Output feedback control and robustness in the gap metric [Elektronische Ressource] / Markus Mueller. [Technische Universität Ilmenau]

Markus Mueller

Description

Markus Mueller Output Feedback Control and Robustness in the Gap Metric Output Feedback Control and Robustness in the Gap Metric Markus Mueller Universitätsverlag Ilmenau 2009 Impressum Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Angaben sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Diese Arbeit hat der Fakultät für Mathematik und Naturwissenschaften der Technischen Universität Ilmenau als Dissertation vorgelegen. Tag der Einreichung: 16. April 2009 1. Gutachter: Prof. Dr. Achim Ilchmann (Technische Universität Ilmenau) 2. Gutachter: Prof. Dr. Eugene P. Ryan (University of Bath, UK) 3. Gutachter: Prof. Dr.-Ing. Johann Reger (Technische Universität Ilmenau) Tag der Verteidigung: 12. Juni 2009 Technische Universität Ilmenau/Universitätsbibliothek Universitätsverlag Ilmenau Postfach 10 05 65 98684 Ilmenau www.tu-ilmenau.de/universitaetsverlag Herstellung und Auslieferung Verlagshaus Monsenstein und Vannerdat OHG Am Hawerkamp 31 48155 Münster www.mv-verlag.de ISBN 978-3-939473-60-2 (Druckausgabe) urn:nbn:de:gbv:ilm1-2009000265 Titelfoto: photocase.

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• Mathematics

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• Publié le: 01 janvier 2009
• Nombre de lectures: 20
• Langue: Deutsch
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Extrait

Markus Mueller Output Feedback Control and Robustness in the Gap Metric

Output Feedback Control

and Robustness

in the Gap Metric

Markus Mueller

Universitätsverlag Ilmenau

2009

Impressum iothek lder Deutschen NationalbibBibliografische Information Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der
im InternDeutschenet Natiüber http:/onalbibliografie; /dnb.d-nb.de abdetaillierufbar. rte bibliografische Angaben sind

Diese Arbeit hat der Fakultät für Mathematik und Naturwissenschaften der
Technischen Universität Ilmenau als Dissertation vorgelegen.
Tag der Einreichung: 16. April 2009
1. Gutachter: Prof. Dr. Achim Ilchmann
(Technische Universität Ilmenau)
2. Gutachter: Prof. Dr. Eugene P. Ryan
UK) Bath,ity of(Univers3. Gutachter: Prof. Dr.-Ing. Johann Reger
(Technische Universität Ilmenau)
Tag der Verteidigung: 12. Juni 2009

Tag der Verteidigung: 12. Juni 2009
Technische Universität Ilmenau/Universitätsbibliothek
rlag Ilmenau vesUniversität65 Postfach 10 05 98684 Ilmenau erlag iversitaetsvwww.tu-ilmenau.de/un nd Auslieferung Herstellung uVannerdat OHG d onsenstein unVerlagshaus Mamp 31 Am Hawerk48155 Münster g.de awww.mv-verl e) ISBN 978-3-939473-60-2 (Druckausgab65 :de:gbv:ilm1-20090002urn:nbn yo: photocase.com | LiltTitelfo

Zusammenfassung

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DievorgelegteArbeitbehandeltdenEntwurfunddieRobustheitvon
dreiverschiedenenRegelstrategienf¨urlineareDierentialgleichungssys-
tememitmehrdimensionalenEin-undAusgangssignalen.Eswerden
folgendedreiReglerbetrachtet:R¨uckf¨uhrungendesAusgangssignals
unddessenAbleitungen,-trackingundFunnel-Regelung.F¨uralledrei
ReglerwerdenbestimmtestrukturelleVoraussetzungenandielinearen
Systemegestellt,aufdiederReglerangewendetwerdensoll.F¨urdie
zuerstvorgestellteAusgangs–Ableitungs–R¨uckf¨uhrungwirdvorausge-
setzt,dassderRelativgraddesSystemsbekanntist,dassdasSystem
minimalphasigist,unddassdiesogenannte”high-frequencygain“Ma-
trixpositivdenitist.F¨ur-trackingundFunnel-Regelungfordertman
dieselbenVoraussetzungundzusa¨tzlich,dassderRelativgradnichtnur
bekannt,sonderngleicheinsist.
EinerEinleitungfolgend,werdenimzweitenKapitelderArbeitdie-
sestrukturellenEigenschaftenlinearerSystemeanalysiert.F¨urSysteme
mitmehrdimensionalenEin-undAusga¨ngenwirddersogenannteVek-
torrelativgradvorgestelltundf¨urdenFall,dassdiesernichtstriktist,
eineNormalformhergeleitet,diegleichestrukturelleEigenschaftenbe-
sitzt,wiediebekannteByrnes–Isidori–Normalformf¨urSystememitein-
dimensionalenEin-undAusga¨ngenoderSystemenmitmehrdimensio-
nalenEin-undAusga¨ngenundstriktemRelativgrad.
DieseNormalformistessentiellf¨urdieKonstruktioneinesReglers
mitAusgangs–Ableitungs–R¨uckf¨uhrungf¨urSystememitmehrdimen-
sionalenEin-undAusga¨ngenundnichtstriktemRelativgradimdritten
.eltpiKaIndenKapitelvierundf¨unfwerdenbekannteResultatef¨ur-tracking
undFunnel-Regelungverallgemeinertundneubewiesen,umsodieRo-
bustheitsanalysef¨urbeideReglerindenzweiabschließendenKapiteln
derArbeitzuermo¨glichen.
ErgebnissezurrobustenStabilita¨t,dieindieserArbeitvorgestellt
werden,basierenaufderVerwendungdersogenanntenGap-Metrik:sa-
loppgesprochen,bauendieseRobustheitsresultateaufdasMessenvon
Absta¨ndenzwischenSystemenoderReglernauf.Genauergesagt,wird
dieGap-MetrikindervorliegendenArbeitbenutzt,umAbsta¨ndezwi-
schendenGraphenvonOperatoren,dieeinSystembeschreiben–das

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sindMengenvonTrajektorenauszuvorgewa¨hltenSignalra¨umen,die
”Lo¨sung“einesSystemsodereinesReglersind–zumessen.DieseGra-
phensindUnterra¨umederSignalra¨ume.
RobusteStabilita¨tbeschreibtimAllgemeinendannfolgendesPrin-
zip:fallseingeschlossenerKreisauseinemlinearenSystemundeinem
ReglerstabilistundderAbstand(dieGap-Metrik)zwischendemim
geschlossenenKreisbetrachtetenSystemundeinemanderenneuen“
”Systemhinreichendkleinist(undeinigeweiteretechnischeVorausset-
zungenf¨urdengeschlossenenKreiserf¨ulltsind),soistdergeschlossene
Kreisausdemneuen“SystemunddemReglerwiederstabil.Dieglei-
”cheAussagestimmtauchf¨urdenFall,dassmandenReglerundnicht
dasSystemaustauscht.
IndervorliegendenArbeitwirdRobustheitf¨urdiedreiobengenann-
tenReglerinihrerAnwendungauf(lineare)Systemeuntersucht.
F¨urdieAusgangs–Ableitungs–R¨uckf¨uhrungwirdgezeigt,dass,falls
dieseeinSystemstabilisiert,dieauftretendenAbleitungendesAusgangs
durchEuler-ApproximationenderAbleitungenersetztwerdenko¨nnen,
insoferndiesehinreichendgenausind.IndiesemFallwirdalsoeinneu-
”er“RegleraufdasselbeSystemangewandt.DasErgebniszurrobusten
Stabilisierunggiltsogarf¨urnichtlineareSystemeundwirdaufdenim
drittenKapitelf¨urlineareSystememitstriktemRelativgradvorgestell-
tenkonkretenReglerangewendet.
BeidenUntersuchungenzu-trackingundFunnel-Regelungbleibt
derReglerjeweilsunvera¨ndert.HierwerdendielinearenSysteme,auf
diederReglerangewendetwird,ersetzt.Eswirdgezeigt,dassbeide
Reglerauchf¨urdieStabilisierunglinearerSystemeverwendetwerden
ko¨nnen,dienichtdiesonstgefordertenVoraussetzungenerf¨ullen.Hier
istdannallerdingsgefordert,dasseinsolchesSystemeinengeringen
AbstandzueinemSystemhat,dassdienotwendigenVoraussetzungen
ausKapitelvierundf¨unferf¨ullt.

Abstract

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Thepresentthesisconsidersthedesignandrobustnessanalysisofthree
dierentcontrolstrategiesforlinearsystemsofdierentialequations
withmultidimensionalinputandoutputsignals.Thesethreecontrol
strategiesarethefollowing:high-gainoutputderivativefeedbackcon-
trol,-trackingandfunnelcontrol.Everycontrolstrategyrequirescer-
tainstructuralpropertiesoflinearsystemswhichitwillappliedto.For
high-gainoutputderivativefeedbackcontrolitisrequiredthatthesys-
tem’srelativedegreeisknown,thatthesystemisminimumphaseand
hasapositiveso-called“high-frequencygain”matrix.Thesameprop-
ertiesandadditionally,thattherelativedegreeisnotonlyknownbut
equaltoone,arerequiredfor-trackingandfunnelcontrol.
Followingashortintroduction,structuralpropertiesoflinearsystems
areconsideredindetail.Forsystemswithmultidimensionalinputsand
outputsadenitionandcharacterizationfortheso-called(vector)rel-
ativedegreeispresented.Forsystemswithnon-strictrelativedegreea
normalformisdeveloped.Thisnormalformhasthesamestructural
propertiesasthewell-knownByrnes–Isidorinormalformforsystems
withone-dimensionalinputsandoutputsorsystemswithmultidimen-
sionalinputandoutputsandstrictrelativedegree.
Thisnormalformforlinearsystemswithnon-strictrelativedegree
iscrucialforthedesignofthehigh-gainoutputderivativefeedback
controller.Itisimportanttonotethatthiscontrollerstabilizesany
systemwhich(vector)relativedegreeisknown,providedthesystemis
minimumphaseandthehigh-frequencygainmatrixispositivedenite.
Inchaptersfourandve,respectively,knownresultsfor-tracking
andfunnelcontrolaregeneralizedwithregardtotheanalysisofrobust-
nessforbothcontrolstrategiesintheconcludingchaptersofthethesis.
Itisshownthatthe-trackerandfunnelcontrollermaybeappliedto
anysystemfromtheclassofminimumphaselinearsystemswithstrict
relativedegreeoneandpositivedenitehigh-frequencygainmatrixto
achievecertaincontrolobjectives.Robustnessthenmeansthatonemay
applythecontrollerstosystemswhichareclose(insomesense)toany
systemfromtheaboveclassbutnotinthisclassofsystems.
Theresultonrobustnessandrobuststabilityconsideredinthisthesis
arebasedontheapplicationoftheso-calledgapmetric:looselyspeak-

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ing,allrobustnessresultsrelyonthemeasuringofdistancesofsystems
orcontrollers.Moreprecisely,thegapmetricisusedtodeterminethe
distancesbetweenthegraphsofoperatorsrepresentingasystemora
controller,i.e.thesetofalltrajectoriesfromprespeciedsignalspaces
whichare“solutions”forthesystemorthecontroller.Thisgraphsare
subsetsoftheconsideredsignalspaces.
Inviewofthisgapmetric,arobustnessresultwillbeconsideredas
follows:ifaclosed-loopsystemrepresentedbytheapplicationofacon-
trollertoalinearsystemisstable(insomesense),andthedistance
(i.e.thegapmetric)betweenthesystemconsideredintheclosed-loop
andadierent“new”systemissucientlysmall(providedsomemore
technicalrequirmentsholdtruefortheclosed-loopsystem),thenthe
closed-loopsystemrepresentedbytheapplicationofthecontrollerto
the“new”systemisagainstable.Thisconclusionholdsalsotruewhen
changingtherolesofsystemandcontroller,i.e.applyinga“new”con-
troller,whichis“close”(intermsofthegapmetric)totheoriginal
controller,tothesamesystem.
Inthepresentthesis,robustnessresultsarepresentedforallthree
previouslyintroducedcontrolstrategieswhenappliedtolinearsystems.
Forhigh-gainoutputderivativefeedbackcontrolitisshownthatthe
designedcontrollerstillstabilizesthesystemwhenthederivativesofthe
outputarereplacedbyEulerapproximationsofthederivativesprovided
theapproximationissucientlyprecise,i.e.ifthestepsizeissuciently
smallthegapbetweenthederivativefeedbackandthefeedbackwith
approximationsofthederivatives(delayfeedback)issucientlysmall.
Inthiscasea“new”controllerisappliedtothesamesystem.The
generalrobustnessresultsholdsalsotruefornonlinearsystemsanditis
appliedtotheconcretecontrollerforlinearsystemswithstrictrelative
degree,presentedinchapterthree.
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