cours-dea

Informations

• Publié par: Phoim
• Nombre de lectures: 63
• Langue: Catalan

Extrait

Solutions de viscosit´e et solutions
variationnelles pour EDP non-lin´eaires
∗ ∗†J´erˆome Droniou et Cyril Imbert
17 mai 2004
∗D´epartement de Math´ematiques, UMR CNRS 5149, Universit´e Montpellier II, Place Eug`ene Bataillon, 34095 Montpel-
lier cedex 5, France, e-mails : [e-mail], [e-mail]
†Polytech’MontpellierTable des mati`eres
I Solutions variationnelles 4
1 Rappels sur les espaces de Sobolev 5
1.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Th´eor`eme de Stampacchia sur la composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Equations elliptiques lin´eaires 9
2.1 Equations de diffusion pure : le cas coercitif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 Principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
∞2.1.2 EstimationL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Probl`emes de convection-diffusion : le cas non-coercitif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1 Probl`eme approch´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.2 Estimations sur u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14n
2.2.3 Passage `a la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Equations elliptiques non-lin´eaires 16
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Un r´esultat abstrait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Existence et stabilit´e de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4 Un r´esultat d’unicit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.5 Second membre mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Lois de conservation scalaires 24
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2 M´ethode des caract´eristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3 Chocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.4 Solutions faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.5 Approximation parabolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.5.1 Existence et unicit´e d’une solution a` l’approximation parabolique . . . . . . . . . . 28
4.5.2 R´egularit´e, condition initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
∞4.5.3 In´egalit´e entropique, estimationL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.5.4 Estimations de compacit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.6 Solution entropique pour les lois de conservation scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.6.1 D´efinition, existence pour une condition initiale r´eguli`ere . . . . . . . . . . . . . . 36
4.6.2 Propagation`avitessefinie,existenceetunicit´edelasolutionentropiquepour toute
condition initiale born´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.7 Propri´et´es de la solution entropique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.8 Probl`eme de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.8.1 Chocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.8.2 D´etente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.9 Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1II Solutions de viscosit´e 49
5 D´efinition et stabilit´e des solutions de viscosit´e 50
5.1 Exemples d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.1.1 Contrˆole optimal et jeux diff´erentiels en horizon infini . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.1.2 Mouvements de fronts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.1.3 Le laplacien infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.1.4 Forme g´en´erale des ´equations pour la th´eorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2 Difficult´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.2.1 Trouver la bonne solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.2.2 Passage a` la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.2.3 Conditions au bord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.3 Solutions de viscosit´e : d´efinitions et propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.3.1 D´efinitions pour un hamiltonien continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.3.2 Premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.3.3 Le cas d’un hamiltonien discontinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.4 Stabilit´e discontinue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.4.1 Les semi-limites relax´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.4.2 Le supremum d’une famille de sous-solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.4.3 Conditions aux limites et initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.5 Introduction aux principes de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.5.1 Une ´equation du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.5.2 Une ´equation du second ordre; le lemme d’Ishii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.5.3 Cas mod`ele pour un hamiltonien d´ependant de x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.6 Commentaires et bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6 Mouvements de fronts 63
6.1 L’approche par ensemble de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.2 Solutions de viscosit´e pour les ´equations d’´evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.3 Propri´et´e fondamentale de l’´equation g´eom´etrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.4 Un r´esultat de comparaison pour le mouvement par courbure moyenne . . . . . . . . . . . 67
6.5 Existence d’une solution pour le mouvement par courbure moyenne . . . . . . . . . . . . . 69
6.6 Coh´erence de la d´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.7 Commentaires et bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7 Annexes 72
7.1 Lemmes techniques pour les solutions de viscosit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.2 Le calcul sous-diff´erentiel d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.2.1 D´efinitions des sous-diff´erentiels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.2.2 Sous-diff´erentiel d’une semi-limite relax´ee et d’un supremum . . . . . . . . . . . . 75
7.2.3 Fonctions semi-convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.2.4 R´egularisation par sup-convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.2.5 La d´emonstration du Lemme d’Ishii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.2.6 Commentaires et bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2Introduction G´en´erale
Ce polycopi´e correspond a` des cours de DEA donn´es a` l’Universit´e Montpellier II en 2002-2003 et 2003-
2004. Les cours comprenaient deux parties s´epar´ees,qui correspondent aux deux parties de ce document
(en2002-2003,quelquesheuresdecoursavaient´et´er´eserv´espour´etudierl’´equivalence,surdescassimples,
entre solutions de viscosit´e et solutions variationnelles).
Partie I. Dans la partie qui concerne les solutions variationnelles, l’´etude des ´equations elliptiques a
principalement pour but de montrer diverses mani`eres d’obtenir des estimations a posteriori ou a priori
surles solutionsde ces´equations;les techniques depassagea` lalimite (parexempledans lecasdesecond
membres mesures) qui permettent de transformer ces estimations a priori en existence de solutions sont
volontairement laiss´ees de coˆt´e ou faites dans des cas simplifi´es. En 2002-2003, une deuxi`eme partie du
cours sur les solutions variationnelles ´etait d´edi´ee aux probl`emes paraboliques non-lin´eaires (principa-
lement `a l’existence de solutions); cette partie a ´et´e remplac´ee, en 2003-2004, par l’´etude des lois de
conservation scalaires et c’est ce qui figure dans ce polycopi