Chapitre 1 - Généralités sur les fonctions

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• Publié par: Phawying
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• Langue: Français

Extrait

Chapitre 1
Généralités sur les fonctions :
Première partie
I Des ensembles de nombres réels
Définition
L’ensemble de tous les nombres connus en seconde est appelé ensemble des réels. Il sera notéR.
L’ensemble des réels se représente comme l’ensemble des abscisses des points d’une droite graduée.
Il s’agit alors de la droite inachevée ou droite des réels :
A O I Points
x
0 1Réel x AbscissesA
Un ensemble D de nombres est par définition une partie deR.
Exemples : On connait l’ensemble des nombres entiers, des fractions ...
Définition
Sur la droite des réels, un segment représente un ensemble de nombres appelé intervalle.
Exemple :
On représente le segment [EF], avec E( 2) et F(4).
E F
O I Points
[ ]
0 1
Abscisses2 4
Le segment [EF] représente les réels compris entre 2 et 4, 2 et 4 inclus.
On dit qu’il représente l’intervalle borné des réels compris entre 2 et 4.
Cet ensemble de nombres sera noté [ 2; 4].
On utilisera aussi les intervalles :
] 2; 4[, c’est l’ensemble des nombres compris entre 2 et 4 avec les bornes 2 et 4 ...........
] 2; 4], c’est l’ensemble des nombres compris entre 2 et 4 avec ......................
[ 2; 4[, c’est l’ensemble des nombres compris entre 2 et 4 avec ......................
Représenter les réels strictement supérieur à 4 :
12 CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS : PREMIÈRE PARTIE
O I
]
0 1
4
Cet ensemble de nombre est borné par 4 à gauche mais n’est pas borné à droite ...
Définition
Pour l’écriture mathématique de cet ensemble, on utilise un intervalle et un symbole pour traduire
l’extrémité non bornée. Ce symbole est l’infini, il est noté1.
CE N’EST PAS UN NOMBRE!
La droite des réels a donc deux infinis que l’on distingue à l’aide d’un signe et on obtient :
O I
]
0 1
1 +1
4
On lira intervalle ouvert 4 plus l’infini et on le notera : ]4; +1[.
Exercices : 1 à 7 page 26
Lire, écrire et représenter un intervalle
Exercices : 14 page 25
Vrai/Faux
II Définition d’une fonction
Beaucoup de processus dans la vie font apparaître un « programme de calcul » entre deux quantités
variables.
Exemples :
Leprixd’une communicationdépenddesadu- L’échelle de Beaufort : à la vitesse du vent cor-
rée. respond une force de 0 à 12.
Distance de freinage et vitesse. Exemple : entre 20 et 28 km/h on associe la
force 4. Température et altitude.
Relation entre la tension et l’intensité en élec- Tarification d’une lettre en fonction de sa
tricité. masse.
La récolte du blé dépend du temps qu’il a fait. Au collège, on a vu les situations de propor-
Pour un trajet en train, le prix variant selon la tionnalités associées aux fonctions linéaires et
formule choisie. aussi les fonctions affines.
Pour exprimer qu’une grandeur « dépend de l’autre », on utilise le mot fonction.
Mais ce mot fonction en mathématique sera réservé à certains « programmes de calcul »
entre deux grandeurs.7
7
7
7
7
II. DÉFINITION D’UNE FONCTION 3
Définition
Soit D un ensemble de nombres.
On définit une fonction numérique f lorsqu’on associe à tout x de D un unique nombre réel.
Notation : Une fonction f définie sur D, qui à x associe un unique nombre f(x) se note
f :D! R
x! f(x)
Dans la liste précédente, repérer les relations qui sont des fonctions.
Remarque
On peut représenter une fonction f à l’aide du schéma.
Départ dans D Programme de calculs utilisant x Résultat dansR
! !
x ... f(x)
Exemples :
Avec l’expression connue :
2
Soit la fonction f qui à x positif associe f(x) = (x 9) +3.
Faire le schéma et enfin décrire le programme de calcul associé.
1+x
Faire de même avec g(x) = définie sur [0; 6].
7 x
9
De même avec T(t) = 32+ t, T température en degré Fahrenheit et t en Celsius.
5
Sans que l’expression soit connue :
En médecine, on surveille la tension artérielle en fonction du temps.
Le niveau de la marée en fonction de l’heure de la journée.
Le coût de production en fonction de la quantité produite.
Vocabulaire
Pour une fonction f de D versR.
I D est l’ensemble de départ. I f(x) est l’image de x par f.
I x est la variable.
I Si y est un réel et x un nombre de D.
x est un antécédent de y par f si f(x) =y.
Exemple :
On utilise la fonction définie par f(x) = 2x+7.
L’image de 8 par f est le nombre f(8). On le calcule : f(8) = 28+7 = 23.
On a donc x! f(x) qui devient pour notre valeur de x : 8! f(8) = 23.
La fonction f associe à 8 le nombre 23.
Prenons un nombre y = 11.
Le(s) antécédent(s) de y par f sont le(s) nombre(s) tel(s) que f(x) = 11.
On trouve ce(s) valeur(s) de x, en résolvant l’équation f(x) = 11, soit 2x+7 = 11 qui donne x = 2.
Il y a donc un seul antécédent pour 11 par f qui est x = 2.4 CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS : PREMIÈRE PARTIE
Exercices : QCM 1, 2 et 3 page 24
vocabulaire
Exercices : V/F 15, 17, 18, 19 page 25
vocabulaire
Exercices : 15, 16 page 27
Expression de f
Exercice : 38 page 31
Image et antécédent(s)
III Algorithme : Initiation
Lire dans le livre : Fiche 1 et 2
Définition
Un algorithme est un processus systématique de résolution d’un problème
En d’autres termes, un algorithme est un énoncé d’une suite d’opérations qui donne « ce qu’il faut
faire » et « dans quel ordre » pour résoudre un problème.
Un algorithme contient toujours un nombre fini d’étapes.
Exemples :
Donner un algorithme permettant de résoudre l’équation 2x 3 = 5
3 2x
puis un autre de calculer l’image par la fonction définie par f(x) = .
7
Exercices : 19, 21 p 28
lire un algorithme.
IV Courbe d’une fonction
Pour visualiser une fonction, on réalise une représentation graphique appelée une courbe.
Définition
Dans un repère du plan.
On appelle courbe représentative d’une fonction f sur D,
l’ensemble des points M de coordonnées (x;f(x)) avec x dans D.
Cette courbe sera notéeC .f
La relation y =f(x), avec x dans D est l’équation de la courbeCf
Exemple :
2
Soit f la fonction, qui, à tout x réel de D = [ 3; 3], associe f(x) =
21+x
Pour construire sa courbe, on procède aux étapes suivantes :
1) On programme sa calculatrice. (voir XXIV fiche 1 )
C’est à dire : on saisit le programme de calcul à réaliser pour calculer une image :
2Ici on programme f (x) = 2 : (1+x ), soit : ( + x )2 1 ^ 21b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
IV. COURBE D’UNE FONCTION 5
2) On affiche une table de valeurs de la fonction, ici avec pas de 0,5.
Un tableau de valeurs est :
x 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
f(x) 0,2 0,27 0,4 0,61 1 1,6 2 1,6 1 0,61 0,4 0,27 0,2
On peut alors obtenir les valeurs extrêmes pour x et f(x) :
Xmin = 3, Xmax = 3 et Ymin = 0, Ymax = 2.
Les saisir dans la calculatrice.
3) On cherche ensuite des unités pour obtenir un graphique de taille satisfaisante
(au moins 10 cm par 10 cm)
On propose un graphique avec 2 cm pour 1 unité sur (Ox) et 5 cm sur (Oy).
4) Dans le repère choisi, placer au moins 10 points de la courbe en utilisant le tableur.
5) On réalise enfin un tracé continu (sans lever la main) passant par les points placés et conforme au
graphique obtenu sur sa calculatrice.
Avec une échelle de 1/2
2
2
C :y =f
21+x
1 J
I
3 2 1 0 1 2 3
Remarque Si le point au début ou à la fin de la courbe est exclu on le marquera avec un demi-cercle.
2 2
1 1
3 2 1 0 1 2 3 3 2 1 0 1 2 36 CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS : PREMIÈRE PARTIE
Exercices : Document 1 : Tout
Programmer, lire
Exercices : Document 2 : Tout
Lectures graphiques
Exercices : 27, 29 page 29
Lectures graphiques
Exercice : Problème 44 page 32
Tableau de valeurs, courbe et algorithme