Calculabilité et complexité Cours no4

Nicolas (Miki) Hermann

Description

Calculabilite´ et complexite´oCours n 4Nicolas (Miki) Hermann´LIX, Ecole [e-mail]´ ´Miki Hermann Calculabilite et complexite (4)Reductions´Les classes P, NP, PSPACE, EXP, ... contiennent une infinite´ delangages.Question : Comment classifier des langages dans une classe?Reponse´ : Par leur difficulte´ de solution.Question : Comment dire que le langage/probleme` B est au moinsaussi difficile que le langage/probleme` A?´Reponse´ : Par le concept de reduction.´ ´Miki Hermann Calculabilite et complexite (4)´ ´Definition de la reduction de Karp (many one)`Soit A et B deux langages/problemes A est polynomialement∗ ∗´ `(logarithmiquement) reductible a B s’il existe une fonction R: Σ → Σ´calculable par une machine de Turing deterministe en tempspolynomial (en espace logn), telle que pour chaque mot x la conditionsuivante est satisfaite :x∈ A si et seulement si R(x)∈ BR s’appelle une reduction´ polynomiale (logarithmique) de A a` BReductions´A se reduit´ a` B s’il existe une transformation R, telle que pour chaqueentree´ x∈ A elle calcule l’entree´ equiv´ alente R(x)∈ B.La transformation R ne peut pas etreˆ trop couteuseˆ !´ ´Miki Hermann Calculabilite et complexite (4)Reductions´A se reduit´ a` B s’il existe une transformation R, telle que pour chaqueentree´ x∈ A elle calcule l’entree´ equiv´ alente R(x)∈ B.La transformation R ne peut pas etreˆ trop couteuseˆ !´ ´Definition de la reduction de Karp (many one)`Soit A et B ...

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Extrait

Calculabilit ´ eetcomplexite ´ Cours n o 4

Nicolas (Miki) Hermann

´ LIX, Ecole Polytechnique

[e-mail]

iMikHeramnnaCcllubaliti´eteocpmelixt´e(4)

Les classesP,NP,PSPACE,EXP une infinit  ´e  . . contiennent, . de langages.

Question : ?Comment classifier des langages dans une classe Re´ ponse  : solution. de Par leur difficulte´ Question : Comment dire que le langage/proble`  meBest au moins aussi difficile que le langage/proble`  meA? R ´ eponse:Par le concept de re´ duction .

R´ucedsitno anrmHekiMi(4)it´eplextcom´teeibilucalCnla

ionpducter´eleungoraell(moailonyB M `aeA)dueiqhmit luclaCnnamreHiki on suivan aconditi siafti:eetsestta leeuntmeAsx∈tsie a’sRlepp (RisB∈)x balitie´teocpmelxit´e(4)

Aude ´ a ` tiersBs’il existe unetransformationR, telle que pour chaque entreex∈A’eelullccaleeluqvilanetn ´ reee ´ teR(x)∈B. ´ La transformationRentuepoptrˆucos ˆ pareete!uste

´eRctdunsio BtedtieAgngaxual (manKarpe) So y-onde´raledednoitcuD´ontiniefi tnr)e ´ udtcbiela ` (logarithmiqueme loptmonyelaitnem/pesblrome ` eessA d´etringdeTuhinemecaranulbpeucalal ∗ c →ΣΣ ∗ R:ontincofenuetsixeli’sB quemotxlepourchat,leeluqcalego)n(ealspnelypomino tneespmeimretsin

Re ´ ductions Aauite ` dr ´ seBs’il existe unetransformationR, telle que pour chaque entre´ e x∈Aetnelaviuqe ´ e ´ etrenl’lecualecellR(x)∈B. La transformationR teuse !ne peut pas etre trop couˆ ˆ D ´ finition de la re´  duction de Karp (many-one) e SoitAetB mes deux langages/proble` Aestpolynomialement (logarithmiquemente ` at)irb ´ leducBs’il existe une fonctionR: Σ ∗ →Σ ∗ e calculable par une machine de Turing d  ´ terministe  entemps polynomial(enespacelogn), telle que pour chaque motxla condition suivante est satisfaite : x∈Asi et seulement siR(x)∈B Rs’appelle uner ´ eductionpolynomiale (logarithmique) deA ` aB Miki Hermann  Calculabilite´ et complexite´ (4)

eledreapL’´eid ≡R 0 ( C x∈A (y)∈B≡R 0 B∈ ∈y (R)x∈x≡A vu:e r´uxnaiontteatreiaftuaflI C∈))x(R snRdu´eioct ucedontiogslitarqimh.seu ikiMmreHannCalculabilit´eectmolpxetie´4(

Les re´  ductions se composent.

Th ´ eoreme ` SiRal ´ retsontiuceddeA a` BetR 0 la re´  de ductionB ` aC, alors la compositionR∙R 0  duction de est une re´ A a` C.

)

Lesr ´ eductionssecomposent.

Th ´ `  me eore SiR de duction est la re´ A a` BetR 0 alondeuctir ´ edB ` aC, alors la compositionR∙R 0  de duction est une re´ A ` aC.

)(4´eitexplomctee´tilibaluclaannCHermMiki

Ilfautfaireattentionauxr ´ eductionslogarithmiques.

L’ide´ e  de la preuve :

x∈A≡R(x)∈B y∈B≡R 0 (y)∈C x∈A≡R 0 (R(x))∈C

tcoisnRe´ud

e´telitilubaaCclmanniHerMik

Conventio ´ duct=r ´ etioneducaimoelpnoinylo n :r Notation :A∝BouABsiAiu ` taes ´ rdeB. Vous pouvez aussi voir A∝ p m BouA p m B’uli’sgarpminaqtexndu ´ eioctd’iterunmany-one polynomiale.

4)e(t´xilempco nostiucedR´

mpl´Coeetud 4()

On peut prendre pourCles classesNP,PSPACE,EXP aussi, . et . .P sionutiliselesr ´ eductionslogarithmiques.

SoitCme ` e/pgeblro ´ eitexplgaanel.LalcenumocedessAest dit C-difficile me si pour chaque langage/proble` B∈ C,B ` saitdu ´ eerA. Si le langage/proble`  meAestC-difficile etA∈ C, on dit queAest C-complet. Probl ` emesC  `a re´  mes les plus difficiles soudre -complets = les proble` dans la classeC

lpxetie´t´eetcomculabililaCnnamreHikiM

edR´ t a e l l s p s o s l e a e , C = C C t s s r 0 M n . o 0 c C t i l H o i s k e m s a p e a r r C r a ´ n e n d u u l c l t c in c o r e e s x A d t e s c e i C y t t c s - e m P o . l e p l e p t o a r i o n t s i i s q i u S e i C o 0 n - s c c o l m e itnodecuratilsgoues.hmiq ve: E Preu t s i a e l ´ c b s a e l L i . p N m , e L l , t P e s o e c s e l ( o 4 t ) c x o i n t L ´ sr´ars

est ductions close par re´ siABetB∈ C

p

Une classeC A∈ C.

s

implique

e sontclos,EXP,...udtcoisnseaprre ´ scLessla sipoonti SP,PECAPPNseNoc, Por sontiuc

asseesclC 0 sosCet posorP S n li tioi laroCsC=ocpmel,tsiqueC 0 - mplet ain tseAoc-Coitctesnrrpadu´eclntesos

Preuve : Exercice de style.

Proposition Les classesNP,coNP,PSPACE,EXP sont  closes par re´  ductions., . . . Les classesP,L,NLsont closes par reductions logarithmiques. ´

Une classeCest ductions close par re´ siABetB∈ Cimplique A∈ C.

(4)it´eplexmoctee´tilibalucalnCanrmHekiMi 0 . Rsne´udtcoi

tyleedes. ueevrP crciE : ex reHikiM´t(eelixocpme´teilitulabCalcmann

Proposition Si les classesCetC 0 onslotcspsera ´ rdecuitnoestAestC-complet 0 ainsi queC 0 -complet, alorsC=C.

4)

Une classeCest ductions close par re´ siABetB∈ Cimplique A∈ C.

Proposition Les classesNP,coNP,PSPACE,EXP,.soseaprr..ostnlc.nsdu ´ eioct Les classesP,L,NL ductions logarithmiques. sont closes par re´

´Rcudenoits