On the theory of derivators [Elektronische Ressource] / Moritz Groth. Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät

Moritz Groth

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• Publié par: rheinische_friedrich-wilhelms-universitat_bonn
• Publié le: 01 janvier 2011
• Nombre de lectures: 14
• Langue: English
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Extrait

On the theory of derivators
Dissertation
zur
Erlangung des Doktorgrades (Dr. rer. nat.)
der
Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakult at
der
Rheinischen Friedrich-Wilhelms-Universit at Bonn
vorgelegt von
Moritz Groth
aus
Neumunster
Bonn 2011Angefertigt mit Genehmigung der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakult at
der Rheinischen Friedrich-Wilhelms-Universit at Bonn
1. Gutachter: Prof. Dr. Stefan Schwede
2. Gutachter: Prof. Dr. Bernhard Keller
Tag der Promotion:
Erscheinungsjahr:ON THE THEORY OF DERIVATORS
MORITZ GROTH
Abstract. In Part 1, we develop some aspects of the theory of derivators, pointed deriva-
tors, and stable derivators. As a main result, we show that the values of a stable derivator
can be canonically endowed with the structure of a triangulated category. Moreover, the
functors belonging to the stable derivator can be turned into exact functors with respect
to these triangulated structures. Along the way, we give a simpli cation of the axioms of a
pointed derivator and a reformulation of the base change axiom in terms of Grothendieck
(op) bration. Furthermore, we have a new proof that a combinatorial model category
has an underlying derivator.
In Part 2, we develop the theory of monoidal derivators and the related notions of
derivators being tensored, cotensored, or enriched over a monoidal derivator. The passage
from model categories to derivators respects these notions and, hence, gives rise to natural
examples. Moreover, we introduce the notion of the center of additive derivators which
allows for a convenient formalization of linear structures on additive derivators and graded
variants thereof in the stable situation. As an illustration we discuss some derivators
related to chain complexes and symmetric spectra.
In the last part, we take a closer look of the derivator associated to a di erential-graded
algebra over a eld. A theorem of Kadeishvili ensures that the homotopy type of such
a dga A can be encoded by a minimal A -algebra structure on the homology algebra.1
Moreover, a result of Renaudin guarantees that the derivator D of di erential-gradedA
A-modules essentially captures the homotopy theory associated to A: This motivates that
these two structures {theA -algebra and the derivatorD { should determine each other,1 A
and we give a rst step towards such a comparison result.
Contents
Part 1. Derivators, pointed derivators, and stable derivators 8
0. Introduction and plan 8
1. Derivators and pointed derivators 12
1.1. Basic notions 12
1.2. Model categories give rise to derivators 22
1.3. Some properties of homotopy Kan extensions 26
1.4. Pointed derivators 32
2. Morphisms of derivators 36
Date: July 14, 2011.
34 MORITZ GROTH
3. Cartesian and coCartesian squares 42
4. Stable derivators 51
4.1. Suspensions, loops, cones, and bers in the pointed setting 51
4.2. Stable derivators and the canonical triangulated structures 53
4.3. Recollements of triangulated categories 67
Appendix A. Derivators and Grothendieck (op) brations 69
Appendix B. Some technical proofs and constructions 75
B.1. Proof of Proposition 2.12 75
B.2. Proof of Prop 3.5 78
B.3. Proof of Proposition 3.9 80
B.4. Some properties of the construction P 82
Part 2. Monoidal and enriched derivators 86
0. Introduction 86
1. Monoidal derivators 89
1.1. The Cartesian monoidal 2-categories Der and PDer 89
1.2. Monoidal prederivators, monoidal morphisms, and monoidal transformations 96
1.3. Adjunctions of two variables and closed monoidal derivators 100
1.4. Monoidal model categories induce monoidal derivators 108
1.5. Additive derivators, the center of a derivator, and linear structures 116
2. Derivators tensored or cotensored over a monoidal derivator 125
2.1. The 2-Grothendieck bration of tensored categories 125
2.2. Tensors and cotensors on derivators 127
2.3. The closedness of the Cartesian monoidal 2-categories PDer and Der 130
2.4. Examples coming from model categories 138
3. Enriched derivators 145
3.1. The 2-Grothendieck op bration of enriched categories 145
3.2. Enriched derivators 148
3.3. Enriched model categories induce enriched derivators 159
Appendix A. The 2-categorical Grothendieck construction 161
Appendix B. Monoidal and closed monoidal 2-categories 164
B.1. The 2-categories of monoidal objects and modules in a monoidal 2-category 164
B.2. Closed monoidal 2-categories 170
Part 3. On the derivator associated to a di erential-graded algebra over
a eld 177
0. Introduction 177
1. The minimal model of Kadeishvili and the result of Renaudin 179
1.1. A -algebras and the minimal model of Kadeishvili 1791
1.2. Renaudin’s result and the derivator associated to a dga 183
2. A partial reconstruction ofD ([1]) using m 186A 3
[n]2.1. The projective model structure on A Mod 186
2.2. Description ofD ([n]) via coherent diagrams 191AON THE THEORY OF DERIVATORS 5
2.3. The Hochschild-Mitchell extension induced by m 1963
3. Perspective 202
3.1. Coherent diagrams as a special case of strictly unital A -functors 2021
3.2. The Hochschild-Mitchell extension for a stable derivator over a eld 204
References 2106 MORITZ GROTH
1
Zusammenfassung Diese Arbeit besch aftigt sich mit verschiedenen Aspekten der
Theorie der Derivatore. Bei den Derivatoren handelt es sich um einen Zugang zur ax-
iomatischen Homotopietheorie, welcher insofern ein elementarer Zugang ist, als sich die
Theorie ganz in der Welt der (2-)Kategorien abspielt. Die Theorie der stabilen Derivatore
kann dadurch motiviert werden, dass sie uns eine ‘Verbesserung’ der Theorie der (in den
verschiedensten Bereichen der Mathematik auftretenden) triangulierten Kategorien liefert.
Typische formale Defekte der triangulierten Kategorien {wie die Nicht-Funktorialit at der
Kegelkonstruktion{ k onnen behoben werden, wenn man beim Ubergang vom Modell zu
den Homotopiekategorien ‘mehr Information mitnimmt’.
Die Grundidee besteht darin, dass man z.B. im Kontext einer abelschen Kategorie
nicht nur die derivierte Kategorie bilden sollte. Zeitgleich sollte man auch verschiedene
Funktorkategorien mit Werten in dieser abelschen Kategorien betrachten. Bei diesen Dia-
grammkategorien handelt es sich wieder um abelsche Kategorien, so dass wir auch zu diesen
die derivierten Kategorien assoziieren k onnen. So entsteht ein System von derivierten
Kategorien, welche mit diversen Einschr ankungsfunktoren verbunden sind, und ahnlic he
Beobachtungen lassen sich auf naturlic hen Transformationen ub ertragen. Des weiteren
haben die Einschr ankungsfunktoren oftmals Adjungierte auf beiden Seiten, welche wir
dann als Homotopie(ko)limiten im absoluten Fall bzw. als Homotopie-Kan-Erweiterungen
im relativen Fall interpretieren. Spezialf alle dieser Homotopie(ko)limiten liefern uns eine
funktorielle Variante der Kegelkonstruktion.
Eine Axiomatisierung einer solcher Situation fuhrt zu dem Begri des (stabilen) Deriva-
tors. Die Theorie der Derivatore ist allerdings mehr als ‘lediglich’ eine Verbesserung der
Theorie der triangulierten Kategorien. Es gibt eine ganze Hierarchie solcher Stukturen von
Derivatoren, punktierten Derivatoren ub er additive Derivatore zu stabilen Derivatoren,
und die Theorie der Derivatore ist somit auch in wesentlich allgemeineren, insbesondere
auch in nicht-stabilen, Situationen interessant.
Das Hauptziel des ersten Teils der Arbeit besteht darin, die Theorie der stabilen Deriva-
tore soweit zu entwickeln, dass wir {aufbauend auf Ideen von Franke{ einen Beweis liefern
k onnen, dass die Werte eines stabilen Derivators kanonisch mit triangulierten Strukturen
versehen werden k onnen. Desweiteren zeigen wir, dass die zu einem stabilen Derivator
geh orenden Einschr ankungsfunktoren und Homotopie-Kan-Erweiterungen kanonisch ex-
akte Strukturen tragen. Auf dem Weg zu diesem zentralen Satz vereinfachen wir die Ax-
iomatik der punktierten Derivatore, liefern eine Charakterisierung von Derivatoren ub er ein
gewisses Verhalten bei Basiswechseln und geben einen neuen Beweis, dass kombinatorische
Modellkategorien einen zugrundeliegenden Derivator besitzen.
Im zweiten Teil entwickeln wir die Theorie der monoidalen Derivatore und die ver-
wandten Theorien der tensorierten, kotensorierten oder angereicherten Derivatore. Der
Ubergang von Modellkategorien zu Derivatoren erh alt diese Strukturen und liefert so kanon-
ische Beispiele. Des weiteren fuhren wir das Zentrum von additiven Derivatoren ein, welches
es uns erlaubt, ub er lineare Strukturen auf Derivatoren zu sprechen. Wir illustrieren diese
1This research was supported by the Deutsche Forschungsgemeinschaft within the graduate program
‘Homotopy and Cohomology’ (GRK 1150)Begri sbildungen an Beispielen im Kontext der Kettenkomplexe und symmetrischen Spek-
tren.
Im letzten Teil studieren wir den einer di erentiell-graduierten Algebra ub er einem
K orper zugeordneten Derivator etwas genauer. Nach einem Satz von Kadeishvili kann
man den Homotopietyp einer solchen di erentiell-graduierten Algebra ub er das sogenannte
minimale Modell auf der Homologie kodieren. Des weiteren motiviert ein Resultat von Re-
naudin, dass der assoziierte Derivator ebenfalls die Homotopietheorie speichern sollte. Wir
liefern einen ersten Schritt, wie man diese beiden Wege des Kodierens in Bezug zueinander
setzen kann.
Die einzelnen Teile der Arbeit h