Cours 2008.2009b

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¾‡‡Ì‡Ìfi˛‡˛‡˛‰˛Ì¥¾Ì‡TERMINALE S LES SUITES NUMERIQUES Chapitre IX èreI- P RREESSEENNTATATITOIONN : :G :R GORSO SR ARPAPPELESL SD ED E1 1 S S 1- Définitions et notation s Déf1 :on appelles usiuteit en unmuméréiqriuqeu,e toute application de IN dans dIR’o ù (l’adjectinf unmuémriéqruiqe ue… ).ssuuiittee nnuumméérriiqquuee nnuumméérriiqquueeUne suite se note( (: U U ) ) ou ( ( (U U U) ) ou plus simpleme(n ( tU U () ) U, cette dernière notation étant la n nn INI n nn 0nnotation la plus utilis.ée On noteU l ’ilm’imagaeg ed ed el ’eln’etnietire rn antautruerl e(ln nplutôt que U ( n ) …). n U est appelél e terme général de la suite () ,) U ou encolre tler mter mde draen gra ng l eloe nu t eterrmee dnd’i’dniidciec en .n nnU estl el et etremrme ei niintiatila ld ed el al as usiuteit e() .() U U0 n Rmqs : - Concrètement, une suiteu nes tl isutne e deli stneo mdeb srenso…m bprar exemple : ( 1 , ,2 …² , n3 ² , … ). - Ne pas confondreU U qquui i ddééssigignnee uunn nnoombbrree eet t ( ( ) ) U qquui i ddééssigignnee uunnee ssu uitidetoenc une liste de n nnombres… - U désigne le terme d’indice n+1 et non + U1 …F aFitaeiste sa ttaetntetniotnio nà àl a lap opsoitsiiotnio ns usru rl a lald igulni ge n ed u n+1 n «+1 + 1+1 » ». Exs : - Soint )( lVa suite des carrés des entiers naturels.po uArlo rtso ut entier n,n =V ………………… V = …………………………. . Ce sont les termes d’indice ……… …………2n+1 - Soit ...

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• Publié par: Fyan
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TERMINALESLESSUITESNUMERIQUESChapitreIX ère I-PRESENTATION:GROSRAPPELSDE 1S 1- Définitions et notations  Déf1 :on appellesuite numérique, toute application de IN dans IR ( d’où l’adjectifnumérique… ). Une suite se note :( U n ) nÎIN ou( U n ) n³ 0  ou plus simplement( U n )cette dernière notation étant la , notation la plus utilisée.  On noteU n l’image de l’entier naturel n( plutôt que U ( n ) …). U n est appeléle terme général de la suite ( U n ), ou encorele terme de rangnoule termed’indice n. U 0 estletermeinitialdela suite (U n ). Rmqs : - Concrètement, une suite estune liste denombres… par exemple : ( 1 , 2 ² , 3 ² , … , n ² , … ). - Ne pas confondreU n qui désigneno un mbre et ( U n ) qui désigneune suiteune liste de donc nombres… -U n+1 le terme d’indice n+1 et non U désigne n 1 … + Faites attention à la position surlalignedu «+1». Exs : - Soit ( V n ) la suite des carrés des entiers naturels. Alors pour tout entier n, V n = …………………  V 2n+1 = …………………………. . Ce sont les termes d’indice ………………… - Soit ( W n ) la suite définie par W n = 3 n + 10. Le terme d’indice 2 est W 2 = ……… , le terme d’indice 10 est …………………. , le terme d’indice 2n est W 2n = ……………… Rmq bis : Une suite peut n’être définie qu’à partir d’un certain rang n 0 ; on la note parfois ( U n  ) ³ n 0 et son terme n 1 initial est U n . Par exemple, la suite des inverses, de terme général U n n’est définie que pour n= , ³1. n 0 2- Différents modes de génération d’une suite ( cf activité) a) Par une formule explicite On peut définir une suite par uneformule explicite, qui permet de calculer directement à partirde n le terme générald’indicen n Exs : La suite ( U n ) définie par : U n = 5 . U 3 = ………… Ou encore, ( V n ) définie par V n = 2n² – 7. V 10 = ……………. Cas particulier : Soit f une fonction définie sur [ 0 ; +¥ [ ( au moins ) .définir une suite (UOn peut n )en posant, pour toutentiernaturel n,U n = f ( n ). Ex : Soit f la fonction définie sur IR par f : x 3 x ² + 2 x + 5 et ( U n  ) la suite définie par : ½ ¾¾| U n = f ( n ).  Ainsi pour tout entier naturel n, on a : U n = 3 n ² + 2 n + 5. Pour calculer le terme d’indice n, il suffit de chercher l’image de n par f. On en déduit que : U 0 = 5 , U 1 = ………, U 2 , U=……... … n+1 = ……………………………………..…………………... b) Par une relation de récurrence Déf2 : on peut définir une suite parune formule de récurrence basée sur la donnée de deux informations:  Le termeinitialU 0 ( ou autre si la suite débute à un indice supérieur … )  Unerelation ditede récurrence quipermetde calculerU n+1 en fonction de U n ( un terme en fonction du terme précédent voire, de plusieurs termes précédents … ). Cas particulier : Soit f une fonction définie sur un intervalle I telle quef ( I )ÌI. On définit une suite (U n ) avec : La donnée de U 0 . La relation de récurrence : pour tout entier n,U n+1 = f ( U n ). Ex : Soit ( U n ) la suite définie par la formule de récurrence : U 0 = 0 et U n+1 = 2 U n Ainsi, pour tout+ 3. entier, U n+1 f ( U = n x ) = 2x + 3. On peut alors calculeroù f(  ) de proche en procheles tous termes de la suite. Calculons U 5 :

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Rmqs : - la donnée de U 0 et d’une relation de récurrence du type U n+1 = f ( U n ne permet pas toujours de ) 2 définir une suite … Ctre ex : U 0 = 1 et U n+1 = f ( U n  ) avec f( x ) = 2 – x - Si on change la valeur de U 0 alors on change de suite ! 3- Représentation graphique des suites a) Lorsque U n = f(n) Dans ce cas, il suffit de tracer f dans un repère du plan. La suite ( U n ) correspond àla suite des ordonnéesdes  points de la courbe d’abscisse entière. On lit directement U n sur l’axe des ordonnées. b) Lorsque U n+1 = f(U n ) ( dans le cas d’une suite définie par récurrence ) Dans ce cas, on peut obtenir une représentation de la suite à partir de la droite d’équation y = x et de la courbe f . U n se lit sur l’axe des abscisses …  + + + Ex : Soit f définie sur par f(x) = 3x+2. Après avoir remarqué que f( )Ìon définit la suite ( U , n ) par     U 0 = 0  la relation de récurrence : . Illustrons graphiquement cette suite :on trace f et la droite   U n+1 = f( U n ) d’équation y = x. y = x  f Explications:    U 0  U 1 U 2  U 3  U 4 II-PRINCIPE DURAISONNEMENTPARRECURRENCE(cf.activité ) On considère une proposition notée P n d’un entier n (souvent énoncée par récurrence). On souhaite dépendant démontrer que cette proposition est vraie pour n’importe quel rang n. On peut alors utiliser un raisonnement par récurrence basé sur trois étapes fondamentales : INITIALISATION:on s’assure que la proposition estvraie auranginitiale 0 ou n 0 suivant les cas. P 0 est vraie HEREDITE:on suppose qu’il existe un rangp pour lequel la propositionestvraieaurangp. ondémontrealorsque la propositionestvraieau rangp+1: P p est vraie⇒P p+1 est vraie CONCLUSION:on peut alors conclure que la proposition P n est vraie pour toutn³0 ou n³n 0 suivantlecas. "n³0 ou n³n 0 ,P n est vraie Rmq : concrètement, quand doit-on faire une démonstration par récurrence ? Lorsque c’est précisé dans les exercices (oh ?) ou lorsque l’on demande de prouver pour tout n une propriété souvent définie par une formule de récurrence.

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III-VARIATIONS D’UNE SUITE-SUITES MAJOREES ETMINOREES: RAPPELS ETCOMPLEMENTS 1- Définitions Déf3 : · Une suite ( U n  )est dite croissantessi, pour tout entier naturel n,U n £U n+1.  u 0 £u 1 £ u 2 £ …£ u n £ u n+1 £ … · Une suite ( U n  )est dite décroissantessi, pour tout entier naturel n,U n ³U n+1.  u 0 ³u 1 ³u 2 ³ …³u n ³ u n+1 ³… · ( UUne suite n  )est dite monotonelorsque elle estcroissante ou décroissante. Rmqs : - Si pour tout entier n, U n+1 = U n , la suiteest diteconstanteoustationnaire. - On peut donner les mêmes définitionsà partir d’un rang n 0 . n - Certaines suites ne sont ni croissantes, ni décroissantes ( U n …).= ( – 1 ) 2- Méthodes pour étudier les variations d’une suite ère a) 1méthode: on calculeU n+1 –U n : La suite sera croissante ssi U n+1 – U n ³0 pour tout entier n. La suite sera décroissante ssi U n+1 – U n £0 pour tout entier n. Explications : ( U n  ) est croissante ssi, pour tout entier naturel n, U n £ U n+1 , ce qui est équivalent à dire que la différence U n+1 – U n est positive soit : U n+1 – U n ³0 pour tout entier n. Même raisonnement pour une suite décroissante. Ex : ( U n ) est définie par une formule de récurrence du type : U n+1 = 2 U n ² + U n + 3. Etudions les variations de cette suite : U n+1 ème b) 2méthode: on calcule : U n Attention :seulement si les termes sont strictement positifs, on peut utiliser : U n+1 La suite sera croissante ssi³1 pour tout entier n. U n U n+1 La suite sera décroissante ssi£1 pour tout entier n. U n Explications : ( U n  ) est croissante ssi, pour tout entier naturel n, U n £ U n+1 , on divise par U n strictement positif donc on ne U n+1 change pas le sens de l’inégalité ... On obtient ainsi :³pour tout entier n. Même raisonnement pour une suite 1 U n décroissante. n Ex : ( V n ) est définie par V n tout entier n= pour ³1. Etudions les variations de cette suite : n 2 c) Lecasdessuitesdéfinies parU n = f ( n)( TRES RARE …carTRES BËTE …) Dans ce cas là, la suite et la fonction ont les mêmes variations.Pour avoirles variationsdelasuite,onétudieles variations de la fonction f:xf( x ) ( d’où le calcul de la dérivée …) ¾ | ¾| ½

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d) Etude par récurrence( souvent préciséedanslesexercices mais pas toujours … ) Utile danslecas desuitesdéfinies parrécurrencedu type U n + 1 = f(U n ):  U 0 = 4  Ex : soit ( U n ) la suite définie par : . Démontrons par récurrence que ( U n ) est décroissante :  U n+1 = U n 3- Suites bornées Déf4 : · Une suite ( U n  ) est ditemajoréessi il existe un réel M tel que : pour tout entier n,U n £M. M est appeléun majorant de la suite. · Une suite ( U n  ) est diteminorée: pour tout entier n, ssi il existe un réel m tel que U n ³m. m est appeléun minorant de la suite. · Une suite ( U n ) est ditebornéelorsqu’elle est à la fois minorée et majorée. Rmq : une suite croissante est forcément minorée par son terme initial et de même, une suite décroissante est majorée par son terme initial… IV–LIMITESDE SUITES Cf. rappels dans le chapitre I sur les suites convergentes, divergentes. Pour rappel : -unesuite convergente vers un réel l est une suite qui admet une limite l quand n tend vers +¥: lim U n = l. n| +¥ -une suite divergente vers ±¥ est une suite qui admet pour limite ±¥n tend vers + quand ¥: lim U n = ±¥. n| +¥ -une suite divergente tout courtune suite qui n’a pas de limite quand n tend vers + est ¥. Ex : n ( ( – 1) ) …  Rmq: on ne calcule les limites de suites qu’en +¥, et non en -¥ou 0 … n est un entier naturel qui va de 0 à … très très grand … Convergence et monotonie (ATTENTION:nouveauté de terminale ) Théorème1:soit ( U n ) une suite numérique.  Si ( U n ) estcroissante et majorée, alors elleconverge.  Si ( U n ) estdécroissante et minorée, alors elleconverge. Intérêt : démontrer que des suites sont convergentes. U 0 = 2  2 er Ex : SUITE DE HERON D’ALEXANDRIE : soit ( V n ) définie par   1 . Dans un 1 temps étudions   U n+ U n + 1 =  2  U  n 2 1   x + * sur IR + . Puis, démontrons par récurrence, d’une part que ( U la fonction f définie par f(x) = n  ) est 2  x  minorée par 2, d’autre part qu’elle est décroissante. Conséquence ? Enfin démontrons, encore par récurrence, 1 que : (U n – 2 )£U ( 0 – 2 ). Conséquence ? n 2 – cf. feuille de cours -

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V–LESSUITESADJACENTES(ATTENTIONNOUVEAUTÉ DETERMINALE) 1- Présentation Déf5: soient ( U n  ) et ( V n  ) deux suites numériques. ( U n  ) et ( V n  ) sontdites adjacenteslorsqu’ellesvérifienttrois points: -(U n ) est croissante -(V n ) est décroissante -(V n –U n ) CV, vers 0. Rmq : peu importe l’ordre entre U n et V n … Rmqbis : pour utiliser l’adjectif « adjacentes », il faut 2 suites …. Hein ! Rmqter : à partir de la définition, on a forcément :pourtout entier n,U n £V n . En effet, sinon : 2- Propriété des suites adjacentes Théorème2:soient ( U n ) et ( V n ) deux suites adjacentes. Alors, d’une partchacune desdeux suites(U n )et(V n ) est convergente. D’autre part,elles convergent vers la même limite l et l’on a : Pour tout n,U n £U n + 1 £ l £V n + 1 £V n . Preuve : - cf. feuille de cours -. Ex : ( U n ) et (V n ) sont deux suites définies par U 0 = 0, V 0 = 2 et pour tout entier naturel n : 3U n 3V+ 1 n + 1 U n + 1 V= et n + 1 = 4 4 Montrons que (U n ) et (V n ) sont adjacentes puis déterminons la limite commune : VI-LES SUITES ARITHMETIQUES 1- Définition parrécurrence Déf6 :on dit qu’une suite ( U n )est une suite arithmétique, lorsqu’il existe un réel r tel que pour tout entier naturel n , on aitU n+1 = U n + r. Le réel r est appeléraison dela suitearithmétique(U n ). Concrètement on asse d’un terme au terme suivant en ajoutant un nombre r toujours le même : u 0  u 1  u 2  u 3  u 4  u 5  + r + r + r + r + r + r Rmq : la raison peut aussi bien être positive que négative… Ex : La suite des entiers naturels est une suite arithmétique de raison 1. D’autres exemples dans ce qui suit :

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2- Méthodepourdémontrer qu’une suite est arithmétique

METHODE: On calcule la différence U n+1 –U n :  SiU n+1 –U n est égale à un nombre réel r, alors la suite est arithmétique de raison r.  SiU n+1 –U n est égale àtouteautre expression, comprenant n, alors la suite n’est par arithmétique. Ex : Soit ( U n ) la suite définie parU n = 4n+ 7. Montrons que c’est une suite arithmétique : Pour tout nÎIN, on aU n+1 –U n = 4 ( n + 1 ) + 4 – ( 4 n + 4 ) = 4. Ainsi pour tout n, on a U n+1 = U n et par conséquent, ( U+ 4 n ) est une suite arithmétique de raison 4. Prop1 :Plus généralement, tout suite ( U n ) définie parU n = a n + b ( où aÎIR et bÎIR )est une suite arithmétique de raison a et de premier terme b. Et réciproquement : 3- Formules explicites d’une suite arithmétique

Prop2 :Soit ( U n ) une suite arithmétique de premier terme U 0 et de raison r. Alors, pour tout entier naturel n , on a :U n =U 0 + n r. Plus généralement : Prop3 :Soit ( U n ) une suite arithmétique de raison r. Alors, pour tout entier p et m, on a : U p =U m + ( p–m) r. Preuve : Rmq : intérêts de cette formule : calculer un terme de rang quelconque dès qu’on connaît un terme et la raison ou encore, calculer la raison quand on connaît deux termes … Exs : - Soit ( U n ) la suite arithmétique définie par U 0 = 7 et r = 12 , alors U 6 =……………………………………………  - Soit ( U n ) une suite arithmétique telle que U 2 = 4 et U 4 = 10. Calculons la raison : 4- Variations d’une suite arithmétique( évident … )

Prop4:Soit ( U n ) une suite arithmétique de raison r. Si r > 0, la suite eststrictement croissante. Si r < 0, la suite eststrictement décroissante. Si r = 0, elle est bien entenduconstante… 5- Somme des termes consécutifs d’une suite arithmétique

Prop5 :Soit ( U n  ) une suitearithmétique. On noteSune somme de termesconsécutifsde cette suite. Alors : er (1terme + dernier terme) S = «nb de termes ×» 2 Preuve : ( à retenir ! ) u 7 + u 15 Exs : - S = U 7 + U 8 + … + U 15  = 9´ . 2

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er - Soit ( V n ) la suite arithmétique de 1 terme V 0 = 4 et de raison r = 3. Calculons la somme S des 100 premiers termes : -ARETENIR:S n somme des n premiers entiers naturels: S n =1 + 2 + … + n = VII-LES SUITES GEOMETRIQUES 1- Définition par récurrence Déf7 :On dit qu’une suite ( U n )est unesuitegéométriquessi il existe un réel q tel que pour tout entier naturel n , on aitU n+1 = q × U n . Le réel q est appeléraison delasuite (U n ). Concrètement, on passe d’un terme au terme suivant en multipliant par un nombre q, toujours le même. u 0  u 1  u 2  u 3  u 4  u 5 · ······ ´q´q´q´q´q Rmq : Cette raison sera supposée non nulle ( sinon la suite est constante égale à 0 à partir du rang 1…). D’autre part, cette raison peut aussi bien être positive que négative. 2- Méthode pour prouver qu’une suite géométrique U n+1 METHODE:On calcule le quotientlorsqu’on est sûr queU n n’est jamais nul! U n  Sinon,onccaallcculleeU n+1 et on prouve qu’il estégal à un nombre réel q fois U n . n Ex : Soit ( U n ) la suite définie par : U n = 3 × 4 . Montrons que c’est une suite géométrique. U n+1 Ici, U n est strictement positif donc on peut calculer le quotient. Pour tout nÎIN, on a = U n Ainsi pour tout nÎIN , on a U n+1 = U n et ( U× 4 n ) est une suite géométrique de raison 4. n Prop6 :plus généralement, toute suite ( U n ) définie parU n = a × q ( où aÎIR et qÎIR )est une suitegéométrique de raisonqetdepremierterme a. Et réciproquement : 3- Formules explicites d’une suite géométrique Prop7:Soit ( U n ) une suite géométrique de premier terme U 0 et de raison q . n Alors, pour tout entier naturel n , on a :U n =U 0 ×q. Plus généralement : Prop8: Soit ( U n ) une suite géométrique de raison q. Alors, pour tout entier p et n, on a : n–p U n =U p ×q. Ex : Soit ( U n ) la suite géométrique définie par U 1 = 2 et q = 3 , alors U 4 =

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