1S2-cours-suites

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SuitesnumériquesExempleintroductif:Onconsidèrelesnombresentiersimpairssucecssifs:1,3,5,7,9,11....eCommentnommerle22 nombreimpairdecetteliste?lecentième?Définitionnaïve:Unesuitenumériqueestunesuite,illimitéedenombres.Exemples:• 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6¢¢¢ (suitedesentiersnaturels)• 0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14¢¢¢ (suitedesentierspairs)• 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256¢¢¢ (suitedespuissancesde2)• 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144(suitedeFibonacci)I SuitesnumériquesI.1 GénéralitésConsidéronsparexemplelasuitedesnombres0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14¢¢¢.Ilfautpouvoirdonnerunnomàchacundestermesdecettesuite.Ondonneunnomgénéralàlasuite,parexempleu etchaquetermeestrepéréparu(0),u(1),u(2),....Définition:Une suite numérique u est une fonction numérique, définie surN ou sur une partie deN et àvaleursdansR.N→Ru: .n7!u(n)Notation: Letermegénéralu(n)senoteu .nL’ensembledestermesdelasuitesenote(u ) .n n∈NAttentionAttentionànepasconfondrelesdeuxnotations:• u estletermederangn.n• (u ) estl’ensembledestermesdelasuite.n n∈NExemples:n1. Soit(u )lasuitedéfinieparu =2 −1pourtoutnn n1p2. Soit u lasuitedéfinieparu = n−4pourtoutnÊ4.( )n nNousallonsvoirqu’ilyadeuxfaçonsdedéfinirunesuite:I.2 DéfinitionexpliciteUnesuiteestdéfiniedefaçonexplicitelorsqueletermegénéralu estexpriméenfonctionden.nExemples:21. Soitlasuite(u )définiepar:u =n +5n+3.n n p22. Soitlasuite u définiepar:u = n +5.( )n ne3. Soitlasuite(u )définiepar:u estlan décimaledeπ.n nMême si l’on ne connaît pas encore ...

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• Publié par: Pheav
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• Langue: Latin

Extrait

Suites numériques

Exemple introductif : On considère les nombres entiers impairs sucecssifs : 1, 3, 5, 7, 9, 11 . . .. e Comment nommer le 22 nombre impair de cette liste ? le centième ?

Définition naïve: Une suite numérique est une suite, illimitée de nombres.

Exemples : •0 ; 1 ; 2 ; 5 ; 63 ; 4 ; ∙ ∙ ∙(suite des entiers naturels) •1412 ; 8 ; 10 ; 4 ; 6 ; 0 ; 2 ; ∙ ∙ ∙(suite des entiers pairs) •8 ; 4 ; 1 ; 2 ; 25616 ; 32 ; 64 ; 128 ; ∙ ∙ ∙(suite des puissances de 2) •144 (suite de Fibonacci)34 ; 21 ; 89 ; 55 ; 5 ; 3 ; 13 ; 8 ; 1 ; 1 ; 2 ;

I

I.1

Suites numériques

Généralités

Considérons par exemple la suite des nombres 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14∙ ∙ ∙. Il faut pouvoir donner un nom à chacun des termes de cette suite. On donne un nom général à la suite, par exempleuet chaque terme est repéré paru(0),u(1),u(2), . . ..

Définition : Une suite numériqueuest une fonction numérique, définie surNou sur une partie deNet à valeurs dansR. N→R u: . n7→u(n) Notation :Le terme généralu(n) se noteu n . L’ensemble des termes de la suite se note (u) . n n ∈N

Attention Attention à ne pas confondre les deux notations : •u n est le terme de rangn. • ( u n ) n∈N est l’ensemble des termes de la suite. Exemples :

n 1. Soit ( u n ) la suite définie paru n =2−1 pour toutn

1

2. Soit ( u n ) la suite définie paru n =

I.2

n−4 pour toutnÊ4.

Nous allons voir qu’il y a deux façons de définir une suite :

Définition explicite

Une suite est définie de façon explicite lorsque le terme généralu n est exprimé en fonction den.

Exemples : 2 1. Soit la suite (u n ) définie par :u n =n+5n+3. p 2 2. Soit la suite (u n ) définie par :u n =n+5. e 3. Soit la suite (u n ) définie par :u n est landécimale deπ. Même si l’on ne connaît pas encore toutes les décimales deπ, cette suite est explicite, car les décimales deπsont bien définies. Quandunesuiteestdéfiniedefa¸onexplicite,onpeutcalculerdirectementletermeden’importequel rang.

I.3

Définition par récurrence :

Une suite (u n ) est définie par récurrence lorsque chaque terme est défini en fonction du terme précédent ou des termes précédents, et par la donnée du ou des premiers termes. Exemples :

 u 0 =1 1 •Soit (u n ) définie par : u n+1 =pour toutn 1+u n •suite de Fibonacci : ½ u 0 =u 1 =1 . u n+2 =u n +u n+1  u 0 =2 • 2 u n+1 = 3+u n Calculer les trois premiers termes. Estil facile de calculer le termeu 25 ?u 100 ? Le problème des suites définies par récurrence est que pour calculer le terme de rangp, il faut connaître tous les termes précédents ! Pour certaines suites définies par récurrence, on essaye de se ramener à une définition explicite, mais ce n’est pas toujours facile ou possible ! ½ u 0 =6 Exemple :. u n+1 =2u n −5 n Soit (v n ) définie par :v n =5+2 . En calculant les premiers termes de chacune de ces deux suites, on constate que l’on trouve les mêmes

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termes. Peuton en déduire que tous les termes coïncident ? Bien évidemment, non ! Ce qui se passe sur quelques termes ne permet pas de généraliser.

II

II.1

Représentation graphique des termes d’une suite

Suite définie de façon explicite

On au n =f(n) oùfest une fonction. On représente les points de coordonnées (n;f(n)).

II.2

Suites définies par récurrence

Soit une suite définie paru 0 et la relationu n+1 =f(u n ), oùfest une fonction. ³ ´ −→−→ •On trace un repèreO;i;j, puis la droite D , d’équationy=x(première bissectrice). •On trace la représentation graphique de la fonctionfdans le même repère. •On placeu 0 sur l’axe des abscisses et le pointM 0 (u 0 ; 0) sur l’axe des abscisses. •On veut représenteru 1 ; par définition,u 1 =f(u 0 ). On trace en pointillés le segment parallèle à l’axe des ordonnées, joignantM 0 au point de la courbr C f de même abscisse, puis en pointillés le segment joignant ce point au point de même ordonnée de la droite D . Ces deux points ont pour ordonnéeu 1 . Comme D a pour équationy=x, ce dernier point a pour abscisseu 1 , que l’on place sur l’axe des abscisses et on noteM 1 le point de coordonnées (M 1 ; 0). •On recommence la construction précédente avecu 1 , puisu 2 , etc. Exemple : 1 Soit la suite (u n ) définie paru 0 =etu n+1 =2u n −1. 2

~ j u 0 u 1 u 2 u 3 u 4 0 ~ i 2 Autre exemple(à faire sur papier quadrillé) :u 0 =3 etu n+1 = 1+u n

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III

~ j

0

u 1 ~ i

u 3 u 4 u 2

Variations et bornes

u 0

Définitions Soit (u n ) n∈N une suite. •Suite croissante : ( u n ) est croissante si, pour toutn,u n+1 Êu n . •Suite décroissante : ( u n ) est décroissante si, pour toutn,u n+1 Éu n . •Suite constante : ( u n ) est constante si, pour toutn,u n+1 =u n . •Suite monotone : ( u n ) est monotone si elle est croissante ou décroissante. Elle est strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante. •Suite majorée : ( u n ) est majorée parMs’il existe un réelM, tel que, pour toutn,u n ÉM. Mest alors un majorant de la suite. Il n’est pas unique, puisque tout nombre supérieur à un majorant est aussi un majorant. •Suite minorée : ( u n ) est minorée parms’il existe un réelm, tel que, pour toutn,u n Êm. mest alors un minorant de la suite. Il n’est pas unique, puisque tout nombre inférieur à un minorant est aussi un minorant. •Suite bornée : ( u n ) est bornée si elle est minorée et majorée Exemples : 1 1. Soitu n la suite définie par :u n =1−. Pour toutn,u n <1 donc la suite (u n ) est majorée par 1. n+1 De même,u n >0 donc (u n ) est minorée par 0. µ ¶ µ ¶ 1 1 1 1 1 Pour toutn,u n+1 −u n =1− =1− = − = >0. n+2n+1n+1n+2 (n+1)(n+2) Pour toutn,u n+1 Êu n , donc la suite (u n ) est croissante. 1 1 ′ Autre méthode :u n =f(n) avecf(x)=1−(x∈R). SurR,fest dérivable etf(x)= >0. 2 x+1 (x+1) La fonctionfest strictement croissante sur [0 ;+∞[. Pour toutn∈N, on a doncf(n+1)Êf(n), c’estàdireu n+1 Êu n , donc la suite est croissante. ½ u 0 = −5 2. Soit ( u n ) la suite définie par : . u n+1 =u n +n Pour toutn∈N,u n+1 −u n =nÊ0 donc (u n ) est croissante. Nous allons maintenant étudier deux types de suites particulières, que l’on rencontre souvent.

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IV

IV.1

Suites arithmétiques

Définition

Définition Une suite (u n ) est arithmétique s’il existe un réelrtel que, pour toutn,u n+1 =u n +r. Par conséquent :u n+1 −u n =r; la différence entre deux termes consécutifs est constante. rest appeléraisonde la suite. Exemples : •la suite des entiers naturels •la suite des entiers pairs (ou impairs) •la hauteur dont on s’élève en grimpant un escalier Remarque :le terme « arithmétique » vient de ce que chaque terme est la moyenne arithmétique du u n−1 +u n+1 terme qui le précède et de celui qui le suit :u n =. 2

IV.2

Écriture explicite des termes

Théorème Soit (u n ) une suite arithmétique de premier termeu 0 et de raisonr. Pour toutn∈N, on :u n =u 0 +nr. Plus généralement : pour toutp,u n =u p +(n−p)r

Démonstration(pas très rigoureuse, tant que l’on n’a pas vu les démonstrations par récurrence) On a successivement : u 1 =u 0 +r u 2 =u 1 +r= ( u 0 +r ) +r=u 0 +2r u 3 =u 2 +r= ( u 0 +2r ) +r=u 0 +3r . . . u n−1 =u 0 +(n−1)r u n =u n−1 +r= ( u 0 +(n−1)r ) +r=u 0 +nr

Sinon,u n =u 0 +nretu p =u 0 +pr; par soustraction, on a :u n −u p =(n−p)rdoncu n =u p +(n−p)r.

IV.3

Variations

Théorème : Soit (u n ) un suite arithmétique de raisonr. •Sir=0, la suite (u n ) est constante. •Sir>0, la suite (u n ) est croissante. •Sir<0, la suite (u n ) est décroissante. Démonstration : u n+1 −u n =rd’où le résultat.

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IV.4

Somme des premiers entiers naturels

Théorème Pour toutn∈N, notonss n la sommes n =1+2+3+ ∙ ∙ ∙ +n. n(n+1) On a :s n =. 2 Démonstration : On écrits n à l’endroit puis à l’envers et on ajoute terme à terme. s n =1+2+3+ ∙ ∙ ∙ +(n−1)+n s n =n+(n−1)+(n−2)+ ∙ ∙ ∙ +2+1. En additionnant, on trouve : 2s n =(n+1)+(n+1)+ ∙ ∙ ∙+(n+1)=n(n+1) (car il y antermes égaux àn+1 ). n(n+1) Par conséquent :s n =. 2

IV.5

Sommes des termes consécutifs d’une suite arithmétique

Théorème : n X Soit (u n ) une suite arithmétique de raisonret soitS n =u 0 +u 1 +u 2 + ∙ ∙ ∙ +u n =u i . i=1 n(n+1)u 0 +u n Alors :S n =(n+1)u 0 +retS n =(n+de termes multiplié par la demi1) (nombre 2 2 sommes des termes extrêmes). µ ¶ u p +u n u p +u p+1 + ∙ ∙ ∙ +u n =(n−p+1) (nombre de termes multiplié par la demisommes des 2 termes extrêmes). Démonstration : S n =u 0 +u 1 +u 2 + ∙ ∙ ∙ +u n−1 +u n =u 0 + ( u 0 +r ) + ( u 0 +2r ) = ∙ ∙ ∙ + ( u 0 +(n−1)r ) + ( u 0 +nr ) n(n+1) = ( u 0 +u 0 + ∙ ∙ ∙u 0 ) +(1+2+ ∙ ∙ ∙ +n)r=(n+1)u 0 +r 2 Autre formule : On écrit là encoreS n de deux façons différentes (à l’endroit puis à l’envers). S n =u 0 + ( u 0 +r ) + ( u 0 +2r ) + ∙ ∙ ∙ + ( u n−1 +(n−1)r ) + ( u 0 +nr). S n =u n + ( u n −r ) + ( u n −2r ) + ∙ ∙ ∙ + ( u n −(n−1)r ) + ( u n −nr). On ajoute terme à terme : 2S n = ( u 0 +u n ) + ∙ ∙ ∙ + ( u 0 +u n ) =(n+1) (u 0 +u n ) (car il y an+1 termes dans la sommeS n ). u 0 +u n D’où :S n =(n+1) 2 µ ¶ u p +u n La formuleu p +u p+1 + ∙ ∙ ∙ +u n =(n−p+démontre de la même façon ; le nombre de1) se 2 termes estn−p+1.

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V

V.1

Suites géométriques

Définition

Définition Une suite (u n ) est géométrique s’il existe un réelqtel que, pour toutn,u n+1 =q u n . qest appeléraisonde la suite.

Exemples : 0 1n •la suite des puissances de 2 : 2 , 2 ,∙ ∙ ∙, 2∙ ∙ ∙est une suite géométrique de raisonq=2 •la population d’une ville augmente chaque année de 1,5 % ; elle est donc multipliée chaque année par µ ¶ 1, 5 le nombre (coefficient multiplicateur) 1+ =on obtient une suite géométrique de raison1, 015. 100 q=1, 015 Remarque :le terme « géométique » vient de ce que chaque terme est la moyenne géométrique du terme qui le précède et de celui qui le suit :u n =u n−1 ×u n+1 .

V.2

Écriture explicite des termes

Théorème Soit (u n ) une suite géométrique de premier termeu 0 et de raisonq. n Pour toutn∈N, on :u n =u 0 q. n−p Plus généralement : pour toutp,u n =u p q

Démonstration(pas très rigoureuse, tant que l’on n’a pas vu les démonstrations par récurrence) On a successivement : u 1 =q u 0 ¡ ¢ 2 u 2 =u 1 ×q=u 0 ×q×q=u 0 q ¡ ¢ 2 3 u 3 =u 2 ×q=u 0 ×q=u 0 ×q . . . n−1 u n−1 =u 0 ×q ¡ ¢ n−1n u n =u n−1 ×q=u 0 ×q×q=u 0 ×q

n p n−p n−p Sinon,u n =u 0 q=u 0 q×q=u p q.

V.3

Variations

Théorème : Soit (u n ) un suite géométrique de raisonq. •Siq=1, la suite (u n ) est constante. •Siq>1, la suite (u n ) est croissante siu 0 >0 et dé croissante siu 0 <0. •Si 0<q<1, la suite (u n ) est décroissante siu 0 >0 et croissante siu 0 <0. Démonstration : n n−1n−1 u n+1 −u n =u 0 q−u 0 q=u 0 q(q−1) qui est du signe deu 0 (q−1) d’où le résultat.

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V.4

Somme des premières puissances d’un nombreq

Théorème Soitqun nombre non nul. 2n Pour toutn∈N, notonss n la sommes n =1+q+q+ ∙ ∙ ∙ +q. •Siq=1,s n =n+1. n+1n+1 q−1 1−q •Siq6=1,s n = = q−1 1−q Démonstration :

p •Siq=1, c’est évident, puiqueq=1 pour toutp. •On écrits n une première fois puis de nouveau en la multipliant parqet on soustrait terme à terme. 2n−1n s n =1+q+q+ ∙ ∙ ∙ +q+q 2 3n n+1 q×s n =q+q+q+q+q. n+1 En soustayant, on trouve :q s n −s n =q−1 (car les autres termes s’annulent deux par deux). n+1n+1 q−1 1−q n+1 Par conséquent :s n (q−1)=q−1 d’oùs n =, que l’on peut aussi écrire . q−1 1−q

V.5

Sommes des termes consécutifs d’une suite géométrique

Théorème : n X Soit (u n ) une suite géométrique de raisonqet soitS n =u 0 +u 1 +u 2 + ∙ ∙ ∙ +u n =u i . i=1 n+1 1−q Alors :S n =u 0 1−q n−p+1 1−q u p +u p+1 + ∙ ∙ ∙ +u n =u p 1−q Démonstration : n+1 ¡ ¢ 1−q n2n S n =u 0 +u 1 +u 2 + ∙ ∙ ∙ +u n−1 +u n =u 0 +u 0 q+ ∙ ∙ ∙ +u 0 q=u 0 1+q+q+ ∙ ∙ ∙ +q=u 0 . 1−q n−p+1 ¡ ¢ 1−q n−p2n−p u p +u p+1 + ∙ ∙ ∙ +u n =u p +u p q+ ∙ ∙ ∙ +u p q=u p 1+q+q+ ∙ ∙ ∙ +q=u p . 1−q Exemples : 16 16 3−1 3−1 2 15 1. 1+3+3+ ∙ ∙ ∙ +3= = =21 523 360 3−1 2 20−11+1 10 5−1 5−1 11 12 20 11 11 2. 5+5+ ∙ ∙ ∙ +5=5=5=119 209 277 343 750 5−1 4

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