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Extrait

RESOLUTION NUMERIQUE – COURS 1

La résolution numérique d’une équation permet d’obtenir une valeur approchée des solutions lorsque :
La résolution algébrique est impossible
La résolution graphique n’a pas la précision souhaitée

Approche :
Soit la fonction f définie sur  par
3 2f x  9x  30x  41x 110 et sa courbe ci- 
contre.
-2On cherche une valeur arrondie à 10 près des
solutions x et x de l 'équation f x   0 . 2 3



-2Méthode : 1) Donner une valeur arrondie à 10 près de la solution x de l’équation f x  0 .  2
On cherche un encadrement de x tel que f x  0 2 2
Graphiquement, on déduit un premier encadrement : 1, 6  x  1, 82
On programme le tableur sur 1,6;1,8 avec un pas de 0,01 
encadrement à 0,01 près                Valeurs de x 1,66 1,67
 f 1, 66   f x   f 1, 67   1,66  x  1,672 2
Résultats de f -0,4 0,2 car f
croissante

On programme le tableur sur 1, 66 ; 1, 67 avec un pas de 0,001 
encadrement à 0,001près                  Valeurs de x 1,666 1,667
 f 1,666   f x  f 1, 667   1,666  x  1,667 2 2Résultats de f -0,04 0,02 car f
croissante
A partir d ' un encadrement à 0,001près, on a une valeur arrondie à 0,01 près : x  1, 672

-2Application : 2) Donner une valeur arrondie à 10 près de la solution x de l’équation f x  0 .  3
On cherche un encadrement de x tel que f x   03 3
Graphiquement, on déduit un premier encadrement : 3, 6  x  3, 83
On programme le tableur sur 3,6 ; 3,8 avec un pas de 0,01 
encadrement à 0,01 près                 Valeurs de x 3,66 3,67
 f 3,67  f x  f 3, 66  3, 66  x  3, 67     3 3Résultats de f 0,7 0, 3 car f
décroissante

On programme le tableur sur 3,66 ; 3, 67  avec un pas de 0,001
encadrement à 0,001près                 Valeurs de x 3,666 3, 667
 f 3, 667   f x   f 3,666   3,666  x  3,6673 3Résultats de f 0, 07 0,03 car f
décroissante
A partir d ' un encadrement à 0, 001près, on a une valeur arrondie à 0,01 près : x  3, 673RESOLUTION NUMERIQUE – COURS 2

Définition et propriétés de la continuité
 On dit qu’une fonction est continue lorsqu’il n’y a pas d’interruption de sa courbe.

 Les fonctions polynômes sont continues sur 
 Les fonctions rationnelles et racine carrée sont continues sur chaque intervalle de leur ensemble de
définition.

Méthode : 3) f est une fonction polynôme donc f continue
3 2 sur . 3) Soit f x  2x  x  3 . Donner l’intervalle  
sur lequel f est continue. D   ; 2  2;   donc g continue sur    g
4) 3x  1
 ; 2 et sur 2;     4) Soit g x   . Donner les intervalles sur 
2x  4
lesquels g est continue.


Introduction : Avant de résoudre numériquement une équation, on cherche un premier intervalle sur lequel on
est sûr que l’équation admet une solution et une seule. Les conditions du théorème de la valeur intermédiaire
nous permettent de trouver cet intervalle.

Théorème de la valeur intermédiaire appliquée à l’équation f x   C sur a ; b  
f continue sur a;b    f donne une seule fois le résultat C sur a;b et   et  Si f est strictement monotone sur a;b Alors :   
 l'équation f x   C admet une solution unique et    sur a;b  C est une valeur comprise entre f a  et f b 


Méthode : Application :
3 x  15) Soit f x   x  3x  1 et son tableau de var iation 6) Soit f x   et son tableau de var iation
2x  4
valeurs de x   1 1   valeurs de x   2 2  
signe de f ' x   0  0  signe de f ' x   0  0 
3   0    
var iations de f x     var iations de f x      1     0
Montrer que l’équation f x   0 admet une Montrer que l’équation f x  1 admet une solution  
solution unique sur 1 ; 2  unique sur  2 ; 1     
f polynô`me donc continue sur  D    2; 2 donc f continue sur -2;2 
 f strictement croissante sur 1;2  f strictement décroissante sur -2;-1  On sait que :  f 1   1 et f 2   3 donc 2  lim f x     et f  1   donc On sait que :  x  2 3f 1   0  f 2  x  2 D'après le th de la V.I, l'équation admet  lim f x   1  f  1 Donc :  x  2une solution unique sur 1;2   x  2 
D'après le th de la V.I, l'équation admet 
Donc :  une solution unique sur 1;2 