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Description

7Chapitre 8DCOMPOSITIONS SPECTRALESDans tout ce qui suit F est un espace localement convexe,σ une intØgrale de Radon sur un espace topologique sØparØ ΛetR †bH = Hdσ une dØcomposition d un sous-espace hilbertien dans F .‡ ·bRappelons le lemme 5.12 et le thØorŁme 5.13 : σ,H est une dØcomposition de H dans° ° ° °° ° ° °† 2b bF si, et seulement si, hϕ ∈L (σ) pour tout ϕ∈F et ϕ hϕ est une semi-norme de° ° ° °ƒ 2Mackey sur F .Version du 7 septembre 2004Claude Portenier ANALYSE FONCTIONNELLE 415−→É8.1 Les opØrateurs de multiplications8.1 Les opØrateurs de multiplications‡ ·2 bLEMME Soient α :Λ K une fonction σ-mesurable et ζ∈L σ,H .‡ ·∞ 2 b(i) Si α∈L (σ),onaα•ζ∈L σ,H . ‡ ·2 b(ii) Pour tout k∈N,ona1 •ζ , 1 •α•ζ∈L σ,H .{|α|6k} {|α|6k}‡ ·2 b(iii) On a ζ=lim 1 •ζ dansL σ,H .k {|α|6k} ‡ ·2 b(iv) Si kα•ζk <∞,alorsα•ζ∈L σ,H .2∞DØmonstration de (i) Si α∈L (σ),onaZ Z∗ ∗2 2 2 2 2 2kα•ζk = kα(λ)•ζ(λ)k dσ(λ)6kαk • kζ(λ)k dσ(λ)=kαk •kζk <∞ .2 λ ∞ λ ∞ 2fl flEDfl fl∞bD aprŁs la remarque 5.12.4, il existe une suite (ζ ) de h(F) L (σ) telle que ζ=lim ζfl fl kk kk∈N‡ ·2 bdansL σ,H ; mais comme2 2 2kα•ζ −α•ζk 6kαk •kζ −ζk 0 ,k k2 ∞ 2il vient ‡ ·2 bα•ζ=lim α•ζ ∈L σ,H ,k kfl ED flfl fl∞bpuisque α•ζ ∈ h(F) L (σ) .fl flk∞DØmonstration de (ii) C est immØdiat, puisque 1 , 1 •α∈L (σ) .{|α|6k} {|α|6k}SDØmonstration de (iii) On aΛ = {|α|6k} etk∈N° ° ° °2° ° ° °1 •ζ−ζ = 1 •ζ 6kζk ∈L (σ) .{|α|6k} {|α|>k} ƒƒ ƒPuisque 1 •kζk est σ-mesurable, on obtient{|α|>k} ƒ Z° °2 2° °lim 1 •ζ−ζ =lim 1 ...

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Extrait

Chapitre 8

DÉCOMPOSITIONS SPECTRALES

Dans tout ce qui suitFest un espace localement convexe, σune intégrale de Radon sur un espace topologique séparéΛ et H= R Hdσune décomposition dun sous-espace hilbertien dansF  . b

Rappelons le lemme 5.12 et le théorème 5.13 : ³ σ,H ´ b est une décomposition deHdans b b F  si, et seulement si, ° hϕ ° ¦ ∈L 2 (σ)pour toutϕ∈Fetϕ7−→ ° hϕ ° 2 est une semi-norme de Mackey surF.

Claude Portenier

Version du 7 septembre 2004

ANALYSE FONCTIONNELLE 415

8.1

Les opérateurs de multiplications

8.1 Les opérateurs de multiplications

LEMMESoientα:Λ−→Kune fonctionσ-mesurable etζ∈L 2 ³ σ,H ´ . b (i) Siα∈L ∞ (σ), on aα·ζ∈L 2 ³ σ,H ´ b . (ii) Pour toutk∈N, on a1 {|α|6k} ·ζ,1 {|α|6k} ·α·ζ∈L 2 ³ σ, b ´ H. (iii) On aζ= lim k 1 {|α|6k} ·ζdansL 2 ³ σ,H ´ b . (iv) Sikα·ζk 2 <∞, alorsα·ζ∈L 2 ³ σ,H b ´ .

Démonstration de (i)Siα∈L ∞ (σ), on a kα·ζk 2 2 = Z ∗ kα(λ)·ζ(λ)k 2 λ dσ(λ)6kαk 2 ∞ · Z ∗ kζ(λ)k λ 2 dσ(λ) =kαk 2 ∞ · kζk 2 2 <∞. Daprès la remarque 5.12.4, il existe une suite(ζ k ) k∈N de ¯ h b (F) E D L ∞ (σ) ¯ telle queζ= lim k ζ k dansL 2 b ´³ σ,H; mais comme kα·ζ k −α·ζk 2 2 6kαk 2 ∞ · kζ k −ζk 2 2 −→0, il vient = lim k α·ζ k ∈L 2 ³ H ´ b , α·ζ σ, b ED L ∞ (σ) ¯ . puisqueα·ζ k ∈ ¯ h(F) Démonstration de (ii)Cest immédiat, puisque1 {|α|6k} ,1 {|α|6k} ·α∈L ∞ (σ). Démonstration de (iii)On aΛ= S k∈N {|α|6k}et ° 1 {|α|6k} ·ζ−ζ ° = ° 1 {|α|>k} ·ζ ° ¦ 6kζk ¦ ∈L 2 (σ). ¦ Puisque1 {|α|>k} · kζk ¦ estσ-mesurable, on obtient lim k ° 1 {|α|6k} ·ζ−ζ ° 2 2 = lim k Z 1 {|α|>k} · kζk 2 ¦ dσ= 0 par le théorème de Lebesgue. Démonstration de (iv)Sikα·ζk 2 <∞, on obtient ° 1 {|α|6k} ·α·ζ−α·ζ ° ¦ = ° 1 {|α|>k} ·α·ζ ° ¦ 6kα·ζk ¦ ∈L 2 (σ),

416 DÉCOMPOSITIONS SPECTRALES Portenier Claude

Les opérateurs de multiplications

et puisque1 {|α|>k} · |α| · kζk ¦ estσ-mesurable, on en déduit lim k ° 1 {|α|6k} ·α·ζ−α·ζ °2 2 = lim k Z 1 {|α|>k} · |α| 2 · kζk 2 ¦ dσ= 0 par le théorème de Lebesgue. ¤ Grâce à ce lemme nous pouvons introduire les notations suivantes :

DEFINITION 1Posons L 2 α ³ σ,H ´ b := n ζ∈L 2 ³ σ,H b ´ ¯ kα·ζk 2 <∞ o et M α :L 2 α ³ σ,H ´ b −→L 2 ³ σ,H b ´ :ζ7−→α·ζ.

8.1

REMARQUERappelons queL ∞ (σ) On a !est muni de la norme supérieure essentielle donc|α|6kαk ∞ localementσ-p.p. . Nous utiliserons comme précédemment (cf. exemple 1.2.6 et 6.10) la notation hidi:= 1 +|id| 2 .

THEOREME (i) Siα:Λ−→Kest une fonctionσ-mesurable, lopérateurM α est normal etM α ∗ =M α . En particulierL 2 α ³ σ,H ´ b un espace de Hilbert pour la norme déest Þnie parM α . SiAest une partieσ-mesurable sur laquelleαest essentiellement bornée, alors1 A · L 2 ³ σ,H ´ b ⊂L 2 α ³ σ,H ´ b . Les noyaux deL 2 α ³ σ,H b ´ ,→L 2 ³ σ,H ´ b etα·L 2 α ³ σ,H b ´ ,→L 2 ³ σ,H ´ b sont respectivement M hαi etM |α| 2 ·hαi −1 . −1 (ii) Pour toutα∈L ∞ (σ)lopérateurM α est borné dansL 2 ³ σ,H b ´ de norme6kαk ∞ . Lapplication M:α7−→M α :L ∞ (σ)−→L ³ L 2 ³ σ,H ´´ b est linéaire, involutive, i.e.M α ∗ =M α , multiplicative, i.e.M α·β =M α M β pour toutβ∈L ∞ (σ) et continue de norme1. (iii) Pour toute partieσ-mesurableA⊂ΛlopérateurM A :=M 1 A est lorthoprojecteur sur 1 A ·L 2 ³ σ,H b ´ ,M ∅ =M 0 = 0etM Λ =M 1 = Id. (iv) Les propriétés suivantes sont équivalentes : (a) Pour toutα∈L ∞ (σ), on akM α k=kαk ∞ . (b) Pour toute partieσ-mesurableAqui nest pas localementσ-négligeable, on a 1 A ·L 2 ³ σ,H ´ b 6={0}. b (c) Toute partieσ-mesurableAtelle que1 A ·h= 0scalairementσ-p.p. est localement σ-négligeable.

Claude Portenier DÉCOMPOSITIONS SPECTRALES

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8.1 Les opérateurs de multiplications Siζ∈1 A ·L 2 ³ σ, b ´ Démonstration de (i)Hetαest essentiellement bornée surA, on a α·ζ= 1 A ·α·ζ σ-p.p., doncα·ζ∈L 2 ³ σ,H ´ par le lemme 8.1. LopérateurM α est de domaine b dense. En effet, pour toutζ∈L 2 ³ σ,H b ´ , on a1 {|α|6k} ·ζ∈L 2 α ³ σ,H ´ b par le lemme (ii) et ζ= lim k 1 {|α|6k} ·ζpar le lemme (iii). Il est fermé carL 2 α ³ σ,H b ´ est un espace de Hilbert pour la norme en graphek·k α . En effet si(ζ k ) k∈N est une suite de Cauchy dans cet espace, on a ζ:= lim k ζ k etθ:= lim k α·ζ k dansL 2 ³ σ,H b ´ . Mais par la proposition 5.12, il existe une sous-suite(k l )deNtelle queζ:= lim l ζ k l etθ:= lim l α·ζ k l ponctuellement. On en déduit que θ=α·ζ, puis queζ= lim k ζ k dansL 2 α ³ σ,H b ´ . Pour calculer le noyau deL 2 α ³ σ,H ´ b ,→L 2 ³ σ,H ´ b , soientζ∈L 2 ³ σ,H ´ b etθ∈L 2 α ³ σ,H b ´ . On a (ζ|θ) L 2 = ¡ Z hαi −1 ·ζ ¯ θ ¢ ¦ dσ+ ¡ Z α· hαi −1 ·ζ ¯ α·θ ¢ ¦ dσ= = ¡ hαi −1 ·ζ ¯ θ ¢ α , carhαi −1 ·ζ∈L 2 α ³ σ,H ´ b . Ce noyau est doncζ7−→hαi −1 ·ζ. Déterminons maintenant celui ·L 2 α ³ σ,H b ´ ,→L 2 ³ σ b ´ arquons tout dabord que deα,H. Rem kα·θk αL α = γ∈L 2 α i , n α· f γ=α·θ kγk 2 α = ° 1 {α6=0} ·θ ° α = Z hαi · kθk ¦ 2 ·1 {α6=0} dσ. 2 · 2 On a alors (ζ|α·θ) L 2 = Z hαi · ¡ α· hαi −1 ·ζ ¯ θ ¢ ¦ ·1 {α6=0} dσ= ¡ α·α· hαi −1 ·ζ ¯ α·θ ¢ α·L 2 α , carα· hαi −1 ·ζ∈L 2 α ³ σ,H b ´ . Ce noyau est doncζ7−→|α| 2 · hαi −1 ·ζ. Nous avons ainsi prouvé que L 2 α ³ σ,H ´ +α·L 2 α ³ σ,H ´ b =L 2 ³ σ,H b ´ , b donc queM α est normal par le lemme 7.7. AinsiD(M α ∗ ) =D(M α ) =L 2 α ³ σ,H b ´ =L 2 α ³ σ,H b ´ , et comme pour toutζ,θ∈L 2 α ³ σ,H ´ b , on a (θ|M α ∗ ζ) = (α·θ|ζ) L 2 = (θ|α·ζ) L 2 = (θ|M α ζ), on obtientM α ∗ =M α . Démonstration de (ii)Siα∈L ∞ (σ), pour toutζ∈L 2 ³ σ,H b ´ , on a kM α ζk 2 2 = Z (α·ζ|α·ζ) ¦ dσ6kαk 2 ∞ · Z (ζ|ζ) ¦ dσ=kαk 2 ∞ · kζk 2 2 , donckM α k6kαk ∞ . LapplicationMest évidemment linéaire, involutive et de norme61. Si β∈L ∞ (σ), alors

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M α·β ζ= (α·β)·ζ=α·(β·ζ) =M α M β ζ.

DÉCOMPOSITIONS SPECTRALES Claude Portenier

8.1

Les opérateurs de multiplications Démonstration de (iii)SiAest une partieσ-mesurable deΛ, comme 1 2 A = 1 A = 1 A , lopérateurM A satisfait par (ii) aux relations ∗ M 2 A =M 1 2 A =M A =M A , donc est un orthoprojecteuL 2 ³ σH b ´ r. Son image est1 A ·,. Démonstration de (iv) (a)⇒(b)SiAnest pas localementσ-négligeable, on akM A k=k1 A k ∞ 6= 0, donc M A 6= 0. b b (b)⇒(c)Si1 A ·h= 0scalairementσ-p.p. , alors1 A ·h= 0ponctuellementσ- p.p. par le théorème 5.12 ou directement en constatant que, pour toutϕ∈F, on a ° h b ϕ ° ¦ 2 = D ϕ ¯ b hϕ E = 0σ-p.p. . Ainsi ¯ 1 A · b h(F) E D L ∞ (σ) ¯ ={0}et en utilisant lexercice 5.12 on obtient 1 A ·L 2 ³ σ,H ´ b =L 2 ³ σ,1 A · H b ´ = ¯ 1 A ·h b (F) E D L ∞ (σ) ¯ Λ 2 ={0}; (b) montre alors queAest localementσe.-énlggiaelb (c)⇒(a)Il nous suffit de prouver que, pour toutλ<kαk ∞ , on aλ6kM α k. b MaisA:={λ<|α|}nest pas localementσ-négligeable, donc on na pas1 A ·h= 0 ponctuellementσ-p.p. . Il existe donc unϕ∈Ftel que n 1 A ·h b ϕ6= 0 o ne soit pasσ- b 2 négligeable et il vient ° 1 A ·hϕ ° 2 6= 0, ainsi que b 2 ° M α ³ 1 A ·h b ϕ ´ ° 2 2 = Z 1 A · |α| · ° ϕ ° ¦ >λ 2 · Z 1 A · ° h b ϕ ° 2 ¦ =λ 2 · ° 1 A · b hϕ ° 2 2 , 2 h ce quiÞnit la démonstration. ¤

Claude Portenier

DÉCOMPOSITIONS SPECTRALES

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8.2

Les opérateurs de Toeplitz associés à une décomposition

8.2 Les opérateurs de Toeplitz associés à une décomposition

2 ³ σ, b ´ sur DEFINITION 1SoitPlorthoprojecteur deLH P:= µ Ker µZ ¦dσ ¶¶ ⊥L 2 = b h(F) L 2 , lespace des représentants de Parseval associé à la décomposition deH(cf. remarque 5.14.1). Pour toute fonctionσ-mesurableα:Λ−→K, nous poserons D(α) := n ξ∈H ¯ ξ b ∈L 2 α ³ σ,H o´ b , et désignerons parZ α lopérateur dansHdéÞni par Z α :D(α)−→H:ξ7−→ Z α·ξdσ. b On a donc le diagramme commutatif suivant : Z α HD(α)H ¦ R b ¦dσ P P∩L 2 α ³ σ,H ´ b L 2 ³ σ,H ´ b . M α L 2 α ³ σ,H ´ b Puisque¦ b est une isométrie deHsurP, dont lapplication réciproque est R ¦dσ, lopérateur Z α est équivalent à lopérateur dansPdéÞni par ζ7−→P(α·ζ) :P∩L 2 α ³ σ,H ´ b −→P.

DEFINITION 2Nous dirons que lopérateurZ α dansH, ou lopérateur équivalent dans P, est un Toeplitzopérateur de.

REMARQUEPuisqueP∩L 2 α ³ σ,H b ´ , muni de la norme induite par celle deL 2 α ³ σ,H ´ b , est un espace de Hilbert comme on le vériÞe immédiatement, lopérateurZ α est fermé. La première question génante est savoir sous quelles conditions il est de domaine dense, i.e.P∩L 2 α ³ σ,H ´ b

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DÉCOMPOSITIONS SPECTRALES Claude Portenier

Les opérateurs de Toeplitz associés à une décomposition 8.2 est dense dansPnétudierons pas cette question ici. Par contre si. Nous α∈L ∞ (σ), on a le diagramme simpliÞé suivant : Z α H H b R dσ . ¦ ¦ L 2 ³ σ,H ´ b L 2 ³ σ,H b ´ M α

DEFINITION 3Pour toute partieσ-mesurableAdeΛsoit H A := Z 1 A · Hdσ b de nh A := R 1 A ·h dσ. le sous-espace hilbertien deF  oyau b Lexercice 5.12 montre que H A = Z ³ L 2 ³ σ,1 A · H ´ b ´ dσ= ³ Z 1 A ·L 2 ³ σ,H ´´ b dσ.

THEOREME (i) Pour toutα∈L ∞ (σ)lopérateurZ α est borné dansHde norme6kαk ∞ . Lapplication Z:α7−→Z α :L ∞ (σ)−→L(H) est linéaire, involutive, i.e.Z α ∗ =Z α , positive, i.e.Z α est un opérateur auto-adjoint positif si α>0, et continue de norme61. (ii) Pour toute partieσ-mesurableA⊂ΛlopérateurZ A :=Z 1 A est auto-adjoint positif, Z ∅ =Z 0 = 0etZ Λ =Z 1 = Id. On aZ A (H)⊂H A et les noyaux de ces sous-espaces hilbertiens sont respectivementZ 2 A etZ A . (iii) SoitAune partieσ-mesurable.Les propriétés suivantes sont équivalentes : b (a)1 A ·h= 0scalairementσ-p.p. . (b)H A ={0}. (c)Z A (H) ={0}. (iv) Les propriétés suivantes sont équivalentes : (a) Lapplication Z ¦dσ:L 2 ³ σ,H b ´ −→H est injective, i.e.h(F)est dense dansL 2 ³ σ,H b ´ . b (b)Zest multiplicative, i.e. pour toutα,β∈L ∞ (σ), on aZ αβ =Z α Z β . (c) Pour toute partieσ-mesurableAlopérateurZ A est un orthoprojecteur, i.e. Z 2 A =Z A ouZ A (H) =H A .

Claude Portenier DÉCOMPOSITIONS SPECTRALES

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8.2

Les opérateurs de Toeplitz associés à une décomposition

(d) Pour toute partieσ-mesurableA, on a H A ∩H {A ={0}. Dans ce cas,Z A est lorthoprojecteur deHsurH A =Z A (H). Si les partiesσ-mesulbarse A, Bsont disjointes, on aH A ⊥H B etH=H A ¢H {A .

Démonstration de (i)La première partie est évidente par le théorème 8.1, puisque¦bet R ¦dσsont de norme61et adjointes lune de lautre : kZ α k= µZ ¦dσ ¶ ◦M α ◦¦ b ° 6kM α k6kαk ∞ ° et Z α ∗ µµZ ¦dσ ¶ ◦M α ◦¦ ¶ b ∗ = µZ ¦dσ ¶ ◦M α ◦¦ b =Z α . = b La positivité découle du fait queξest le représentant de Parseval deξ, donc que (ξ|Z α ξ) = Z α· ³ ξ ¯ ξ ´ b dσ>0. b

Démonstration de (ii)Puisque1 A est une fonctions réelle, lopérateurZ A est auto-adjoint. On a évidemmentZ 0 = 0et Z 1 ξ= Z 1· b ξdσ=ξ. Le noyau deZ A (H)estZ A Z ∗ A =Z 2 A par lexemple 5.4.5. PuisqueZ A est un opérateur auto- adjoint positif, cest le noyau dun sous-espace hilbertien deH. DansF  sont noyau est h  Z A h= Z 1 A · b h dσ=h A par la proposition 5.5, ce quiÞnit de montrer que ce sous-espace hilbertien estH A . b Démonstration de (iii)Pour toute partieσ-mesurableA, on a1 A ·h= 0scalairementσ- p.p. si, et seulement si, pour toutϕ∈F, on a1 A · D ϕ ¯ h b ϕ E = 0σ-p.p. par les formules de polarisation (cf. proposition 1.3), donc à R 1 A · D ϕ ¯ h b ϕ E dσ= 0pour toutϕ∈F. Mais cette relation signiÞe que R 1 A ·h dσ= 0. Elle est alors successivement équivalente àH A ={0}, b puis àZ A = 0etÞnalement àZ A (H) ={0}. Démonstration de (iv) (a)⇒(b)Si R ¦dσ:L 2 ³ σ,H b ´ −→Hest injective,β·ξest le représentant de b Parseval deZ β ξ. Par suite Z α Z β ξ= Z α· ³ β·ξ b ´ dσ=Z αβ ξ. (b)⇒(c)SiZest multiplicative, on aZ 2 A =Z 1 2 A =Z A , ce qui par (ii) est équivalent àZ A (H) =H A . PuisqueZ A est auto-adjoint, cest un orthoprojecteur. (c)⇒(d)Siξ∈H A ∩H {A , on aξ=Z A ξ=Z {A ξ=Z A Z {A ξ, doù le résultat puisque Z A Z {A =Z A (Id−Z A ) =Z A −Z 2 A =Z A −Z A = 0.

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