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• Publié par: Enyo
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• Langue: Français

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Anneaux, idéaux, corps
1 Anneaux, corps
Définition 1.1. Un anneau est un ensembleA, muni de 2 lois de composition interne (LCI),
généralement noté par + (addition) et ∗ (multiplication) telles que
1. (A,+) est un groupe commutatif avec l’élément neutre noté par 0 .A
2. La multiplication ∗ est associative, c.a.d (a∗b)∗c =a∗(b∗c) et possède un élément
neutre noté par 1 .A
3. La multiplication est distribitive par rapport à l’addition, c.a.d
a∗(b+c) =a∗b+a∗c ,(a+b)∗c =a∗c+b∗c
pour tout a,b,c∈A
Si la lois ∗ est commutative, on dit que l’anneau A est commutaitif.
Remarques 1.2. 1) Il est facile de voir que 0 .a =a.0 pour tout a∈A.A A
2) Dans la défintion, on ne demande pas que 0 = 1 . Mais si 0 = 1 , alors pour toutA A A A
a∈A, on a a =a∗1 =a∗0 = 0 d’où A = 0. L’anneau A n’est pas intéressant.A A
3) Dans la litérature, on adopte parfois une défintion plus générale d’un anneau dans laquelle
on ne demande pas que la lois ∗ possède un élément neutre.
Exemples 1.3. 1) (Z,+,∗),(Q,+,∗),(R,+,∗) sont des anneaux commutatifs
2) (M (R),+,∗) est un anneau non-commutatif si n> 1. Pourquoi?n
3)L’ensembledesfonctionsd’unensembleX dansRestunanneaupourleslois: (f+g)(x) =
f(x)+g(x), (f ∗g)(x) =f(x)g(x)
14) L’ensemble des fonctions intégrables L (R,R) n’est pas un anneau. Pourquoi?
5) Rappelons qu’on définit l’addition surZ/nZ ={0,1,...,n−1} par a+b = (a+b) et que
cette opération donne une structure de groupe cyclique sur Z/nZ. De plus, si on définit la
multiplication sur ce groupe par a.b = (ab), alorsZ/nZ est un anneau.
Proposition1.4. (Formule binomiale de Newton) Pour touta,b dans un anneau commutatif
A et n entier positif, on a :
nX n!n i i n−i i(a+b) = C ab où C =n n
k!(n−k)!
i=0
Démonstration. Onpourraéffectuerladémonstrationparrécurrenceenultilisantlaformule:
n i i−1C =C +C . Je laisse la détailler aux lecteurs.i n−1 n−1
Définition 1.5. Soit a un élément de l’anneau A. On dit que
1. a est inversible si il existe b∈A tel que a∗b =b∗a = 1
2. a est un diviseur de 0 à droite (resp. à gauche) si a = 0 et qu’il existe b = 0 tel que
b∗a = 0 (resp. a∗b = 0)
n3. a est nilpotent si a = 0 et qu’il existe n> 0 tel que a = 0
Remarques 1.6. 1) Si A = 0, tout élément inversible n’est pas un diviseur de 0
2) Un élément nilpotent est toujours un diviseur à droite et à gauche de 0
3) QuandA est commutatif, la notion de diviseurs à droite et celle à gauche sont les mêmes.
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×L’ensemble des éléments inversibles de l’anneau A pour la multiplication est noté par A .
× ∗C’est un groupe pour la lois ∗. Attention : Il ne faut pas confondre A avec A =A\{0}.
× ∗ × ∗Exemples :R =R maisZ ={1,−1} =Z .
Définition 1.7. Un anneau non-nul commutatif A est intègre si il n’a pas de diviseur de
0. Cela veut dire que pour tout a,b ∈ A, ab = 0 implique a = 0 ou b = 0. Un corps K
× ∗est un anneau différent de {0} tel que K = K . Autrement dit, tout élément non-nul
de K est inversible. Un corps commutatif est à la fois un corps et un anneau commutatif.
Desormais, lorsqu’on parle d’un corps, sauf mention contraire, on sous-entend que c’est un
corps commutatif.
Proposition1.8. Un sous-anneau d’un corps est un anneau intègre. En particulier, un corps
est certainement un anneau intègre.
Définition 1.9. SoitB un sous-ensemble deA, stable pour les lois de composition +,∗ sur
A. On dit queB est un sous-anneau deA si les lois +,∗ donnent une structure d’anneau sur
B et que 1 = 1 .B A
Définition 1.10. SoitK un sous-ensemble d’un corpsL, stable pour les lois de composition
surL. On dit queK est un sous-corps deL si ces lois donnent une structure de corps surL.
On dit aussi que L/K est une extension de corps.
Remarque 1.11. Dans la défintion d’un sous-anneau, on demande que 1 = 1 mais dansB A
la défintion d’un sous-corps, cette condition se déduit automatiquement. Pourquoi?
Exemples 1.12. 1) Z est un anneau intègre mais pas un corps. C’est un sous-anneau de
corpsQ.
2)Q,R sont les sous-corps deC.
3) L’anneauZ/4Z n’est pas intègre.
4) Soit p un nombre premier. L’anneauZ/pZ est un corps (Pourquoi? ). On noteF .p
05) L’ensemble des fontions continues C (R,R) n’est pas un anneau intègre.
Définition 1.13. Un morphisme d’anneauxφ : (A,+,∗)→ (B,+,∗) est une application de
A dans B telle que
1. φ(x+y) =φ(x)+φ(y)
2. φ(x∗y) =φ(x)∗φ(y)
3. φ(1 ) =φ(1 )A B
On dit que φ est un ismorphisme d’anneaux si de plus il est bijectif au sens ensembliste.
Exemples 1.14. 1) L’application naturelleZ→Z/nZ est un morphisme d’anneaux.
2) L’applicationR→M (R), r →r.I est un morphisme d’anneauxn
3) Soit F l’ensemble des fonctions X → R. Alors, φ : f → f(0) définit un morphismeX
d’anneaux F →RX
4) L’application det :M(n,R)→R n’est pas un morphisme d’anneaux. Pourquoi?
Proposition1.15. Pour tout anneauA, il existe un unique morphisme d’anneauφ :Z→A.
Démormais, on noten , voiren si il n’y a pas d’ambiguité pour désigner l’élémentφ(n)∈A.A
Proposition 1.16. L’image d’un morphisme d’anneaux est un anneau.
2−1Attention! Contrairement aux morphismes de groupes, le noyau Kerφ = φ (0) d’un mor-
phisme d’anneaux φ : A → B n’est jamais un sous-anneau de A sauf que si B = 0 (pour-
quoi?). Dans la suite, nous allons voir que celui-ci est un idéal deA. Cela explique la raison
pour laquelle c’est plus intéressant d’étudier les idéaux d’un anneau que ses sous-anneaux.
Proposition 1.17. Soit K un corps et A un anneau. Soit φ : K → A un morphisme
d’anneaux non identiquement nul. Alors, il est injectif. En particulier, tout morphisme de
corps K → L est injectif. Si on indentifie K avec son image dans L, on dira que L/K est
une extension de corps.
Définition 1.18. SoientA ,A ,..,A des anneaux. On définit les LCI surA ×A ×...×A1 2 n 1 2 n
par :
0 0 0 0 01) (a ,a ,...,a )+(a ,a ,...,a ) = (a +a ,a +a ,...,a +a )1 2 n n 1 2 n1 2 1 2 n
0 0 0 0 02)(a ,a ,...,a ).(a ,a ,...,a ) = (a a ,a a ,...,a a )1 2 n n 1 2 n1 2 1 2 n
Ces LCI donne une structure d’anneau sur A ×A ×...×A . On appelle le produit des1 2 n
anneaux A ,A ,...,A .1 2 n
Définition 1.19. La projection sur la i-ième composante π :A ×A ×...×A →A esti 1 2 n i
un morphisme d’anneaux.
Remarque 1.20. Attention! Il n’existe pas de morphisme d’anneaux au sens inverseA →i
A ×A ×...×A comme dans la situation des groupes.1 2 n
2 Idéaux et Anneaux quotients
Définition 2.1. SoitI un ensemble d’un anneauA. On dit queI est un idéal deA si (I,+)
est un sous-groupe de (A,+) et que pour tout a∈A et x∈I, alors ax,xa∈I.
Exemples 2.2. 1) {0} et A sont des idéaux de A.
0 0 0 02) Si x ,x ,..,x ∈A, l’ensemble xA = {a x a +a x a +...+a x a |a,a ∈A} est un1 2 n 1 1 2 2 n n i1 2 n i
idéal de A. On l’appelle l’idéal engendré par x. On note (x ,x ,...,x )1 2 n
Définition 2.3. On dit qu’un anneau A est principal si il est intègre et tout idéal I de A
est engéndré par un seul élément.
SoitI un idéal deA. On définit surA la relation suivante :a∼B ssia−b∈I. Il est facile de
voir que cette relation est une relation d’équivalence surA. On définit les lois de composition
sur A/∼ par :
1) [a]+[b] = [a+b]
2) [a]∗[b] = [ab]
Proposition 2.4. Ces LCI ci-dessus sont bien définie et donne une struture d’anneau sur
A/∼. On l’appelle l’anneau quotient de A par l’idéal I et on note A/I
Démonstration. Il est évident de voir que l’addition est bien définie et que les lois de compo-
sition vérifie des axioms d’un anneau. Il reste donc à montrer que la multiplication est bien
0 0définie. Soit a et b dans les mêmes classes d’équivalence que a et b. Alors,
0 0 0 0 0ab−ab = (a−a )b+a (b−b )∈I
0 0car (a−a ) et (b−b ) sont dans I.
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=
=

/
/

Proposition 2.5. 1) Si A est commutatif, alors A/I l’est aussi
2) La projection π :A→A/I est un morphisme d’anneaux.
Proposition 2.6. Soit φ : A → B un morphisme d’anneaux. Alors I = Ker(φ) est un
idéal de A. Soit π : A → A/I la projection. Il existe un unique isomorphisme d’anneaux
ψ :A/I → Img(φ) tel que φ =ψ◦π. On dit que φ se factorise à travers ψ et le diagramme
suivant est commutatif :
φ
A B
ψ
π
A/I
Démonstration. Le morphisme qu’on cherche est ψ : A/I → B, [a] → φ(a). Je laisse les
vérifications aux lecteurs.
3 Corps des fractions d’un anneau intègre
Soit A un anneau intègre. Considérons l’ensemble
S ={(a,b)|a,b∈A, b = 0}
0 0 0 0 0 0Si (a,b),(a,b )∈S vérifie ab =ab, on écrit (a,b)∼ (a,b ). La relation ∼ définie sur S est
une relation d’équivalence. On pose K = S/ ∼ et on définit l’addition et la multiplication
sur K par
0 0 0 0 01. (a,b)+(a,b ) = (ab +ab,bb )
0 0 0 02. (a,b)∗(a,b ) = (aa,bb )
Proposition 3.1. 1) Les opérations ci-dessus sont bien définies sur K. De plus, l’ensemble
K muni de ces deux lois est un corps commutatif. L’element neutre de + (resp ∗) son