Cours de mécanique des milieux continus

Damien Aza-Vallina

Description

Cours de LicenceM´ecanique des milieux continusCours par Laurent ChampaneyAmis sous LT X par Damien Aza-VallinaEversion du 26 novembre 2006Table des mati`eres1 Cin´ematique des milieux continus 11.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Temps : ”Rep´erage dans le temps ” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Espace : ”Rep´erage dans l’espace ”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Milieux continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Les repr´esentations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Notions de d´eformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.1 Solide rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.2 Une mesure de d´eformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.3 Compatibilit´e des d´eformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 Taux de d´eformation : Mesure des d´eformations en approche eulerienne . . . . 141.4.1 Gradient des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.2 Solide rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.3 Propri´et´es du tenseur des taux de d´eformation . . . . . . . . . . . . . . 141.5 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...

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Extrait

Cours

de

Licence

Me´caniquedesmilieux

continus

Cours par Laurent Champaney mis sous L A TEX par Damien Aza-Vallina

version du 26 novembre 2006

Tabledesmatie`res

1Cin´ematiquedesmilieuxcontinus 1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1Temps:”Repe´ragedansletemps”.................... 1.1.2 Espace : ” Reperage dans l’espace ” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.2 Milieux continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2Lesrepr´esentationsdumouvement..................... 1.3Notionsdede´formation............................... 1.3.1 Solide rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2Unemesuredede´formation......................... 1.3.3Compatibilit´edesde´formations....................... 1.4Tauxded´eformation:Mesuredesde´formationsenapprocheeulerienne.... 1.4.1 Gradient des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Solide rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3Propri´etesdutenseurdestauxded´eformation.............. ´ 1.5 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6Re´sume........................................ ´

2Sche´matisationdeseffortsinte´rieurs-NotiondeContrainte 2.1Rappelsurlasche´matisationdeseffortsint´erieurs................. 2.1.1 Point materiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Solide rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Cas d’un milieu continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

1 1 1 1 3 3 3 7 7 7 11 14 14 14 14 16 17

19 19 19 19 21

2.2.3

2.2.2

2.2.5

2.2.4

` TABLE DES MATIERES

2.2

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Etudedel’op´erateurdescontraintes

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Etatdecontraintesparticuli`eres

Op´erateurdescontraintes......

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Rappels : RDM - Poutres . . . . . .

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Hypothe`sesdebase..........

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2.2.1

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Sche´matisationdeseffortsinte´rieurs....

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21

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Chapitre 1

Cin´ematiquedesmilieuxcontinus

1.1 Rappels 1.1.1Temps:”Rep´eragedansletemps”

Fig.1.1 – Axe des temps

On se donne un espace des instantsτent´e,etdedimensoi1nqu,stiesenuecapenffiairo, surReA.nunitsossaynoe´nnodtnatdntme´eeln´euciτ, alors : t 0 t=τ u Siτune fois pour toute, alors on confond t etest choisi τ

1.1.2Espace:”Repe´ragedansl’espace” On utili     r sbo pe a e v r r d e cepa 0 e t d 0 s rue apec rrvseeuatob se un es 

´ L’espaced’observateuretl’observateursontge´n´eralementassocie´a`unreperagedansle temps.Pourlessolidesrigides(distanceentrelesdiff´erentspointsconstante),onutiliseun repe`repourchaquesolide.

D´efinition1.1.1erp`ese:RelcueeidiecapenffianE, muni d’un produit scalaire (pour mesurer lesdistances),oriente´etdedimension3.AlorsuncorpssolideΩn’est qu’un partie deE.

1

1.1 Rappels

2

–Lemouvementd’unpointparrapporta`Eeodts:tionaplrnne´ilaca’pp τ−→E t→7−M(t) –Sionchoisil’origineOdurepe`reEcnofnoittestd´efiniparunea,olsrelomvumene vectorielle τE−→ t→7−OM(t) – Si on choisi une baseB(e 1 , e 2 , e 3 reais.nsioalscntesvemeemouorslnotcraf3nfipidte´la,) τ−E→ t7→−x 1 (t) avec i = 1, 2, 3 ou`lesx i sont les composantes deOMsnadre`pereleR(O,B), alors n OM= X x i ∗e i i=1 – Si la baseBest choisie une fois pour toute, alorsEetRsont confondus. Les expression delavitesseVetdel’acce´l´erationΓsontalors: V(M, t) = MOd td = 3 X dx d i t (t) e i =x˙ i e i i=1 Γ(M, t) = d 2 t O d 2 M = 3 X d 2 x td i 2 (t) e i ¨ =x i e i i=1

1.2 Milieux continus

3

1.2 Milieux continus 1.2.1 Introduction –Objectif:D´ecrirelemouvementdescorpsphysiques(fluideousolide)parrapportau rep`ereR. –Choix:Observationa`unee´chelle”macroscopique”(onnes’int´eressepas`alastructure atomique). – A l’instant t, le corps occupe le domaine Ω(t). 1.2.2Lesrepre´sentationsdumouvement 1.2.2.1 Description Lagrangienne –Lemouvementestd´efiniparuneseuleapplication: [0, T]×Ω 0 E−→ (t, M 0 )−→7M= Φ(t, M 0 ) – A un instant t, l’ensemble des points M(t) est Ω(t). On notera Ω 0 = Ω(t= 0) – Pour unM 0 ´xfinetlcuiqoeeiruee´dlaeltaapatrrecjiiparl´eemseenntttea,iMt(itn)irte M 0 retodniannO.t:en´eiffmmre

Fig.1.2 – Description Lagrangienne du mouvement

OM= Φ(t, OM 0 ) M= Φ(t, M 0 ) M= Φ(t, M 0 ) Onauraalors,lafonctioncoordonne´equid´ependde4variable:x i = Φ i (t, x 1 0 , x 0 2 , x 3 0 ) Onentendpar”MilieuContinu”,unmilieuquidoitavoircertainconditionsdere´gularit´sur e Φ(t, M 0 ) , par exemple : 1.Auninstanttfixe´Φ t (M 0 ) est une bijection (donc Φ −1 ssannnaiuecoireq`tda’cseet,)xesit unpointM,onpeutconnaıˆtreM 0 , le milieu conserve alors ses orientations. 2.Φest2foisd´erivableparrapportautemps 3.Φestcontinˆntde´rivableparrapportaux i ( car 2 points proche ne peuvent que ume rester proche)

1.2 Milieux continus

Alors :

4

V(t, M 0 ) = ∂Φ(,Mt t∂ 0 Γ(t, M 0 ) ∂ 2 Φ ∂ (t, t 2 M 0 = Demani`ereg´en´eraleT:uoetrgnaedruerrpe´estne´aprf(t, M 0 )est´egale`valauelaedr lagrandeura`l’instanttetaupointinitialementenM 0 , par exempleρ(t, M 0 ) . De´finition1.2.1: On appelleΩ 0 .eedfero´mtaoinnno,configur ´ Remarque :LnoiargacsedtpirLa1.uieqerlicutiarnptaoigfirucenoeinul´egrivinnepngie de´penddeΩ 0 = Ω(t= 0)`’le´uteddsseocrpssolides.C.ettenredre`isteeenbiapadeet´ a 2. Pour les solides rigides on a alors :OM=A(t) +Q(t)OM 0 o’´pL.ionderatatioerotstne doncrepr´esente´epar:M N=Q(t)M 0 N 0 . 3.L´quencesintuitivesdesconditionsdere´gularite´sontalors: es conse

Fig.3–D´1.amniuΩdetodeitnofiein∂Ω – SiM 0 ∈Ω 0 , alors on aM(t)∈∂Ω(t). – SiM 0 6∈Ω 0 , alors on aM(t)6∈∂Ω(t)elangedemati`ereaCirnly’pasaed´m.ruopsel solides. – SiM 0 etN 0 sont voisins, alors pour tout instant t les pointsM t etN t sont voisins. – Un voisinage deM 0 est alors aussi un voisinage deM 1.2.2.2 Description Eulerienne

Fig.1.4 – Description Eulerienne du mouvement