On topological string theory with Calabi-Yau backgrounds [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Babak Haghighat

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• Physik

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• Publié par: rheinische_friedrich-wilhelms-universitat_bonn
• Publié le: 01 janvier 2009
• Nombre de lectures: 12
• Langue: English
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

On Topological String Theory with
Calabi-Yau Backgrounds
Dissertation
zur
Erlangung des Doktorgrades (Dr. rer. nat.)
der
Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakult at
der
Rheinischen Friedrich-Wilhelms-Universit at
zu Bonn
vorgelegt von
Babak Haghighat
aus Bonn
Bonn 20092
Angefertigt mit Genehmigung der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakult at
der Universit at Bonn.
Referent: Prof. Dr. Albrecht Klemm
Korreferent: Prof. Dr. Hans-Peter Nilles
Tag der Promotion: 29.10.2009
23
Abstract
String theory represents a unifying framework for quantum eld theory as well as
for general relativity combining them into a theory of quantum gravity. The topological
string is a subsector of the full string theory capturing physical amplitudes which only
depend on the topology of the compacti cation manifold. Starting with a review of the
physical applications of topological string theory we go on to give a detailed description
of its theoretical framework and mathematical principles. Having this way provided the
grounding for concrete calculations we proceed to solve the theory on three major types
of Calabi-Yau manifolds, namely Grassmannian Calabi-Yau manifolds, local Calabi-Yau
manifolds, and K3 brations. Our method of solution is the integration of the holomorphic
anomaly equations and xing the holomorphic ambiguity by physical boundary conditions.
We determine the correct parameterization of the ambiguity and new b conditions
at various singularity loci in moduli space. Among the main results of this thesis are the
tables of degeneracies of BPS states in the appendices and the veri cation of the correct
microscopic entropy interpretation for ve dimensional extremal black holes arising from
compacti cations on Grassmannian Calabi-Yau manifolds.
34
Ich m ochte mich zuallererst bei Prof. Albrecht Klemm dafur bedanken, dass er es mir
erm oglicht hat, meine Doktorarbeit auf diesem fur mich besonders spannenden Gebiet
der theoretischen Physik zu schreiben und mich auf diesem Weg mit Rat und Tat be-
gleitet hat. Weiterhin, m ochte ich mich bei der Bonn-Cologne Graduate School fur ihre
Unterstutzung und bei Prof. Hans-Peter Nilles, der mir w ahrend dieser Zeit als Mentor
zur Seit stand, bedanken. Mein Dank gilt auch allen Mitgliedern der Arbeitsgruppe, die
mir durch die vielen Diskussionen und Gesprac he eine angenehme Arbeitsumgebung und
eine erfolgreiche Zusammenarbeit erm oglicht haben: Dr. Thomas Grimm, Tae-Won Ha,
Prof. Albrecht Klemm, Denis Klevers, Marco Rauch, Dr. Piotr Sulkowski und Thomas
Wotschke. Des weiteren bedanke ich mich bei Thomas Grimm, Denis Klevers, Marco
Rauch und Thomas Wotschke fur das Korrekturlesen. Mein besonderer Dank gilt meiner
Familie, meiner Schwester Bita, und meinen Eltern Diana und Mohammad, fur ihre wun-
dervolle Unterstutzung und Liebe.
4Contents
1 Introduction 1
1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Outline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 The Physics of the Topological String 7
2.1 Compacti cations to N = 2 supergravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Type IIA / IIB string theory in ten dimensions . . . . . . . . . . . 7
2.1.2 Compacti cations to four dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.3 BPS states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Gauge theories from geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1 The Seiberg-Witten model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2 Gauge theories from local Calabi-Yau manifolds . . . . . . . . . . . 15
2.3 Counting the entropy of Black Holes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1 Black Holes in four and ve dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.2 Microscopic interpretation of the entropy . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 The Topological String 21
3.1 The background geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.1 Calabi-Yau manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.2 The Moduli Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Supersymmetric nonlinear Sigma Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.1 N = (2; 2) Sigma Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.2 Linear Sigma Model view point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Twisting the N = (2; 2) theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.1 Generalities about topological eld theories . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.2 The A- and B-twists . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.3 Physical Observables of the topological theories . . . . . . . . . . . 47
3.3.4 Metric (in)dependence and topological string theory . . . . . . . . . 48
3.3.5 Dependence on the parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3.6 The tt equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4 The topological A-model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4.1 A model without worldsheet gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4.2 Coupling to topological gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
iii CONTENTS
3.4.3 Target space perspective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4.4 Interpretation around the Conifold singularity . . . . . . . . . . . . 63
3.5 The topological B-model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.5.1 B-model without worldsheet gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.5.2 Picard-Fuchs equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.5.3 Coupling to topological gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.5.4 The holomorphic anomaly equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.6 Mirror Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.6.1 Implications for the Topological String . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.7 Solving the holomorphic anomaly equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.7.1 The limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.7.2 Direct Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.7.3 The holomorphic ambiguity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4 Grassmannian Calabi-Yau backgrounds 83
4.1 Calabi-Yau complete intersections in Grassmannians . . . . . . . . . . . . 83
4.1.1 Topological invariants of the manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.1.2 Pluc ker embedding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.1.3 Mirror Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.2 Picard-Fuchs equations for one-parameter models . . . . . . . . . . . . . . 87
1
4.3 The Grassmannian Calabi-Yau (G(2; 5)j1; 1; 3) . . . . . . . . . . . . . . 89150
4.3.1 Picard-Fuchs di erential equation and the structure of the moduli
space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.3.2 g = 0 and g = 1 Gopakumar-Vafa invariants . . . . . . . . . . . . . 91
4.3.3 Higher genus free energies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.4 Other Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
1
4.4.1 (G(2; 5)j1; 2; 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95120
164.4.2 (G(3; 6)j1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
96
1
4.4.3 (G(2; 6)j1; 1; 1; 1; 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98116
174.4.4 (G(2; 7)j1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
98
4.5 5d black hole entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.6 Summary of the models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5 Local Calabi-Yau backgrounds 103
5.1 Local Mirror Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.1.1 The local A-model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.1.2 The local B-model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.2 Direct Integration in local Calabi-Yau geometries . . . . . . . . . . . . . . 106
1 1
1 15.3 K =O( 2; 2)!P P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107PP
5.3.1 Review of the moduli spaceM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.3.2 Solving the topological string on localF at large radius . . . . . . 1090
5.3.3 the top on localF at the conifold locus . . . 1130
5.3.4 Solving the topological string on localF at the orbifold point . . . 1150
5.3.5 Relation to the family of elliptic curves . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.4 K =O( 2; 3)!F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117F 11
5.4.1 Solving the topological string on localF at large radius . . . . . . 1181
5.4.2 the top on localF at the conifold locus . . . 1201
5.4.3 Relation to the family of elliptic curves . . . . . . . . . . . . . . . . 121
iiCONTENTS iii
6 K3 brations 123
6.1 Calabi-Yau hypersurfaces in toric varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.2 Picard-Fuchs equations and the B-model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.3 Moduli Space of K3 Fibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.3.1 K3 Fibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.3.2 The Moduli Space of the Mirror . . . . . . . . . . . . . . . . . .