Hydrologie s tatistique 2007-2008 M. A babouIdris AbdouYohan AlloucheRenaud ChampredondeHYDROLO GIE STA TISTIQUE ENSEEIHT -- Hydraulique et Mécanique des Fl uides3Hy SE , Mastère Hy (2007-08)Contrôle d' Hydrologie Statistique 1/27Hydrologie s tatistique 2007-2008 M. A babouTable des m atières :Exo 1. Exercice de reconstitution de données par régression linéaire (pluies mensuelles à Mens et Roissard, bassin du Drac, Alpes) .................................................3TD 1 : Hydrologie statistique – analyse univariee – gumbel & poisson : Crues annuelle & crues extrêmes de la Garonne à Toulouse. ...................................................10Extension du TD ..............................................................13TD2 : Exercice 2 : A.C.P. (Analyse en Composantes Principales) ....................................................................................16TD3 - Bureau d’Etudes « Hyd.Stat.», Jan .2007. Analyse statistique de données de pluies & de débits.................222 /27Hydrologie s tatistique 2007-2008 M. A babouExo 1. Exercice de reconstitution de données par régression lin éaire (pluies m ensuelles à Mens et Roissard, bassin du Drac, Alpes)Reconstitution des pluies mensuelles de Mens à partir de celles de Roissard: ● Ma rs 1946: vérifier et compléter la réponse du polycopié, si possible en refaisant vous-mê me le calcul de reconstitution, et donner aussi l'intervalle de confiance à 90% (à partir d'une table de ...
Hydrologie s tatistique 2007-2008 M. A babou
Idris Abdou
Yohan Allouche
Renaud Champredonde
HYDROLO GIE STA TISTIQUE
ENSEEIHT -- Hydraulique et
Mécanique des Fl uides
3Hy SE , Mastère Hy (2007-08)
Contrôle d' Hydrologie Statistique
1/27Hydrologie s tatistique 2007-2008 M. A babou
Table des m atières :
Exo 1. Exercice de reconstitution de données par régression
linéaire (pluies mensuelles à Mens et Roissard, bassin du
Drac, Alpes) .................................................3
TD 1 : Hydrologie statistique – analyse univariee – gumbel &
poisson : Crues annuelle & crues extrêmes de la Garonne à
Toulouse. ...................................................10
Extension du TD ..............................................................13
TD2 : Exercice 2 : A.C.P. (Analyse en Composantes
Principales) ....................................................................................16
TD3 - Bureau d’Etudes « Hyd.Stat.», Jan .2007. Analyse
statistique de données de pluies & de débits.................22
2 /27Hydrologie s tatistique 2007-2008 M. A babou
Exo 1. Exercice de reconstitution de données par
régression lin éaire (pluies m ensuelles à Mens et
Roissard, bassin du Drac, Alpes)
Reconstitution des pluies mensuelles de Mens à partir de celles de
Roissard:
● Ma rs 1946: vérifier et compléter la réponse du polycopié, si possible en refaisant
vous-mê me le calcul de reconstitution, et donner aussi l'intervalle de confiance à
90% (à partir d'une table de la F de répartition de Gauss);
● Ma rs 1940: procéder de même.. obtenir (i) la pluie reconstituée, et (ii) l'intervalle
de confiance à 90
Pluies mensuelles observées sur deux stations de jaugeages dans les Alpes.
Le tableau de pluies mensuelles fourni sur ces deux stations alpines comportent des
données manquantes en mars 1946 et 1940 à la station de Me ns.
Illustration 1: H istogramme de M ens e t R oissard e n f onction du t emps
a) Si on avait pas la deuxième station on aurait corréler Y(t ) de mens avec le temps
b) Ici comme on a une deuxième station (Roissard) on profite pour faire une estimation
aléatoire.
Me ns étant conditionné par R oissard on calque en terme de pluviométrie l’évolution de la
station de Me ns sur celle de R oissard. Ainsi on estime que quand la pluviométrie est
importante sur R oissard, elle l’est aussi sur Me ns et vice versa. Ce qui nous donne de
tendance.
3/27Hydrologie s tatistique 2007-2008 M. A babou
Illustration 2: T endance de s pl uviométries de M ens e t R oissard
a) Analyse des données par ext rapolation graphi que
H istogramme de M ens e t Roi ssard e n fonc tion du t emps :
Histogramme données Roissard
200
15 0
100
5 0
0
Années
4/27
8192
1929
1930
1931
1932
1933
1934
1935
1936
1937
1938
1939
1941
1942
1943
1944
1945
1947
1976
Pluviométrie en mmHydrologie s tatistique 2007-2008 M. A babou
Histogramme données Mens
Histogramme données Mens - Roissard
160
140
120
100
80200
60
180 40
20160
0
140
120
S érie1
100 Années
S érie2
80
60
40
20
0
Années
Regression linéaire de Mens / Roissard
y = 0,7367x + 3,2264
16
2
R = 0,586114
12
10
S érie1
8
Linéaire (S érie1)6
4
2
0
0 5 10 15
Racine (pluvio Mens)
a) S i on a vait pa s la de uxième station on a urait c orréler Y (t ) de m ens a vec le temps
b) Ic i c omme on a une de uxième station (Roi ssard) on profi te pour fa ire une e stimation
aléatoire
M ens é tant c onditionnée pa r Roi ssard on c alque e n t erme de pl uviométrie l’é volution de la
station de M ens sur c elle de Roi ssard. A insi on e stime que qua nd l a pl uviométrie e st importante
sur Roi ssard, e lle l’e st a ussi sur M ens e t vi ce ve rsa. Ce qui nous donne de tendance.
5/27
1928
1929
1930
1931
1928 1932
19331929
19341930
1935
1931
1936
1932
1937
1933
1938
1934 1939
19411935
1942
1936
1943
1937
1944
1938
1945
1939 1947
1940 1976
1941
1942
1943
1944
1945
1946
1947
1976
Pluviométrie en mm
Racine (pluvio Roissard)
Pluviométrie en mms
s
s
s
r
r
s
s
s
Hydrologie s tatistique 2007-2008 M. A babou
b) R ésolution anal ytique :
L e travail c onsiste à la re constitution de s donné es de pl uies à M ens à pa rtir de c elle de Roi ssard à la
même pé riode de l’a nnée.
D ’a bord on a nnule les de ux poi nts m anquants e t on a pplique l’a nalyse sur l es poi nts c onnus.
Com me on c onnaît les donné es sur l a station N °2 a lors on fa it la ré gression l inéaire de X1/X2.
S oit Y = X1= √ (P1) : va riable à e xpliquer (M ens)
X = X2= √ (P2) : va riable e xplicative (Roi ssard)
On t race le tableau de s pl uviométries donné
Y =√(P1)
Y = a X +b = 0.974*X – 0.800
a = * ( 1 / 2)
b = E(Y ) – E(a X) = my – a *m x
e
X = sqrt(P2)
P1(m m)= [0.974 s qrt(P2) – 0.800] ²
A .N P our P _Roissard = 60 mm on a P_M ens = 45,49 mm
P _Roissard = 50 mm on a P_M ens = 37,05 m m
M éthode
On pre nds l’a pproximation G aussienne la m eilleure
M oments de M ens X = √ P1 : m1 = 6.7 e n √ m m e t 1 = 2.9 en √ m m M oments de
Roi ssard Y = √ P2 : m2 = 7.7 e n √ m m e t 2 = 2.8 en √ m m a = * ( 1 / 2) =
0.974 e t b = E(Y ) – E(a X) = my – a *m x = -0.8 √ m m
L a droi te de ré gression i ntroduit une e rreur ( di te d’e stimation)
Par dé finition ^ Y = a X + b e st la m oyenne c onditionnée sachant que ^ Y = E (Y/X) : théorème
de Ba yes e t c ’e st le m eilleur e stimateur ( M in e ²) si X, Y Gaussien.
6/27r
£
r
£
s
Þ
s
‡
s
s
r
s
e
s
s
s
e
s
s
£
r
s
Hydrologie s tatistique 2007-2008 M. A babou
E rreur e = Y - ^Y e st une V.A
e = √ (1 - ) * y
_x; y = 0.94 ( M ens – Roi ssard )
rms = e / y = √ (1 - ²)
A.N rms = 0.34 Root m eans square e rror
E rreur re lative à la norm alisation
Intervalle d e confiance h achurée à I90% d irectement l ié à e :
L ’obj ectif e st de c aractériser une intervalle de c onfiance a utour de la m oyenne telle que la va riable
aléatoire a it une proba bilité P = 90% d’a ppartenir à c ette intervalle à pa rtir d’une table de la la
fonction de ré partition F (u) d’une va riable ga ussienne c entrée ré duite [N (0,1)]
Table de la FdR de Gauss
F(0) F(0.25) F(0.52) F(0.84) F(1.28) F(1.64) F(2.32) F(2.57)
0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95 0.99 0.995
L ’i ntervalle à 90% de Probabilité (I90 %) est :
Proba ( U 1.64) = 0.95
Proba ( U -1.64) = 0.05 pa r s ymétrie de la loi
D onc
Proba (-1.68 U 1.64 ) I90 % = [-1.68 ; +1.68 ] pour l a va leur a léatoire c entrée ré duite
N(0,1)
Or X = mx + x*U
U = 1.64 pour I90 % = ^ Y +U * e
On obt ient donc la va riable a léatoire X ga ussienne N[mx, x^2]
L ’obj ectif e st de gé nérer un de s poi nts ( étoiles bl eues) qui a ppartienne à l’i ntervalle I90% qu’on va
corréler pa r e pui s re constituer Y n :
Yn_ r econstitué = a X n +b + (e * G)
G e st une ré plique d’ une V.A N [0,1]
N[0,1] : Générateur d’une V.A ga ussienne ré duite
Ce tte m éthode e st intéressante c ar x e t interviennent al ors q ue la p remière mé thode (dite d e
glissement) introduit b eaucoup d ’e rreur (notamment d ans le calcul d e var iance).
7/27Hydrologie s tatistique 2007-2008 M. A babou
Y =√ (P1)
e
X = √ (P2)
8/27Hydrologie s tatistique 2007-2008 M. A babou
Figure 1 . Tableau p luies me nsuelles d e mar s avril à M ens & R oissard (BV d u Drac, Alpes)
Pluies Mens uelles en 2 s tations d' un B assin V ersant du D rac ( de 1928 à 1947, et en 1976)
S1 Mens S2 R oissard
Années Mars Avril Mars Avril
1928 61 84 44 132
1929 7 65 3 79
1930 109 53 135 115
1931 90 40 116 57
1932 59 67 101 89
1933 33 21 83 44
1934 74 135 88 130
1935 41 18 91 131
1936 56 132 64 132
1937 143 56 188 78
1938 3 19 3 7
1939 53 91 86 92
1940 37.05 x 50 112
1941 45 83 55 117
1942 19 23 40 42
1943 8 25 12 35
1944 19 30 20 30
1945 19 17 18 18
1946 45.49 x 60 44
1947 103 35 134 31
1976 57 60 62 65
9/27a
b
b
b
b
a
b
b
a
a
s
b
b
a
a
Hydrologie s tatistique 2007-2008 M. A babou
HYDROLOGIE STATISTIQUE – TD1:
ANALYSE UNIVARIEE – GUMBEL & POISSON :
CRUES ANNUELLE & CRUES EXTREMES DE LA GARONNE A TOULOUSE
1.Quelle est la variable hydrologique étudiée (expliquez le terme
crue)?
La variable hydrologique étudiée est la hauteur d'eau. En utilisant la courbe de tarrage on
peut obtenir facilement les débits.
2. Utilisez l a F dR pr oposée pour obt enir l a cr ue annuel le cent ennale
(expliquez). Question subsidiaire: est-ce une loi de Gumbel ?
(paramètres=?)
Pour c ela il c onvient a u pré alable de dé terminer s ’i l s’a git d’une loi de Gumbel e t s’i l
en e st le c as, d’i dentifier l es pa ramètres [ , ] qui c aractérisent la loi de Gumbel.
a) La r eprésentation gr aphique laisse (à pri ori) à pe nser qu’i l pourra it s’a gir d’une loi
de Gumbel. En e ffet nous a vons là :
une re présentation à l’e nvers du gra phe de la FdR: H =f [ F dR (H) ]
O n l it sur l ’a xe de s ordonné es la ha uteur e t sur l ’a xe de s a bscisses la FdR(H ).
On c onstate é galement que c es de ux a xes ont subi une transformation qui re ste à
déterminer.
b) Pour c onfirmer qu’i l s’a git bi en d’une loi de Gumbel nous propos ons la m éthode qui
consiste à tester 3 poi nts a ppartenant à la séquence de s ha uteurs tracés. Si ces trois
points sont a lignés pa r s uite de la transformation a lors nous pourrons a ffirmer qu’i l
s’a git d’une loi de Gumbel.
Au pré alable il c onvient de c aractériser l a transformation e ffectuée sur l es a xes.
En fa isant l’hypot hèse que la sus transformation e st une re lation a ffine
(type y= a x +b) lorsque F(H ) est une loi de Gumbel
ère
1 Etape : Détermination d es p aramètres [ , ]
Re marque [ , ] sont e n m ètre c ar l a ha uteur H e st e n m