Cours de géométrie algébrique - Niveau M2

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Extrait

G´eom´etrie alg´ebrique, M2, Orsay
David Harari
2009/2010
Table des mati`eres
1. Notions de base sur les sch´emas 4
1.1. Spectre d’un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Notion de faisceau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3. Le faisceau structural sur SpecA . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4. Sch´emas-d´efinition g´en´erale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5. L’exemple des Proj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2. Morphismes de sch´emas 20
2.1. G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2. Points d’un sch´ema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3. Immersions ouvertes et ferm´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4. Morphismes finis et de type fini . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5. Recollements, produits fibr´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3. Quelques propri´et´es g´en´erales des sch´emas 39
3.1. Espaces topologiques noeth´eriens . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2. Sch´emas noeth´eriens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3. Sch´emas r´eduits, int`egres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4. Dimension 50
4.1. Dimension d’un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2. Dimension d’un sch´ema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3. Dimension et sch´emas de type fini sur un corps . . . . . . . . 54
4.4. Dimension et morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
15. Morphismes s´epar´es, propres, projectifs 58
5.1. Morphismes s´epar´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.2. Morphismes propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.3. Morphismes projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.4. Crit`eres valuatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6. Quelques propri´et´es locales 68
6.1. Sch´emas normaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.2. Sch´emas r´eguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.3. Morphismes plats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.4. Morphismes ´etales, morphismes lisses . . . . . . . . . . . . . . 84
7. Premi`eres propri´et´es des O -modules 87X
7.1. Notion d’O -module et d’O -module coh´erent . . . . . . . . . 88X X
7.2. Images directes et inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.3. Faisceaux quasi-coh´erents sur ProjS . . . . . . . . . . . . . . 94
7.4. Faisceaux amples et tr`es amples . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8. Cohomologie des faisceaux 104
8.1. Rappels d’alg`ebre homologique . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.2. Cohomologie d’un sch´ema affine noeth´erien . . . . . . . . . . . 110
8.3. Une r´eciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
ˇ9. Cohomologie de Cech et applications 117
ˇ9.1. Cohomologie de Cech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
9.2. Le th´eor`eme de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
9.3. La cohomologie de l’espace projectif . . . . . . . . . . . . . . . 121
9.4. Application aux morphismes projectifs . . . . . . . . . . . . . 124
10.Diviseurs, faisceaux inversibles, courbes. 126
10.1.Diviseurs de Weil sur un sch´ema . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
10.2.Diviseurs de Cartier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
10.3.Diviseurs et faisceaux inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
10.4.Courbes, th´eor`eme de Riemann-Roch . . . . . . . . . . . . . . 135
10.5.Formule de Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Les d´emonstrations en petits caract`eres sont celles qui n’ont pas ´et´e faites
en d´etailsen cours par manque de temps. Les r´ef´erencesen gras du type [AC,
n] r´ef`erent au n-i`eme r´esultat dans la liste des ´enonc´es d’alg`ebre commuta-
tive.
Merci `a MM. L. Cohen, B. Dylan, A. Vivaldi et S. Wonder, dont la
musique a souvent agr´eablement accompagn´e la r´edaction de ces notes.
2Introduction : pourquoi les sch´emas?
Classiquement, la g´eom´etrie alg´ebrique est l’´etude des sous-ensembles de
l’espace affine ou de l’espace projectif d´efinis par des´equations polynomiales
`a coefficients dans un corps k (ex. k = R;C;Q...); ce sont les ”vari´et´es
alg´ebriques” affines ou projectives :
P (x ;:::;x ) = 0 1iri 1 n
(ou` les P sont des polynoˆmes : cas affine)i
P (x ;x ;:::;x ) = 0 1iri 0 1 n
(ou` les P sont des polynoˆmes homog`enes : cas projectif).i
On peut d´efinir ensuite des vari´et´es alg´ebriques plus g´en´erales en recol-
lant des vari´et´es affines suivant des cartes, comme on le fait en g´eom´etrie
diff´erentielle ou analytique sur R ou C. Toutefois, sur un corps quelconque,
on doit se contenter d’une topologie assez grossi`ere, la topologie de Zariski,
dans laquelle les ferm´es sont grosso modo les sous-ensembles d´efinis par des
´equations polynomiales suppl´ementaires. Or si on prend ce point de vue, on
se heurte assez vite `a des difficult´es :
a) Quand le corps de basek n’est pas alg´ebriquement clos, des ´equations
2tr`es diff´erentes peuvent d´efinir le mˆeme ensemble (ex.x +1 = 0 etx+1 =x
sur R donnent ;); en termes plus math´ematiques, il n’y a pas de th´eor`eme
des z´eros de Hilbert satisfaisant.
b) On aimerait avoir un moyen rigoureux de traiter les questions de
”multiplicit´es”, par exemple dire que sur un corps alg´ebriquement clos, deux
courbesplanesdedegr´esm;nsecoupentenmnpoints(dontcertainspeuvent
2´eventuellement ˆetre confondus); en gros, l’´equation x = 0 ne doit pas cor-
respondre `a la mˆeme chose que x = 0.
c) On a souvent envie de parler de point suffisamment g´en´eral; typi-
quement si on regarde la famille de coniques affines (param´etr´ees par t)
2 2x y P(t) = 0 (ou` P est un polynoˆme non nul), on voudrait dire que
pour un t g´en´eral, cette conique est non d´eg´en´er´ee. Formaliser cette notion
n’est pas ´evident a priori, surtout si on travaille sur un corps fini, auquel cas
il n’y a pas identification entre polynoˆmes et fonctions polynoˆmes.
d) Enfin, si onveut notamment faire de l’arithm´etique, il n’yapas de rai-
son de se limiter aux ensembles d´efinis sur un corps. Regarder des ´equations
sur Z, et pouvoir les r´eduire modulo p est tr`es utile. Le probl`eme est que
si on se limite aux d´efinitions classiques des vari´et´es alg´ebriques, on est
embˆet´esionveutmontrerqu’onpeutfairecesop´erationsdefa¸conintrins`eque
(ind´ependante des ´equations choisies pour d´efinir notre vari´et´e).
3Le langage des sch´emas, introduit par Grothendieck `a la fin des ann´ees
50,permetdemieuxcomprendre toutescesquestions(etbiend’autres!).Son
principalavantageestqu’ilfournituncadreunifi´ecompl`etementg´en´eralpour
traiter des questions purement g´eom´etriques (sur un corps alg´ebriquement
clos), arithm´etiques (sur Z ouQ), r´eelles, ou encore pour ´etudier les familles
de vari´et´es.
1. Notions de base sur les sch´emas
Par convention, tous les anneaux seront suppos´es commutatifs, et avec
un ´el´ement unit´e. De mˆeme, ”corps” signifie corps commutatif (non r´eduit `a
f0g). On consid`ere ´egalement que l’anneau nul n’est pas int`egre (autrement
1dit A n’est pas un id´eal premier de A).
1.1. Spectre d’un anneau
nDe mˆeme qu’un ouvert hom´eomorphe `aR est le constituant´el´ementaire
d’une vari´et´e topologique, les spectres d’anneaux vont ˆetre les constituants
´el´ementaires des sch´emas.
D´efinition 1.1 SoitAunanneau.OnappellespectredeAetonnoteSpecA
l’ensemble des id´eaux premiers de A.
Exemples : a) Specf0g =;
b) SpecZ est l’ensemble des (p) avec p premier, union (0).
c) Si k est un corps, Speck =f(0)g.
d) Spec(k[t]) est l’ensemble des (P) avec P irr´eductible, union (0).
2e) Spec(k[t]=t ) est r´eduit a` un point (l’id´eal engendr´e par la classe det).
D´efinition 1.2 Pourtoutid´ealI deA,onposeV(I) =f}2 SpecA;}Ig,
et pour f 2A, on pose D(f) = SpecAnV(fA) =f}2 SpecA;f 62}g.
Noter que si I J, alors V(J)V(I).
Proposition 1.3 a) On munit SpecA d’une topologie (dite topologie de Za-
riski) en prenant pour ferm´es les ensembles de la formeV(I) avecI id´eal de
A.
b) Les D(f) pour f 2A forment une base de cette topologie.
1. En anglais, ”field” signifie corps commutatif, et un anneau int`egre (commutatif) se
dit ”integral domain”.
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D´emonstration : a) On note d´ej`a que V(A) = ; et V(f0g) = SpecA.T P
D’autre partsi (I )est une famille d’id´eaux deA, ona V(I ) =V( I ),r r rr r
car dire qu’un id´eal premier} contient touslesI revient a`dire qu’il contientrP
l’id´eal engendr´e I . Enfin si I et J sont deux id´eaux de A, on a V(I)[rr
V(J) = V(I \ J