chap2 cours

Arsène Alexandre

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¥--˛-£Ì---¥--„„-˛¥¥-ˇ-Maths-TS-Limites de fonctions : continuité Chapitre 2 : LIMITES DE FONCTIONS ; CONTINUITE A) COURS I) Rappels (fonctions et opérations) : 1) a) Définitions : * f est une fonction définie sur une partie E non vide de ℝ , à valeurs dans ℝ , signifie qu’à tout nombre x de E, on associe un réel unique, noté f(x), appelé l’image de x par f . * Le plan étant muni d’un repère O;i; j , la courbe représentant f dans ce repère ( )est l’ensemble des points M x, f (x) tels que y = f (x) , quand x E . ( ) b) Exemple : 2 3x +1Soit f définie par : f (x) = si x 1 et par f (x) = si x≻ 1 et x 2 ; f est x x 2une fonction définie sur ℝ \{2}(à valeurs dans ℝ ) : 2à tout nombre réel x de ] ; 1] , on associe le réel (en effet, 0 ] ; 1]) x3x +1et à tout nombre réel x de 1+; \{2} , on associe le réel . ] [x 2 2) Fonctions et opérations : a) Propriétés : Soient u et v deux fonctions définies sur un ensemble non vide E et k un nombre réel. On pose, pour tout x de E : (u + v)(x) = u(x) + v(x) ; (ku)(x) = ku(x) ; (uv)(x) = u(x)v(x) . Dans ces cas, u + v , ku et uv sont des fonctions définies sur E . u u(x)Si, de plus, pour tout x de E, v(x) 0 alors, pour tout x de E, (x) = ; donc v v(x)u est une fonction définie sur E. vb) Composé de fonctions : Définition et propriété: Soient u et v deux fonctions définies respectivement sur I et J ( I et J étant des ensembles non vides tels que u(I) J , ...

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Maths-TS-Limites de fonctions : continuité

   Chapitre 2 : LIMITES DE FONCTIONS ; CONTINUITE   A) COURS   I) Rappels (fonctions et opérations) :   1) a) Définitions : * f est une fonction définie sur une partie E non vide de ℝ , à valeurs dans ℝ , signifie qu’à tout nombre x de E, on associe un réel unique, noté f ( x ), appelé l’image de x par f .  * Le plan étant muni d’un repère O ; i ; j , la courbe représentant f dans ce repère est l’ensemble des points M , f ( x ) tels que y f ( x ) , quand E . b) Exemple : Soit f définie par : f ( x ) 2 si x % 1 et par f ( x ) 1 3 2 1 si x ≻ 1 et x 2 ; f est une fonction définie sur ℝ \ {2} (à valeurs dans ℝ ) : à tout nombre réel x de ] υ ; % 1 ] , on associe le réel 2 (en effet, 0 ] %υ ; % 1 ] ) et à tout nombre réel x de ] % 1; #υ \ 2 , on associe le réel 3 2 1 .   2) Fonctions et opérations : a) Propriétés : Soient u et v deux fonctions définies sur un ensemble non vide E et k un nombre réel. On pose, pour tout x de E :   ( u v )( x ) 1 u ( x ) # v ( x ) ; ( ku )( x ) ku ( x ) ; ( uv )( x ) u ( x ) v ( x ) . Dans ces cas,    u v , ku et uv sont des fonctions définies sur E . Si, de plus, pour tout x de E, v ( x ) 0 alors, pour tout x de E, u v ( x ) 1 u v ( ( x x ) ) ; donc u t une fonction définie sur E. es v b) Composé de fonctions : Définition et propriété: Soient u et v deux fonctions définies respectivement sur et ( et étant des ensembles non vides tels que u ( I ) Ì J , c'est-à-dire tels que, pour tout x de , u ( x ) J ) . On pose, pour tout x  de , v  u ( x ) 1 v u ( x ) ] . Dans ce cas, v  u est une fonction définie sur . c) Exemple : Soient u et v les fonctions définies respectivement : sur   %υ ; 2 1    par u ( x ) % 2 x # 1 et sur ℝ par v ( X ) 1 X ; déterminer v  u .

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Preuve : Les fonctions u et v sont définies respectivement sur   %υ ; 2 1    et sur ℝ ;  1  de plus, pour tout x Î  %υ ; 2   , % 2 x # 1 Î ℝ ; donc, v  u est la fonction définie sur   %υ ; 2 1    par : v  u ( x ) 1 v u ( x ) ] v ( % 2 x # 1) 1 % 2 x # 1 .   II) Généralités :   Aide-mémoire : Dans toutes les définitions sur les limites revient l’expression : « tout intervalle ouvert J (lequel ?), contient toutes les valeurs de f ( x ) pour… » Remarque : Le plan est muni d’un repère (en général) orthogonal, quand on mentionne la courbe représentant une fonction.    1) Limite finie en l’infini   a) * Définition 1 : Soient des réels a et L et   une fonction définie sur l’intervalle ] a ; υ [ .

L" L L'

L" L L'

o B B o    figure 1 figure 2 out ≻ 0 , on pose : L ' L % , L " L # ; ] L '; L "[ ; #υ [ ( B ≻ 0) figure 1 I ] % υ ; B [ ( B ≺ 0) figure 2 out intervalle J, la courbe C f restreinte à I est dans la zone hachurée érisée par :

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   x ≻ ≺ B ≺  (figure 1)    x L ' ≺ ≺ B y ≺ L ''      (figure 2)  L ' y L '' c) Interprétation graphique (asymptote): Définition 1’ : S’il existe un réel L tel que lim ( x ) L  (ou lim ( x ) L ) ; alors x |#υ x |%υ on dit que la droite d’équation y L est asymptote horizontale à la courbe représentant f en υ (ou en υ ). d) Exemples :  pour tout p ℕ : x li |# m υ 1 p 0 et x li | m %υ 1 p 0  ; x li | m #υ 1 x 0 . e) * Propriété 1 : Pour tout L ℝ : lim ( x ) L    lim ( f ( x ) % L ) 1 0  . x |#υ x |#υ * Propriété 2 : Si f  tend vers le réel L en υ ( en υ ) ; alors cette limite est unique. Preuve de la propriété 2 (par l’absurde) : * Supposons que f  tende vers deux réels et ' en υ  . Prenons de plus ≺ L ' (sinon raisonnement analogue pour ≻ L ' )      ≻ Posons : r 1 2 L ' , ] L % r ; L # r [ , ] L ' % r ; L ' # r [     ( r 0)   lim ( x ) L , donc il existe B 1 ≻ 0 tel que, pour tout ≻ B 1 , ( x ) I   x |#υ lim ( x ) L ' , donc il existe B 2 ≻ 0 tel que, pour tout ≻ B 2 , ( x ) J . x |#υ En prenant 3 1 max( B 1 ; B 2 ) , si x ≻ B 3 alors ( x ) I Ç J ; or I J 1 Æ ; donc c’est impossible. On a montré par l’absurde que L ³ L ' : ! . On montre, de même, par l’absurde que L L ' : ! . ! et ! impliquent L L ' * Supposons que f tende vers deux réels et ' en υ  . Dans ce qui précède, on remplace υ par υ ; puis ≻ B 1 , ≻ B 2 , ≻ B 3 ,   respectivement par % ≻ B 1 , % ≻ B 2 , % ≻ B 3 .   2) Limite infinie en l’infini : a) * Définition 3 : x ! tend vers υ quand x tend vers υ signifie que tout intervalle ouvert J l ; #υ (quand décrit ℝ ), contient toutes les valeurs de x ! pour x   assez grand . On note lim f ( x ) #υ ou lim f #υ . x |#υ #υ * Définition 4 : x ! tend vers υ quand x tend vers υ signifie que tout intervalle ouvert J l %υ ; (quand décrit ℝ ), contient toutes les valeurs de x ! pour x   assez grand . On note lim f ( x ) %υ ou lim f %υ . x |#υ #υ    

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 a étant différetnd  e,0e  tu enu’ q eilstxidee r xusleée a ,b t #υ  ( ];[I   ];[  ou   . nO %I ) υ opess pu dén ioctsue nifitni nu r ellavre x)xaxb##  e,I (   () ce cas,   .  Dans  etroeuq  ,) υ s ed utto d x   p ,  r ou #|   υx 0 Φ xmi)(  e l   x Φ |% ()0 x   lim (ou iniféd noitcnof   que llteI r sue  f tn      .

B

A

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  f bereC ésprtaen une) υ à l  aocruoblique  en  υ  (o sa tse  #  etotpmyn ioatqu xbya t es  odioetené tnu it qon da drue l                                          f #υ #   lim     υ                   (0  ≺ )B                                                 retni tuot ruoP   urcoa  lJ,e llvaniettser Cereb f  s la dan est à I υ# fm  υ%    il                          ilfm υ% υ#limf %υ %υ          ; l   υ#    #| # υ mix x pℕ , l out  x |#υ im p x ruop  ;  υ ℕp  tuot  im 3 l ;  υ   1% #υ x | 2 x racaétirés eap r  zone hachurée  c pmex selop :t ru xI: t  e. yJ  Ec)  éta ’ : on 2nitiéDifa    )  e :iluq on fne u fitso, énnod leér nu tn out  pℕ   2   pour t %| # υ   υ ;  2 , ilpmx x otptobe )    3ymAs % υ%|  .  υmil1#x x p                                                                  B≺0) (%υ[I];           υ%B                                          %A[;     υ ≻)0]    #υIB(0   )≺(0 ;[   ]] [;BIυ#B) ≻       ];[IB(0)B≻                     A#;[   ]  6regufi   A[υ%  ;]≻)   υ0(#υ (];[A≺    (0)           ifuger                f   rugi 5 e      4             f          3 erugi  

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K m H M

J I o X figure 7 Soit la droite dont une équation est y ax # b ( a 0) .Soit et m les points respectifs de C f et de de même abscisse x ; la distance m vaut : m f ( x ) % ( ax # b ) 1 ( x ) ; ainsi  lim Mm lim Φ ( x ) 1 0 . x |#υ x |#υ c) Exemple : Soit la fonction définie sur ℝ \ { 4} par : f ( x ) 1 2 x % 3 # 2 4 . Montrer que la courbe représentant f a une asymptote oblique. Preuve : Pour tout x ℝ \ { % 4}   ( x ) 2 x % 3 # ( x ) ; en posant, sur   ℝ \ { 4} : Φ ( x ) 1 2 4 ; de plus lim ( x 4) 1 #υ , donc lim Φ ( x ) 0 ; x |#υ x |#υ de même lim ( x 4) 1 %υ , donc lim Φ ( x ) 0 . x |%υ x |%υ Ainsi la droite dont une équation est y 2 x % 3 est asymptote oblique à la courbe représentant f en υ (et en υ ).    4) Courbes asymptotes : *Définition 3’ : Soit un réel a, soient f et g des fonctions définies sur un intervalle I ] a ; #υ [  ( ou ] % υ ; a [ ) , telle que, pour tout x de I, ( x ) g ( x ) # ( x ) ; étant une fonction définie sur I telle que lim Φ ( x ) 0  (ou lim Φ ( x ) 0 ). Dans ce cas, on dit que la x |#υ x |%υ courbe représentant g est courbe asymptote à la courbe représentant f  en υ   (ou en υ ).   *Exemple : Soit la fonction définie sur ℝ par : f ( x ) x 2 % 4 # 3 . Pour tout x Î ℝ   ( x ) 1 g x # Φ ( x ) ; en posant, sur   ℝ : g ( x ) x 2 % 4 et Φ ( x ) 3 ;

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de plus : lim Φ ( x ) lim  3 1 0 et lim Φ ( x ) 0 . On en déduit que la courbe x |#υ x |#υ x |%υ représentant g est courbe asymptote à la courbe représentant f  en υ (ou en υ ).   5) Limite finie ou infinie d’une fonction en un réel a : a) Soient a un réel, I un intervalle ouvert contenant a ou dont a est une borne et f    une fonction définie sur I sauf peut-être en a . ) Définition 5 :   x ! tend vers L quand x tend vers a signifie que tout intervalle ouvert J tout x de I\{ a } assez

L" L M   L' En posant : L ' L % , L " L #  ( ≻ 0) ; ] L '; L "[ I a '; a " 1 ] a % h ; a # h [ ( h ≻ 0) o a'  a a" Pour tout intervalle J, la courbe C f restreinte à I est  figure 8  dans la zone hachurée caractérisée par : x I et   y J .     ) Définition 6 : x ! tend vers quand x tend vers a signifie que tout intervalle ouvert J contient toutes les valeurs de x ! pour tout x de I\{ a } assez proche de a . pour tout A ℝ , J ] A ; #υ [ si #υ  ; on note lim f ( x ) #υ ou lim f #υ   x | a a pour tout A ℝ , ] % υ ; A [ si %υ  ; on note lim f ( x ) %υ  ou lim f %υ . x | a a (figures 9 à 12 plus loin) b) Définition 7 : Soient f une fonction, a un réel ; soit un réel, υ ou υ .   f a comme limite à droite en a signifie que la restriction de f à ] a ; υ [ tend vers en a . On note lim f ( x ) . x | a ≻   f a comme limite à gauche en a  signifie que la restriction de f à ] υ ; a [ tend vers en a . On note lim f ( x )  . x | a ≺ c) Interprétation graphique (asymptote): Définition 4 : ’

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A

dit s) en

J a o I  a'    figure 9 figure 10 figure 11 figure 12 ] % υ ; A [ ] A ; #υ [ ] % υ ; A [ ] A ; #υ [  ( ≺ 0) ( ≻ 0) ( ≺ 0) ( ≻ 0)         I a '; a 1 ] a % h ; a [ I ] a % h ; a [ I a ; a ' 1 ] a ; a # h [ I ] a ; a # h [  ( h ≻ 0 )           l f x %υ         ! x ¾ i ¾ m | a ! x l ¾ i ¾ m | a f x #υ     x l ¾ i ¾ m | a f x ! %υ       x l ¾ i ¾ m | a f x ! #υ                   ≺ ≺ ≻ ≻ Pour tout intervalle , la courbe C f restreinte à I est dans la zone hachurée caractérisée par : x I et y J . m lim #υ   d) Exe ples :    x | 0 # 1 x pour tout p ℕ : x lim o # 1 p #υ ; lim 0 % 2 1 p #υ  et li 2 1 1 . m %υ | x | x 0 % p % | e) Exemple : Soit f la fonction définie sur ℝ \{1}    2 1 par f ( x ) 1 x 1 . Montrer que a une limite en 1 et déterminer cette limite. Preuve : Pour tou f ( x ) 1 x 2 1 1 # 1 ; don t x de ℝ \{1} , c lim ( x ) l x i | m 1 ( x # 1) 1 2 . x | 1 Remarque : Dans cette exemple, f  n’est pas définie en 1 ; mais f  a une limite finie en 1.   6) Une limite à connaître :                lim sin( x ) 1  . x | 0  

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Maths-TS-Limites de fonctions : continuité  (La preuve est faite en exercice)           III) Propriétés : 1) Opérations sur les limites : Soit un réel ou υ ou υ a)Limite et somme ; limite et produit :   Si li  + υ υ m                                  a Si lim ' + υ  + υ υ                    a     alors L '  + υ  + ? υ   lim( g ) 1 a    +      L L   υ si L ≻ 0      alors ' + si L ≻ 0  + υ          lim( g ) = υ si L ≺ 0  + si L ≺ 0    a ? si L 0  ? si L 0      Remarque : ? signifie : forme indéterminée (on ne peut pas conclure).   b) Limite et quotient :   Si + υ 0 υ L ≻ 0 L ≻ 0 L ≺ 0 L ≺ 0                                     lim   a  ou ou ou   ou υ υ υ   υ           Si lim L ' 0 υ     L ' 0 L ' 0  0 υ     0       0      0      0   a      alors L 0 + si L ' ≻ 0   υ s L ' ≻ 0  ? ? υ υ υ υ         L ' υ si + si lim ' a L ≺ 0 L ' ≺ 0     2) a) Exemple 1 : Soit f la fonction définie sur ℝ  par x ! % 3 x 2 # 2 x % 1 . Montrer que a une limite (finie ou infinie) en υ et déterminer cette limite.   Preuve : Pour tout x ℝ     2   f ( x ) 1 % 3 x 2 # 2 x % 1 1 % 3 x 2 (1 % 3 2 # 3 1 x )   www.ecolesurweb.fr Robert de Guerny 8/15