Cours - Espaces vectoriels de dimension finie
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6c Christophe Bertault - MPSIEspaces vectoriels de dimension finieDans tout ce chapitre,K est l’un des corpsR ouC. Tous les résultats présentés dans ce chapitre demeurent vrais siK est uncorps quelconque — sauf les deux derniers exemples du chapitre — mais nous ne nous en préoccuperons pas ici.La notion de dimension appartient aujourd’hui au vocabulaire de tout un chacun. Il est entendu qu’une droite ou une mêmecourbe est de dimension 1; qu’un plan ou même une surface est de dimension 2; et que nous vivons dans un espace à troisdimensions. Il n’est cependant pas forcément aisé de donner un sens rigoureux à ces idées courantes. C’est précisément ce qu’onsouhaite faire ici : proposer une définition axiomatique de la dimension et en faire la théorie.Définition (Espace vectoriel de dimension finie) Soit E unK-espace vectoriel. On dit que E est de dimension finie siE possède une famille génératrice (finie). Explication Pourquoi préciser « finie » dans cette définition? Une famille génératrice pourrait-elle donc être infinie?Il est vrai que les familles de vecteurs du programme de MPSI sont toutes finies, mais vous étudierez aussi des familles infiniesen deuxième année. En prévision, retenez d’ores et déjà qu’un espace vectoriel de dimension finie, comme son nom le suggère, sevoit imposer une certaine condition de finitude.n ∗Exemple Les espaces vectoriels K (n∈N ) etK [X] (n∈N) sont de dimension finie. On en connaît en effet des famillesngénératrices, puisqu’on en ...

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Extrait

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c Christophe Bertault - MPSI
Espaces vectoriels de dimension finie
Dans tout ce chapitre,K est l’un des corpsR ouC. Tous les résultats présentés dans ce chapitre demeurent vrais siK est un
corps quelconque — sauf les deux derniers exemples du chapitre — mais nous ne nous en préoccuperons pas ici.
La notion de dimension appartient aujourd’hui au vocabulaire de tout un chacun. Il est entendu qu’une droite ou une même
courbe est de dimension 1; qu’un plan ou même une surface est de dimension 2; et que nous vivons dans un espace à trois
dimensions. Il n’est cependant pas forcément aisé de donner un sens rigoureux à ces idées courantes. C’est précisément ce qu’on
souhaite faire ici : proposer une définition axiomatique de la dimension et en faire la théorie.
Définition (Espace vectoriel de dimension finie) Soit E unK-espace vectoriel. On dit que E est de dimension finie si
E possède une famille génératrice (finie).
Explication Pourquoi préciser « finie » dans cette définition? Une famille génératrice pourrait-elle donc être infinie?
Il est vrai que les familles de vecteurs du programme de MPSI sont toutes finies, mais vous étudierez aussi des familles infinies
en deuxième année. En prévision, retenez d’ores et déjà qu’un espace vectoriel de dimension finie, comme son nom le suggère, se
voit imposer une certaine condition de finitude.
n ∗Exemple Les espaces vectoriels K (n∈N ) etK [X] (n∈N) sont de dimension finie. On en connaît en effet des famillesn
génératrices, puisqu’on en connaît même des bases : leurs bases canoniques.
Notons tout de suite que tout-espace vectoriel n’est pas de dimension finie, comme l’indique l’exemple suivant :
Exemple K[X] n’est pas de dimension finie.
En effet Soit (P ,P ,...,P ) une famille de polynômes deK[X]. Notons d le maximum des ∂˚P , k décrivant1 2 n k
d+1J1,nK — avec la convention que d = 0 si P = P = ... = P = 0. Alors X n’est pas combinaison linéaire1 2 n
deP ,P ,...,P , donc comme voulu (P ,P ,...,P ) n’est pas génératrice deK[X]. Bref : aucune famille finie de1 2 n 1 2 n
vecteurs deK[X] n’engendreK[X], doncK[X] n’est pas de dimension finie.
1 Problèmes d’existence : bases et dimension
1.1 Existence de bases

Théorème (Théorème de la base incomplète) SoitE = 0 unK-espace vectoriel de dimension finie engendré par uneE
certaine famille (x ,x ,...,x ). Soit en outre (y ,y ,...,y ) une famille libre deE.1 2 n 1 2 p
On peut compléter (y ,y ,...,y ) en une base de E en lui ajoutant certains vecteurs de la famille (x ,x ,...,x ).1 2 p 1 2 n
En pratique La preuve est donnée ci-dessous sous la forme d’un algorithme dit de la base incomplète qu’il convient
à tout prix de maîtriser car on s’en sert très souvent.
Démonstration
• L’algorithme de la base incomplète consiste à compléter peu à peu la famille (y ,y ,...,y ) à l’aide de1 2 p
certains x bien choisis (k∈ J1,nK) de manière à ce que le résultat soit finalement une base deE.k
1) La variable B que l’algorithme consiste à construire est initialisée à la valeur (y ,y ,...,y ) —1 2 p
famille libre.
2) L’algorithme se poursuit par une boucle. Pour k décrivant l’ensemble des entiers de 1 à n :
si la familleB augmentée du vecteurx est libre,k
i.e. si x n’est pas combinaison linéaire des éléments deB,k
alors on remplace la variableB par la familleB augmentée du vecteurx .k
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Il n’est pas nécessaire de le préciser dans l’algorithme, mais si B augmentée de x est liée, on laisse lak
variableB tranquille et on reboucle directement. Remarquez bien que cet algorithme fait grossir B peu
à peu : on ajoute certains vecteurs mais on n’en enlève jamais.
• Par construction, la famille B obtenue finalement est une famille libre : en effet, à chaque étape de l’algo-
rithme, on a pris grand soin de préserver la liberté de la famille initiale (y ,y ,...,y ).1 2 p
• Il nous reste à montrer queB engendreE. Or la famille (x ,x ,...,x ) engendreE. Dès lors, pour montrer1 2 n
que B engendre E, il nous suffit de montrer que tous les x (k ∈ J1,nK) sont combinaisons linéaires desk
éléments deB.
Soit donck∈ J1,nK. Si toutd’abordx apparaît explicitementdansB,alors évidemmentx est combinaisonk k
linéaire des éléments deB, égal à lui-même.
Supposons au contraire quex n’est pas un vecteur deB. Ceci signifie que, dans l’algorithme précédent,xk k
n’a pas été ajouté à la familleB en cours de construction, et donc, par définition de cet algorithme, quexk
est combinaison linéaire de certains vecteurs deB. C’est justement ce que nous voulions.

Exemple On poseF =Vect (1,−5,7),(2,6,8),(3,1,15),(1,11,1) . Alors la famille (1,−5,7),(2,6,8) est une base deF.
En effet Utilisons ici « bêtement » l’algorithme de la base incomplète.
• La famille (1,−5,7) est libre car le vecteur (1,−5,7) est non nul.
• Qu’en est-il de la famille (1,−5,7),(2,6,8) ?
Soient λ,μ∈R. On suppose queλ(1,−5,7)+μ(2,6,8) = (0,0,0). Alors λ+2μ = 0 et−5λ+6μ = 0, donc
6μ = 5λ =−3λ. Ainsiλ = 0, puisμ = 0. La famille est libre.
• Qu’en est-il de la famille (1,−5,7),(2,6,8),(3,1,15) ?
Elle est liée car, par exemple : (3,1,15) = (1,−5,7)+(2,6,8).
• Qu’en est-il de la famille (1,−5,7),(2,6,8),(1,11,1) ?
Elle est liée car, par exemple : (1,11,1) = (2,6,8)−(1,−5,7).
• Finalement, comme annoncé, (1,−5,7),(2,6,8) est une base deF. Une remarque pour conclure : si nous
avions permuté les quatre vecteurs qui définissent F au départ, nous aurions trouvé une autre base de F ;
mais peu importe, l’essentiel c’est d’en avoir une.
Corollaire (Existence de bases)
Soit E = 0 unK-espace vectoriel de dimension finie. Alors E possède une base (finie).E
Explication Ce résultat montre que la définition « posséder une famille génératrice » des espaces vectoriels de
dimension finie est équivalente à la définition « posséder une base » — sauf dans le cas où l’espace vectoriel est réduit au seul
vecteur nul.

$$$ Attention ! SiE = 0 , alors E n’a pas de base, car E n’admet même aucune famille libre.E

Démonstration PuisqueE = 0 , nous pouvons nous donner un vecteury = 0 deE. Alors (y) est libre (carE E
y = 0 ). Or E est de dimension finie, donc possède une famille génératrice (x ,x ,...,x ). Grâce au théorèmeE 1 2 n
de la base incomplète, on peut compléter la famille (y) en une base au moyen de certains vecteurs de la famille
(x ,x ,...,x ). Cela montre bien l’existence d’une base deE. 1 2 n
Le corollaire suivant est une conséquence immédiate du théorème de le base incomplète.

Corollaire (Théorème de la base incomplète (bis)) Soit E = 0 unK-espace vectoriel de dimension finie.E
(i) De toute famille génératrice deE on peut extraire une base de E.
(ii) Toute famille libre deE peut être complétée en une base de E.
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1.2 Existence de la dimension
Théorème (Nombre d’éléments d’une famille libre/génératrice) Dans unK-espace vectoriel de dimension finie, une
famille libre a toujours moins d’éléments qu’une famille génératrice.

Démonstration Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie. Si E = 0 , alors il n’existe aucuneE
famille libre de vecteurs de E : il n’y a donc rien à démontrer dans ce cas. Supposons au contraire E = 0 etE
donnons-nous (x ,x ,...,x ) une famille génératrice de E et (y ,y ,...,y ) une famille libre de E. Nous devons1 2 n 1 2 p
montrer quep6n. Raisonnons par l’absurde en supposant p>n+1.
• Première étape : Puisque (x ,x ,...,x ) engendre E, y est combinaison linéaire de x ,x ,...,x :1 2 n 1 1 2 n
nX
(1) (1)y = λ x . Les coefficients λ , k∈ J1,nK, peuvent-ils être tous nuls? Non, car sinon y serait nul et1 1kk k
k=1
cela contredirait la liberté de la famille (y ,y ,...,y ). Quitte à modifier l’ordre des vecteursx ,x ,...,x ,1 2 p 1 2 n" #
nX1(1) (1)
nouspouvonssupposerparexemplequeλ = 0,desorteque: x = y − λ x . Finalement:1 1 k1 k(1)
λ1 k=2
Vect(y ,x ,...,x ) =Vect(x ,x ,...,x ) (opérations sur les Vect)1 2 n 1 2 n
=E, la famille (x ,x ,...,x ) étant génératrice de E.1 2 n
Nous venons de montrer que (y ,x ,...,x ) engendre E.1 2 n
• Deuxième étape : Puisque (y ,x ,...,x ) engendre E d’après la première étape, y est combinaison1 2 n 2
nX
(2) (2) (2)
linéaire dey ,x ,...,x : y =λ y + λ x . Les coefficients λ , k∈ J2,nK, peuvent-ils être tous1 2 n 2 1 k1 k k
k=2
(2)nuls? Non, car sinon on auraity =λ y et cela contredirait la liberté de la famille (y ,y ,...,y ). Quitte2 1 1 2 p1
(2)
à modifier l’ordre des vecteurs x ,x ,...,x , nous pouvons supposer par exemple que λ = 0, de sorte2 3 n 2" #
nX1 (2) (2)
que : x = y −λ

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