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METHODOLOGIE STATISTIQUEMounir MesbahCOURS 6Mardi 9 Novembre 2010METHODOLOGIE STATISTIQUE    Cours 6              Mardi 9 Novembre 2010Comparaison de deux moyennes observéesPetits échantillons (n ou n < 30)1 2• Hypothèses testées                H : μ = μ H : μ ≠ μo  1 2 1 1 2 ‐Observations attendues si H : μ = μ est vraie  :o  1 2m-m12T = 22ss+nn12suit une loi de Studentà n +n ‐2 ddl1 2• Test :   On calcule la valeur de T observée sur l’échantillon : m-m12t = O 22ss+nn12On rejette Ho si |t | ≥ to n1+n2‐2;α/2• Conditions d'application ‐distribution de X normale dans les 2 populationsPage : 2‐variances de X égales dans les 2 populations1METHODOLOGIE STATISTIQUE    Cours 6              Mardi 9 Novembre 2010ExempleParmi 42 sujets obèses, 20 ont eu un régime amaigrissant A et 22 un régime B.Pour chaque sujet, le régime a été tiré au sort.Y a‐t‐il un rééigime plus efficace que l'autre ?• H : μ = μ H : μ ‡ μo A B 1 A Bμ et μ variation de poids moyenne vraie avec  les régimes A et B.A B 2• Régime A : n = 20 m = 3,9 kg            = 2,6sA A A2sRégime B : n = 22 m = 2,9 kg              = 1,8BB B• Conditions d'application (échantillons petits) :‐la distribution de la variation de poids est normale avec les 2 régimes‐les variances de la variation de poids avec les 2 régimes sont égales‐Estimation variance commune : 22(n -1)s +(n -1)s (20−×1) 2,6+(22−1)×1,82 AABBs 2===,18n+n-2 20+−22ABPage  ...

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METHODOLOGIE  STATISTIQUE Mounir   Mesbah

COURS  6

Mardi  9  Novembre  2010

METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  6               Mardi  9  Novembre  2010 Comparaison   de   deux   moyennes   observées Petits   échantillons   (n 1 ou   n 2 <   30)    Hypothèses   testées                  H o   :   μ 1 =   μ 2 H 1 :   μ 1 ≠ μ 2   ‐ Observations   attendues   si   H o   :   μ 1 =   μ 2 est   vraie    : T =  m 1 -m 2 2 2 s s + n 1 n 2 suit   une   loi   de   Student à   n 1 +n 2 ‐ 2   ddl    Test   :     On   calcule   la   valeur   de   T   observée   sur   léchantillon   :   m -m t O = 2 12 2 s s + n 1 n 2 On   rejette   Ho   si   |t o | ≥ t n1+n2 ‐ 2; α /2    Conditions   d'application   ‐ distribution   de   X   normale   dans   les   2   populations ‐ variances   de   X   égales   dans   les   2   populations

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METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  6               Mardi  9  Novembre  2010

Exemple Parmi   42   sujets   obèses,   20   ont   eu   un   régime   amaigrissant   A   et   22   un   régime   B. Pour   chaque   sujet,   le   régime   a   été   tiré   au   sort.   a ‐ t ‐ un   r g me   p us   e cace   que   autre      H o :   μ A =   μ B H 1 :   μ A  μ B μ A et   μ B   variation   de   poids   moyenne   vraie   avec    les   régimes   A   et   B.    Régime   A   :   n A =   20   m A =   3,9   kg        s    2 A       2,6 = s 2 Régime   B   :   n B =   22   m B =   2,9   kg           B       =   1,8    Conditions   d'application   (échantillons   petits)   : ‐ la   distribution   de   la   variation   de   poids   est   normale   avec   les   2   régimes ‐ les   variances   de   la   variation   de   poids   avec   les   2   régimes   sont   égales ‐ Estimation   variance   commune   :   − × 6 + (22 − 1) × 1, s 2   = (n A -1)s 2 A +(n B -1)s 2 B = (20 1) 2, 8 = 2,18 n +n -2 20 + 22 − 2 A B Page   :   3

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  Test  de  Student A B 9 t O  = m s 2 -m s 2 =  2,1 3,9- 1 2, 1 =2,19 > 2,021 = t 40; 0,025   n +  n  8(  2 0 + 2 2 ) rejet   de   Ho 2×0,01   =   2% <      p   =   P(|t 40 | ≥ |t o |   =   |2,19|)   <    2×0,025   =   5%

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  Conclusion 1.   Ju ement   de   si nification ‐ il   y   a   une   différence   significative   entre   les   variations   de   poids   après   les   régimes   A   et   B. ‐ le   degré   de   signification   est    2%   <   p   <   5% ‐ la   différence   est   dans   le   sens   d'une   diminution   de   poids   plus   forte   avec   le   régime   A 2.   Jugement   de   causalité ‐ la   différence   est   due   au   régime   ( causalité )   car   les   régimes   ont   été   tirés   au   sort . Le   régime   A   est   plus   efficace   que   le   régime   B.

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Comparaison  de  deux  moyennes  quand  les  conditions   dapplication   du   test   T   ne   sont   pas   satisfaites          Lhypothèse   de   normalité   est   dimportance   relativement   secondaire.    Lhypothèse   dégalité   des   variances   nest   pas   fondamentale   dun   point   de   vue   pratique   lorsque   les   effectifs   des   échantillons   sont   égaux. Les   variances   ne   doivent   cependant   pas   être   trop   différentes   (par   exemple,   rapport   inférieur   à   3). En   pratique,   il   reste   surtout   un   problème   lorsque   les   effectifs   des   2   échantillons   sont inégaux   et   les   variances   différentes

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METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  6               Mardi  9  Novembre  2010 Comparaison   de   deux   moyennes Effectifs   petits   et   inégaux Variances   différentes m -m On   montre   que t ' O = 2 12 2 s 1 + s 2 n 1 n 2 suit   approximativement   une   loi   de   Student avec   ddl =   lentier   le   plus   proche   de   k   donné   par   : 2 2 s 1 + s 2 k = 2 2  2  2 1 ⎡ ⎢ s 1 ⎤ ⎥ + 1 ⎡ ⎢ s 2 ⎤ ⎥ n 1 − 1 ⎣ n 1 ⎦ n 2 − 1 ⎣ n 2 ⎦

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METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  6               Mardi  9  Novembre  2010 Exemple Echantillon   1   :    n 1 =   13             m 1 =   2,7             s² 1 =   1,2 Echantillon   2   :    n 2 =   7                m 2 =   4,6   g         s² 2 =   5,2   g Effectifs   petits   et   inégaux,   variances   différentes t ' O = m 21 -m 2 2 = 2,7-4,6 = − 2, 08 s 1 + s 2 1, 2 + 5, 2 n 1 n 2 13 7 T ' O   ∼   Student à k' ddl, avec k' l'entier le plus proche de : s 2 s 2 n 1 n 2 = 13 7 = ⎤ k =  n 1 1 − 1 ⎢ ⎣ ⎡ s n 1 2 1 ⎦ ⎥ ⎤ 2 + n 2 1 − 1 ⎣ ⎢ ⎡ s n 2 2 2 ⎦ ⎥ ⎤ 2 1 1 2 ⎢ ⎣ ⎡ 1 1 , 3 2 ⎥ ⎦ ⎤ 2 + 1 6 ⎢ ⎣ ⎡ 5, 7 2 ⎥ ⎦ 2 7, 57 soit   k   =   8   ddl.   t 8; α /2 =   t 8;   0,025   =   2,306 On   ne   met   donc   pas   en   évidence   de   différence   entre   les   deux   moyennes. Conditions   de   validité   :   distributions   normales.

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METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  6               Mardi  9  Novembre  2010 Alternative   :   Test   de   Wilcoxon Mann ‐ Whitney : Soit   le   problème   de   comparer   les   distributions   de   deux   variables   quantitatives   au   vu   dun   échantillon   de   chacune.   Exemple : comparer   la   distribution   du   taux   de   cholestérol   dans   un   groupe   ayant   reçu   un   traitement   à   celle   dun   groupe   ayant   reçu   un   placebo   A=   prise   dun    médicament ;   B=   prise   dun   placebo On   mesure   chez   les   individus   du   groupe   A,   le   caractère   quantitatif    que   nous   notons   X.   On   observe   donc   un   échantillon   (X 1 ,   ,   X n(A) ) de   la   loi   de   X.    La   taille   de   léchantillon   est   n(A)   =   n A . Sur   le   deuxième   groupe   B,   on   mesure   aussi   le   caractère   quantitatif,   qui   est   noté   Y.   Les   valeurs   observées   sont   Y 1 ,   ,   Y n(B) La   taille   de   léchantillon   est   n(B)   =   n B .   Notons   n=n A +n B ,   leffectif   cumulé   des   deux   échantillons. Les   distributions   théoriques   de   X   et   de   Y   sont   inconnues.              .  H 0 :   Distribution   théorique   de   X   =   Distribution   théorique   de   Y Contre   lhypothèse   alternative: H 1 :   Lune   des   deux   distributions   théoriques   est   décalée   par   rapport   à   lautre.

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METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  6               Mardi  9  Novembre  2010 Test   de   Wilcoxon Mann ‐ Whitney L'idée   du   test   de   Wilcoxon est   la   suivante   :   On   rassemble   les   échantillons   A   et   B,   et   l'on   ordonne   les   valeurs,   Si   n A =   n B ,   théoriquement,   dans   léchantillon   global   ordonné,   sous   H 0 ,   on   devrait   observer   alternativement   une   valeur   de   X   et   une   valeur   de   Y   Si   par   contre,   on   observait   que   les   Y i sont   souvent   plus   grands   que   les   X i ,   ou   plus   petits,   ou   plus   fréquents   dans   une   certaine   plage   de   valeurs,   on   aura   des   doutes   sur   la   véracité   de   H 0 . On   commence   donc   par   déterminer   les   rangs de   chaque   observation   dans   l'échantillon   global.   Remarque : s'il   y   a   des   ex ‐ æquo ,   on   tire   au   hasard   un   des   deux   ordres   possibles :   si   X i0 =   Y j0 ,     on   décide   (à   laide   dun   tirage   au   sort   !)   i   ou   ii :   i)   X i0   <   Y i0 ,   ou   ii)   X i0   >   Y i0 .   On   obtient   ainsi   une   suite   mélangée   des   X i   et   des   Y j .            i    .       X C'est   la   statistique   de   Wilcoxon pour   léchantillon   de   la   variable   X.   La   loi   exacte   de   W X sous H 0 est   calculable.   Néanmoins,   pour   cette   année,   sa   connaissance   est    hors   programme. Page   :   10

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METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  6               Mardi  9  Novembre  2010

Test  de  Wilcoxon Mann ‐ Whitney On   montre   assez   facilement   que   les   moyennes   et   variances   théoriques    exactes   de   W X ,   sous   H 0 ,   sont : E(W ) =  n A (n A 2 +n B +1) et  Var(W ) =  n A n B (n 1 A 2 +n B +1) X      X Loi   approchée   de   W X sous H 0 : Pour   les   grandes   valeurs   des   tailles   déchantillon,   on   montre,   sous   l'hypothèse   H 0 ,   le   résultat suivant : Z = W X − n A ( n A + n B + 1) / 2 ∼ N 0,1 n A n B n A + n B + En   pratique,   on   considère   que   le   résultat   est   valide   dès   que   (n A +n B ) ≥ 20 . Aucune   condition   sur   la   loi   des   variables   dorigine   :   cest   un   test   non   paramétrique. Cest   un   test   de   Student sur   les   rangs   des   observations. Page   :   11

METHODOLOGIE  STATISTIQUE     Cours  6               Mardi  9  Novembre  2010 Exemple On   observe   2   échantillons   de   taille   10   :    les   conditions   de   validité   sont   réunies.   Groupe   A :4,6 ;   2,1 ;   7,3 ;   3,0 ;   5,8 ;   4,2 ;   0,6 ;   2,1 ;   1,4 ;   6,3 Groupe   B :   7,0 ;   4,4 ;   2,3 ;   6,8 ;   3,5 ;   0,5 ;   7,4 ;   6,0 ;   7,6 ;   4,6. Les   observations   ordonnées   dans   l'échantillon   global   de   taille   20   regroupé   (les   valeurs   X i du   premier   échantillon   sont   soulignées).   0,5 ;   0,6 ;   1,4 ;   2,1 ;   2,1 ;   2,3 ;   3,0 ;   3,5 ;   4,2 ;   4,4 ;   4 ;6 ;   4,6 ;   5,8 ;   6,0 ;   6,3 ;   6,8 ;   7,0 ;   7,3 ;   7,4 ;   7,6 Les   rangs   sont   donc : 1;    2;    3;   4;   5;   6;   7;   8;   9;   10;   11;   12;   13;   14;   15;   16;   17;   18;   19;   20 La   statistique   W X prend   la   valeur   :    2+   3+4+5+7+9+12+13+15+18   =   88 Les   valeurs   du   premier   échantillon   ont   tendance   à   être   plus   petites   que   celles   du   second.            ,          gauche   (rejet   d'une   valeur   trop   petite   de   W X ).   ‐ Au   risque   α =5% ,   on   rejettera   si   z 0 <   1,   64. 0 W X − n A ( n A + n B + 1) / 2 88 − 10(10 + 10 + 1) / 2 − 17 1  28 z = = = ≅ − , n A n B ( n A + n B + 1) /12 10 x 10(10 + 10 + 1) /12 5 7 On   ne   rejette   pas   H 0 .   Page   :   12

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