CONFIGURATIONS DU2 PLAN ET REPÉRAGE1 Triangles1.1 Théorèmes des milieuxThéorème 1• La droite qui joint les milieux de deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté.• La droite qui passe par le milieu d’un côté d’un triangle et est parallèle à un autre côté coupe le troisième côtéen son milieu.• La longueur du segment qui joint les milieux de deux côtés d’un triangle est égale à la moitié de la longueurdu troisième côté.BIJCA1.2 Droites remarquablesThéorème 2Dans un triangle :• les 3 hauteurs sont concourantes en un point appelé orthocentre du triangle.• les 3 médianes sont concourantes en un point appelé centre de gravité du triangle.2Ce point est situé aux de chaque médiane en partant du sommet.3• les 3 bissectrices sont concourantes en point équidistant des 3 côtés du triangle. Ce point est le centre du cercleinscrit dans le triangle.• les 3 médiatrices sont concourantes en point équidistant des 3 sommets du triangle. Ce point est le centre ducercle circonscrit au triangle.B B0A0CH 0A0C GC C00 BBA AB0B A0COCI0BCAACONFIGURATIONS DU PLAN ET REPÉRAGE 7CoursSeconde 5 - 2010/20112 Triangle rectangle2.1 Théorème de Pythagore et sa réciproqueThéorème 3Soit ABC un triangle.2 2 2• Si ABC est rectangle en A alors BC ˘ AB ¯ AC .2 2 2• Si BC ˘ AB ¯ AC , alors ABC est rectangle en A.b2 2 2c a =b +ca2.2 Cercle circonscritThéorème 4Soit AMB un triangle.• Si AMB est rectangle en M, alors le centre de son cercle ...
Thorme 1 • Ladroite qui joint les milieux de deux cÔts d’un triangle est parallle au troisime cÔt. • Ladroite qui passe par le milieu d’un cÔt d’un triangle et est parallle À un autre cÔt coupe le troisime cÔt en son milieu. • Lalongueur du segment qui joint les milieux de deux cÔts d’un triangle est gale À la moiti de la longueur du troisime cÔt.
1.2 Droitesremarquables
A
J
B
I
C
Thorme 2 Dans un triangle : • les3 hauteurs sont concourantes en un point appelorthocentredu triangle. • les3 mdianes sont concourantes en un point appelcentre de gravitÉdu triangle. 2 Ce point est situ auxde chaque mdiane en partant du sommet. 3 • les3 bissectrices sont concourantes en point quidistant des 3 cÔts du triangle. Ce point est le centre ducercle inscritdans le triangle. • les3 mdiatrices sont concourantes en point quidistant des 3 sommets du triangle. Ce point est le centre du cercle circonscritau triangle.
A
A
B 0 A 0 C H
B
0 B
I
C
C
B 0 A 0 C G C 0 B A B 0 A 0 C O C 0 B A
CONFIGURATIONS DU PLAN ET REPÈRAGE7
Seconde 5 - 2010/2011
2 Trianglerectangle
2.1 Thormede Pythagore et sa rciproque
Thorme 3 SoitAB Cun triangle. 2 22 • SiAB Cest rectangle enAalorsB C=AB+AC. 2 22 • SiB C=AB+AC, alorsAB Cest rectangle enA.
2.2 Cerclecirconscrit
c
a
b
2 22 a=b+c
Thorme 4 SoitAM Bun triangle. • SiAM Best rectangle enM, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l’hypotnuse. • SiMest sur le cercle de diamtre [AB] alorsAM Best rectangle enM.
2.3 Trigonomtrie
A
O
M
B
Thorme 5 (Proprit et dfinition) SoitAB Cun triangle rectangle enAetαla mesure de l’angleAB C. AB ACAC Les rapports, et nedpendent que des angles du triangleAB C. B CB CAB On dfinit le cosinus, le sinus et la tangente deαde la faÇon suivante : AB ACAC cos(α)=sin(α)=tan(α)= B CB CAB
8COURS 2
α
c
a
b
c cosα= a b sinα= a b tanα= c
3 Paralllogrammes
Seconde 5 - 2010/2011
Dfinition 1C DUn quadrilatÈre ABest un parallÉlogramme si[AC]et[B D]ont le mme milieu. Ce milieu est appelÉcentredu parallÉlogramme.
A
D
I B
C
Thorme 6 Les cÔts opposs d’un paralllogramme sont parallles et de mme mesure.
3.1 Rectangles
A
D
k C
B
k
A
D
Dfinition 2Un rectangle est un quadrilatÈre qui a quatre angles droits. D C
A
B
B
C
Thorme 7 • Unparalllogramme est un rectangle si et seulement si il a un angle droit. • Unparalllogramme est un rectangle si et seulement si ses diagonales ont mme mesure.
3.2 Losanges
D
A
C
B
D
A
C
B
Dfinition 3Un losange est un quadrilatÈre dont les quatre cÔtÉs ont mme mesure. C D
A
B
Thorme 8 • Unparalllogramme est un losange si et seulement si il a deux cÔts conscutifs de mme mesure. • Unparalllogramme est un losange si et seulement si ses diagonales sont perpendiculaires.
CONFIGURATIONS DU PLAN ET REPÈRAGE9
Seconde 5 - 2010/2011
3.3 Carrs
A
D
B
C
A
D
B
C
Dfinition 4Un carrÉ est un quadrilatÈre qui est À la fois un rectangle et un losange.
4 Reprage 4.1 Dfinitions
Dfinition 5Soit d une droite. Soient O et Ideux points distincts de cette droite. Si M est un point de d, on appelleabscissede M dans lerepÈre(O,I)le nombre rÉel xMdÉfini de la faÇon suivante : O M • SiM∈[O I)alors xM= O I O M • SiM∉[O I)alors xM=− O I La droite d munie du repÈre(O,I)est appelÉedroite graduÉeouaxe graduÉ.
Remarque : l’abscisse d’un point sur une droite ne dpend pas de l’unit de longueur mais uniquement de la position relative des points.
Exemple : On considÈre la droite ci-dessous. DÉterminer l’abscisse de A dans le repÈre(O,I)puis l’abscisse de O dans le repÈre(I,A).
A OI O A •A∉[O I) donc l’abscisse deAdans (O,I) est−− =2 O I I O1 •O∈[I A) donc l’abscisse deOdans (I,A) est= I A3 Dfinition 6Un triplet de points(O,I,J)est appelÉrepÈredu plan si O, Iet Jne sont pas alignÉs. Le point O est appelÉoriginedu repÈre et les droites(O I)et(O J)sont lesaxesdu repÈre.
Dfinition 7Soit(O,I,J)un repÈre du plan. Soit M un point du plan. On appellecoordonnÉesde M le couple (xM;yM)dÉfini de la faÇon suivante : • Sion appelle Nle point d’intersection de la parallÈle À(O J)passant par Met de(O I), xMestl’abscissede N surl’axe graduÉ(O,I). • Sion appelle P le point d’intersection de la parallÈle À(O I)passant par Met de(O J), yMestl’abscissede P sur l’axe graduÉ(O,J). xMest appelÉabscissede M dans(O,I,J)et yMest appelÉordonnÉede M dans(O,I,J).
10COURS 2
J
P
O I
N
M
Exemple : DÉterminer les coordonnÉes de A et B dans le repÈre(O,I,J)ci-dessous. On trace les parallles aux axes passant par A. Les abscisses des points d’intersection sur (O,I) et (O,J) permettent d’crire :A(−1; 1). On trace les parallles aux axes passant par B. Les abscisses des points d’intersection sur (O,I) et (O,J) permettent d’crire :B(0,5; 2).
4.2 Milieud’un segment
A
à ! Thorme 9 xA+xByA+yB SiA(xA;yA),B(xB;yB) etIest le milieu de [AB] alorsI; 2 2
J
Seconde 5 - 2010/2011
O
B
Exemple : Dans un repÈre(O,I,J), on considÈre les points A(−4; 4)et B(2; 1). DÉterminer les coordonnÉes du milieu I de[AB]. µ ¶ xA+xB−4+2yA+yB4+1 55 On axI= == −1 etyI== =doncI−1; 2 22 22 2
4.3 Distances
Repre orthonormal
Soit (O,I,J) un repre du plan. On se donne une unit de longueur.
Dfinition 8On dit que(O,I,J)est orthonormal (ou orthonormÉ) si : • Lesaxes sontperpendiculaires; • OI=O J=1
Exemples :
J
O I
non orthonormal
Calcul de distances
Soit (O,I,J) un repre orthonormal.
1
J
O I
orthonormal
p Thorme 10 2 2 SiA(xA;yA),B(xB;yB) alo(xB−xA)+(yB−yA) rsAB=
Exemple : Dans un repÈre orthonormal, soit A(3;−1)et B(−1; 5). Calculer AB . ppp p 2 2 AB=(−1−3)+(5−(−1))=16+36=52=2 13.