Cours de calcul infinitésimal

Guillaume Jules Hoüel

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Extrait

COURS
CALCUL INFINITÉSIMALVILLARSIMPRIMERIE DE GAl'TUIEU- ,
Quai des Aagustins, 65.COURS
INFmiTÉSLML,CALCUL
HOUEL,Par J.
Mathémaliqucs pures à la Faculté Jos Sciences de BorJoProfesseur de
TOME PREMIER.
'hf^
*V
PARIS,
IMPRIMEUR-LIBRAIREGAUTHIER-VILLÂRS,
LONGITUDES, DE l'ÉCOLEDU BUREAU DES POLYTECHNIQUE,
SUCCESSEUR DE MALLET-CACHELIER,
Quai des Auguslins, ijj.
1878
droits résonés.)iTous.
î
503.
PRÉFACE.
Ce Traité est en grande partie la reproduction de mes Leçons
qui ont été publiées en et et tirées à unaulographiées, 1871 1872,
petit nombre d'exemplaires. Ce tirage, ayant été prompteraent
édition complète, miseépuisé, j'ai pensé qu'une plus au courant
des nouveaux programmes de l'Enseignement supérieur, pourrait
rendre quelques services aux aspirants à la licence es Sciences
matliématiques, et j'ai profité du bienveillant concours queM. Gau-
thier-Villars s'est empressé de m'accorder pour celle publication.
L'Ouvrage est divisé en six Livres, précédés d'une Introduction,
dans laquelle j'expose diverses notions préliminaires, utiles ou
qui suit.même nécessaires pour la lecture de ce
Le premier des trois Chapitres qui composent cette Introduction
contient les principes généraux du Calcul des opérations considé-
rées au point de vue le plus abstrait, indépendamment de leur
nature intrinsèque et de celle des quantités qui leur sont soumises,
et en ayant égard uniquement à leurs propriétés coinbiiiatoires
Ces notions, cjue l'on peut d'ailleurs laisser de côté dans une pre-
parumière lecture de l'Ouvrage, m'ont indispensables pour le
lecteur qui veut se familiariser avec les considérations, d'un degré
d'abstraction de plus en plus élevé, qu'exigent les progrès de
l'Analyse, à mesure que l'objet de ses recherches devient de plus
en plus compliqué.
La méthode que j'ai adoptée est celle qu'a suivie Hankel dans
ses Korlesuiigen ûber complexe Zahlen. J'ai seulement remplacéPREFACE.
les notations de cet auteur par celles dont Grassniann a fait usage
dans ses ouvrages, et qui ont l'avantage de se prêter facilement à
la généralisation, parce qu'elles ne rappellent par leur forme au-
cune des notations usuelles, tout en permettant de conserver aux
calculs la disposition à laquelle on est habitue.
Ces notions sont éclaircies par l'application que j'en fais, dans
le Chapitre suivant, à la généralisation de l'idée de quantité, con-
duisant successivement des quantités a?-ithniétiques aux quantités
négatives et aux quantités imaginaires ou complexes.On estamené
quantités par la résolutionà la considération de ces des équations
du premier et du second degré, lorsqu'on veut étendre à tous les
les propriétés reconnues dans lescas cas où ces équations sont
arithmétiquement résolubles; on reconnaît ensuite que les mêmes
symboles suffisent pour la résolution générale des équations algé-
briques de tous les degrés. Les opérations auxquelles ces symboles
doivent être soumis ne diffèrent en rien par leurs propriétés (')
des opérations analogues relatives aux quantités arithmétiques, et
l'admission de ces symboles ne pouvant amener à aucune consé-
quence contradictoire, le calcul de ces quantités, considérées au
point de vue purement abstrait, est assis dès lors sur des bases
certaines, et ne peut conduire qu'à des résultats absolument vTais.
Mais, si les exigences de la Science pure se trouvent ainsi com-
plètement satisfaites, il en est tout autrement des besoins de l'en-
Pour classer dans l'espritdes commençants, lesseignement. se idées
abstraites ne peuvent guère se passer d'une représentation par des
images physiques, sans laquelle il serait bien difficile d'en com-
prendre la signification et l'utilité. Jusqu'à ce que Descartes eût
représenté géométriquement les racines négatives des équations,
on les appela racines fausses. Jusqu'au jour où les travaux d'Ar-
gand et de Gauss ont découvert la traduction géométrique des
quantités complexes, elles n'ont cessé d'être regardées comme des
symboles imaginaires.
L'objet du Chapitre II est d'établir la possibilité de celte repré-
sentation. Après avoir rappelé la tliéorie connue des quantités né-
gatives, je démontre que les opérations sur le signe représentatif
(') Sauf en ce qui concerne Vunt'formité des opérations inversos de réIév.Ttion aux
puissances.