COURS MECANIQUE CLASSIQUE

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Chapitre 10ondes électromagnétiques dans le905 vide10.1 équation d’onde à une dimensionUne onde est un champ, scalaire ou vectoriel, dans un domaineD del’espace dont les dépendances spatiales et temporelles sont couplées parune équation aux dérivées partielles.Une onde est dite unidimensionnelle si on peut choisir un axe Ox tel ques(M,t)˘ s(x,t). La grandeur s(M, t ) a la même valeur dans tout planperpendiculaire à l’axe Ox, appelé plan d’onde ; on parle alors d’ondeplane.Une onde est dite longitudinale lorsque la perturbation se produit dans lamême direction que la direction de propagation ; elle est dite transversalelorsque la perturbation se produit perpendiculairement à la direction depropagation ;L’évolution de l’onde est régie par l’équation d’onde, ou équation ded’Alembert :2 2@ s 1 @ s¡ ˘ 02 2 2@x v @tLa constante v dépend des caractéristiques du milieu de propagation.10.2 Solutions de l’équation d’onde unidimension-910 nelleL’équation d’onde admet des solutions particulières de la formes(x,t)˘ f (x¡vt) et s(x,t)˘ g(x¯vt) Chacune de ces fonctions décrit une55COURS MP-PC 09:56/10 novembre 2010onde progressive, c’est-à-dire une onde qui se propage selon Ox sans sedéformer, à la vitesse v, appelée vitesse de propagation ou célérité de915 l’onde. La fonction f (x¡vt) correspond à une onde se propageant dansle sens des x croissants ; la fonction g(x¯vt) correspond à une onde sepropageant dans le sens des x décroissants.˜ La célérité ...

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Extrait

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Chapitre 10

ondes lectromagntiques dans le vide

10.1

quation d’onde À une dimension

Une onde est un champ, scalaire ou vectoriel, dans un domaineD de l’espace dont les dÉpendances spatiales et temporelles sont couplÉes par une Équation aux dÉrivÉes partielles. Une onde est dite unidimensionnelle si on peut choisir un axe Ox tel que s(M,t)=s(x,t). La grandeur s(M, t ) a la mme valeur dans tout plan perpendiculaire À l’axe Ox, appelÉ plan d’onde ; on parle alors d’onde plane. Une onde est dite longitudinale lorsque la perturbation se produit dans la mme direction que la direction de propagation ; elle est dite transversale lorsque la perturbation se produit perpendiculairement À la direction de propagation ; L’Évolution de l’onde est rÉgie par l’Équation d’onde, ouquation de d’Alembert:

2 2 ∂s1∂s − =0 2 2 2 ∂x v∂t La constante v dÉpend des caractÉristiques du milieu de propagation.

10.2

Solutions nelle

de

l’quation

d’onde

unidimension-

L’Équation d’onde admet des solutions particuliÈres de la forme s(x,t)=f(x−vt) ets(x,t)=g(x+vt) Chacune de ces fonctions dÉcrit une

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onde progressive, c’est-À-dire une onde qui se propage selon Ox sans se dÉformer, À la vitesse v, appelÉe vitesse de propagation ou cÉlÉritÉ de l’onde. La fonctionf(x−vt) correspond À une onde se propageant dans le sens des x croissants ; la fonctiong(x+vt) correspond À une onde se propageant dans le sens des x dÉcroissants. ♠La cÉlÉritÉ dune onde dÉpend des caractÉristiques dumilieu de propa- gation. x ♠Les ondes progressives peuvent aussi semettre sous la formeφ(t−) et v x ψ(t+) v ♠Ces solutions sont appelÉes ondes planes progressives (OPP). La solution gÉnÉrale de l’Équation de d’Alembert peut s’Écrire comme la superposition de deux ondes progressives de sens de propagation opposÉs :s(x,t)=f(x−vt)+g(x+vt) Les fonctions f et g ne sont pas dÉterminÉes par l’Équation d’onde mais par les conditions initiales et les conditions aux limites : -une source Émet une onde progressive qui s’Éloigne d’elle ; -si l’onde se rÉflÉchit À une extrÉmitÉ du milieu de propagation, elle donne naissance À une onde progressive de sens de propagation opposÉ. ♠La sommef(x−vt)+g(x+vt) des deux ondes progressives n’est pas une onde progressive.

10.3

Ondes planes progressives harmoniques

Une onde est dite pÉriodique sis(x,t) est une fonction pÉriodique du temps. Une onde est dite harmonique sis(x,t) est une fonction sinusodale du temps. L’amplitude d’une onde plane progressive (dans le sens des x croissants) harmonique (OPPH) s’Écrit

x s(x,t)=s 0 cosω[(t−)+φ 0 ] v 2π La pÉriode temporelle de l’onde estT= ω 2πv La pÉriode spatiale de l’onde, appelÉe longueur d’onde, estλ= ω On retiendraλ=vT

t x ♠on peut Écrires(x,t)=s 0 cos[2π(−)+φ 0 ] On dÉfinit le vecteur d’onde Tλ

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d’une OPPH dans le sens des x croissants par

−→ 2π −→ k=e x λ L’amplitude de l’onde peut s’Écrire

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s(x,t)=s 0 cos(ωt−kx)+φ 0 ] −→ −→ ♠Elle peut Écrire plus gÉnÉralements(x,t)=s 0 cos(ωt−k.r)+φ 0 ] ou −−→ −→ r=O M ♠La phase instantanÉe de l’onde estωt−kx+φ 0 . ♠La linÉaritÉ de l’Équation de d’Alembert permet l’utilisation de la nota- tion complexe : s(x,t)=s 0 expj(ωt−kx+φ 0 ) On as(x,t)=R e(s(x,t)). ♠La cÉlÉritÉ v de l’onde, appelÉe aussi vitesse de phase vÉrifie la relation ω de dispersionk= v ♠On peut aussi utiliser la notations(x,t)=s 0 cos(kx−ωt+φ 0 ). ♠L’utilisation des OPPH est justifiÉe par la linÉaritÉ de l’Équation de d’Alembert et la dÉcomposition d’une fonction pÉriodique en sÉrie de Fourier : une onde pÉriodique peut se dÉcomposer comme combinaison linÉaire d’OPPH. ♠Lorsque la cÉlÉritÉ d’une OPPH dÉpend de la pulsationωde l’onde, lemilieu est dit dispersif.

10.4

Ondes stationnaires

Une onde est dite stationnaire si son amplitude peut semettre sous la formes(x,t)=F(x)G(t) ♠Il n’y a plus de propagation ♠Les points tels queF(0)=; on a alors0 sont appelÉs noeuds de vibration s(x,t)=0,∀ten ces points ♠Les points tels queF(x) est maximum sont appelÉs ventres de vibra- tion.Une onde stationnaire solution de l’Équation de d’Alembert et de la forme s(x,t)=s 0 cos(kx+φ 0 )cos(ωt+ψ 0 ) avecω=kv. La distance entre deux ventres ou deux noeuds de vibration λ λ successifs est La distance entre un noeud et un ventre voisins est 2 4

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♠Une onde stationnaire peut s’Écrire comme la superposition de deux OPPH de mme amplitude, de sens de propagation opposÉs :

s 0 s 0 s(x,t)=cos(ωt−kx+φ 0 +ψ 0 )+cos(ωt+kx+ψ 0 −φ 0 ) 2 2

♠Une onde plane progressive peut s’Écrire comme la superposition de deux ondes stationnaires :

s(x,t)=s 0 cos(ωt−kx)=s 0 cos(ωt)cos(kx)+s 0 sin(ωt)sin(kx)

.♠La rÉflexion parfaite d’une OPPH sur un obstacle donne naissance À une onde stationnaire.

10.5

quation de propagation gntique dans le vide

du

champ

lectroma-

Dans le vide, en l’absence de charges et de courants, les Équations de Maxwell s’Écrivent

PhÉnomÈne champ ma- gnÉtique Champ Électrique

Équations de structure −→ Équation de Maxwell fluxd iv B(M,t)= 0 Équation de Maxwell Faraday −→ −→ −→ ∂B(M,t) rot E(M,t)= − ∂t

relations aux sources Équation de maxwell −→ −→ −→ ∂E(M,t) rot B(M,t)=µ 0 ε 0 ∂t Équation de Maxwell −→ d iv E(M,t)=0

ampÈre

Gauss

−→−→ →−−−→−−→→− On Établit (en utilisantr ot(r ot)A=grad d iv A− Δ Aque Les champs −→−→ EetBobÉissent À l’Équation de d’Alembert

−→ 2 −→ 1∂E Δ E− 2 2 c∂t

−→ 2 −→ 1∂B Δ B− 2 2 c∂t 2 1 ouc=est la cÉlÉritÉ de la lumiÈre dans le vide µ ε 0 0 ♠Les ondes ÉlectromagnÉtiques se propagent dans le vide À la vitesse 965 c, dans tous les rÉfÉrentiels galilÉens −1 ♠On ac=299792458m.spar dÉfinition du mÈtre

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10.6 Cas de l’onde plane progressive harmonique −→−→ Les composantes des champsEetBd’une onde plane progressive har- −→ monique se propageant dans le sens deu(vecteur unitaire) sont de la −→−→ −→−→−→−→ formes=s 0 expj(ωt−k.r−ϕ) aveck=k ules opÉrateurs diffÉren- tiels se ramÈnent, en coordonnÉes cartÉsiennes, aux transformations algÉ- briques suivantes

10.7

−→ ∂s −→ =jωs ∂t −→ −→−→ d iv s= −j k.s − →− → −→−→ r ot s= −j k∧s −→ 2 −→ Δ s= −k s

Structure de l’OPPH

Le champ Électrique et le champ magnÉtique d’une onde plane progres- sive harmonique ÉlectromagnÉtique qui se propage dans le vide dans la −→ directionusont transverses : −→−→ −→−→ u.E=0 etu.B=0 Le champ magnÉtique de l’onde est reliÉ À son champ Électrique par la relation de structure de l’onde −→ −→ −→ u∧E B= c −→−→ −→ ♠Le triÈdre (u,E,B) les champs sont transverses(sont perpendicu- laires À la direction de propagation) ♠Les champs Électrique et magnÉtique sont en phase. −→ −→ kEk ♠ kBk = c ♠Ces propriÉtÉs, Établies facilement dans le cas de l’OPPH avec la nota- tion complexe, peuvent tre gÉnÉralisÉes À l’onde plane progressive Élec- tromagnÉtique.

10.8

Relation de dispersion

Dans le cas de l’OPPH, les Équations deMaxwell conduisent au systÈme

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PhÉnomÈne champ ma- gnÉtique Champ Électrique

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Équations de structure −→ −→ Équation de Maxwell fluxk.B=0

−→ −→ −→ Équation de Maxwell Faradayk∧E=ωB

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relations aux sources Équation de maxwell am- −→ −→ −→ ω pÈrek∧B= − 2 E c Équation de Maxwell Gauss −→ −→ k.E=0

L’Équation conduit À une relation entre k etω, appelÉe relation de dis- persion : 2 ω 2 k= 2 c ω Ainsi, dans le vide, le vitesse de phasev ϕ = =c k le vide se comporte comme un milieu non dispersif (v ϕ est indÉpendant de la frÉquence) et non absorbant (k est rÉel)

10.9

Polarisation d’une OPPH

10.9.1 Relations entre composantes du champs −→ La direction du champEdans le plan perpendiculaire À la direction de 990 propagation de l’onde dÉfinit la direction de polarisation de d’onde. −→ La courbe dÉcrite dans ce plan par l’extrÉmitÉ deEainsi que son sens de parcours, dÉfini l’État de polarisation de l’onde. Par convention, l’obser- −→ −→ vateur voit l’onde arriver sur lui Conventionnellement, le plan (k,E) est appelÉ le plan de polarisation 995 Par convention, le sens de rotation (gauche ou droite) est dÉfini pour un ob- servateur qui reÇoit l’onde Soit une OPPH se propageant suivant l’axe z’z, vers les z positifs. Moyennant un choix convenable de l’origine des dates, on peut toujours Écrire le champ    E x =E 0x cos(ωt−k z) E y =E 0y cos(ωt−k z−φ)   E z =0 −→ Dans le planz=0, l’extrÉmitÉ deEdÉcrit la courbe d’Équations ½ E x =E 0x cos(ωt−k z) E y =E 0y cos(ωt−k z−φ)

En Éliminant le temps entreE x etE y on obtient la relation E E y x 2 2 E x E y 2 ( )+( )−cos2( )( ) φ=sinφ E 0x E 0y E 0x E 0y

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On reconnat l’Équation d’une ellipse, le sens de parcours dÉpendant du signe de sinφAinsi, dans le cas le plus gÉnÉral, une OPPM est polarisÉe elliptiquement

10.9.2 Valeurs particulires du dphasage −→ E x ♠siφ=0 ouφ=πalors=csteetEgarde une direction fixe au cours E y du temps. L’OPPH est dite polarisÉe rectilignement π π 2 2 ♠siφ= +,φ= −et siE 0x =E 0y alorsE+E=cstec’est l’Équation d’un x y 2 2 cercle L’OPPH est dite polarisÉe circulairement (on distingue la polarisa- tion circulaire gauche et la polarisation circulaire droite selon la valeur de φ) ♠Toute onde ÉlectromagnÉtique peut s’Écrire comme la somme de deux ondes polarisÉes rectilignement, perpendiculairement ♠On a de mme que toute OPPHR s’Écrit comme la superposition de deux OPPH polarisÉes circulairement, droite et gauche de mme amplitude

10.10

tude nergtique des ondes tiques planes dans le vide

lectromagn-

L’Énergie ÉlectromagnÉtique volumique, dÉfinie par l’expression

2 2 ε 0 E B u em = + 2 2µ 0

−→ −→ kEk commekBk = c 2 B 2 u em =cE= µ 0 Il y a Équipartition de l’Énergie sous les formes Électrique et magnÉ- tique. Dans le cas de l’OPPH, on a

10.11

2 2 ε 0 E B 0 0 <u em >= = 2 2µ 0

Le problme du calcul du vecteur de Poynting

Le vecteur de Poynting n’Étant pas linÉaire vis-À-vis du champ Électro- −→ magnÉtique, il faut le dÉterminer À partir des expressions rÉelles deEet

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−→ B −→−→ −→ E(M,t)∧B(M,t) Π (M,t)= µ 0 Pour une OPP le vecteur de Poynting peut s’exprimer en fonction du seul champ Électrique (ou du seul champ magnÉtique) selon

−→ 2 −→ Π (M,t)=ε 0 cE(M,t)u ou avec l’Énergie volumique −→ −→ Π (M,t)=cu em u

L’Énergie se propage À la vitesse c, qui est aussi la vitesse de propa- gation des OPP ÉlectromagnÉtiques Le vecteur de Poynting n’Étant pas linÉaire vis-À-vis du champ ÉlectromagnÉtique,il faut le dÉterminer À par- −→−→ tir des expressions rÉelles deEetB ♠ComplÉment :le vecteur de Poynting complexe On dÉfinit, comme simple intermÉdiaire de calculs, un vecteur de Poynting complexe, sans signifi- cation physique, mais qui permet de conserver les grandeurs complexes −→−→ relatives aux champsEetBCe vecteur complexe s’Écrit −→−→ ∗ −→ E(M,t)∧B(M,t) Π (M,t)= µ 0 −→−→ ouB* est le complexe conjuguÉ deB La moyenne temporelle du vecteur de Poynting s’Écrit alors : −→−→ ∗ −→ 1E∧B < Π >= ℜ( ) 2µ 0

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