tions non linéaires du second ordre à deux variables indépen-
dantes. Cette question des surfaces minimums avait déjà été
traitée par Monge qui en a donné une solution remarquable,(3),
déduite de considérations géométriques. Peu de temps après (*),
Monge exposait une méthode d'intégration des équations linéaires
du second ordre, abandonnée plus tard, et de laquelle
conclure plusieurs des résultatsil n'était cependant pas difficilede
trouvés longtemps après par Ampère.
de l'académie des sciences de Paris 1774-.(*) Mémoires ;
(^) Ibid.; 1787.
—Monge, /ipplicatinti de l'analyse à la géoméfrie. Mémoires des sa-{^)
—vants étrangers de l'Académie de Paris; 1775. Miscellanea taurinensia
1770-1773.
Mémoires de l'Académie des sciences de Paris; 1784.(*) ,