COURS MECANIQUE CLASSIQUE

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Chapitre 6Les équations de Maxwell6.1 Résumé de courséquation de conservation de la charge électrique! ¶r(M;t)div j (M;t)+ = 0¶t1105 forme locales des équations de MaxwellDans un référentiel galiléen, le champ électromagnétique vérifie les équationsde Maxwell :Phénomène équations de structure relations aux sourceschamp équation de Maxwell flux équation de maxwell ampère! ! !!magnétique divB(M;t)= 0 rot B(M;t) = μ ( j (M;t)+0!¶E(M;t)e )0 ¶tChamp équation de Maxwell Faraday équation de Maxwell Gauss! ! r(M;t)!! ¶B(M;t)électrique divE(M;t)=rotE(M;t)= e0¶t Les constantes fondamentalese ,permittivité du vide, et μ perméabilité0 02du vide, vérifiente :μ :c = 1 où c est la célérité de la lumière dans le vide. On0 07 1a fixéμ = 4p10 H:m0!! ¶E(M;t) Le terme j (M;t)=e homogène à une densité volumique de courant,0d ¶test appelé courant de déplacement. La conservation de la charge est compatible avec les équations de Maxwell.on prenant la divergence de l’équation de maxwell ampère!! ! ¶E(M;t)!div(rot B(M;t))=μ (div j (M;t)+e div( ))0 0¶t!¶divE(M;t)! !!div(rot B(M;t))=μ (div j (M;t)+e ( )0 0¶t55MOHAMEDAMAMIAMAMI MP-PC 2 décembre 2009or!!div(rot B(M;t))= 0et en ulisant l’équation de maxwell gauss! r(M;t)divE(M;t)=e0on trouve! ¶r(M;t)div j (M;t)+ = 0¶t Les équations de Maxwell sont linéaires vis-à-vis des sources : cette propriété! !valide le principe de superposition relatif à E et B .En particulier, cette linéaritépermet d’utiliser ...

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Chapitre 6

Les quations de Maxwell

6.1 Rsumde cours quation de conservation de la charge lectrique −→ ∂ρ(M,t) div j(M,t) +=0 ∂t forme locales des quations de Maxwell 1105 Dans un rÉfÉrentiel galilÉen, le champ ÉlectromagnÉtique vÉrifie les Équations de Maxwell : PhÉnomÈne Équationsde structurerelations aux sources champ Équationde Maxwell fluxÉquation de maxwell ampÈre −→ −→ −→−→ magnÉtique div B(M,t) =0rot B(M,t) = 0 (j(M,t) + −→ ∂E(M,t) ε 0 ) ∂t Champ Équationde Maxwell Faraday Équationde Maxwell Gauss −→ −→ ρ(M,t) −→ −→ ∂B(M,t) Électrique div E(M,t) = rot E(M,t) =− ε 0 ∂t ♠Les constantes fondamentalesε 0 ,permittivitÉ du vide, et 0 permÉabilitÉ 2 du vide, vÉrifientε 0 . 0 .c=1 oÙ c est la cÉlÉritÉ de la lumiÈre dans le vide. On −7−1 a fixÉ 0 =4π10H.m −→ −→ ∂E(M,t) ♠Le termej d (M,t) =ε 0 homogÈne À une densitÉ volumique de courant, ∂t est appelÉ courant de dÉplacement. ♠La conservation de la charge est compatible avec les Équations de Maxwell. on prenant la divergence de l’Équation de maxwell ampÈre −→ −→ −→−→ ∂E(M,t) div(rot B(M,t)) = 0 (div j(M,t) +ε 0 div( )) ∂t −→ −→ −→−→ ∂div E(M,t) div(rot B(M,t)) = 0 (div j(M,t) +ε 0 ( ) ∂t 55

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or −→ −→ div(rot B(M,t)) =0 et en ulisant l’Équation de maxwell gauss −→ ρ(M,t) div E(M,t) = ε 0 on trouve −→ ∂ρ(M,t) div j(M,t) +=0 ∂t ♠Les Équations de Maxwell sont linÉaires vis-À-vis des sources : cette propriÉtÉ −→−→ valide le principe de superposition relatif ÀEetB.En particulier, cette linÉaritÉ permet d’utiliser la mÉthode complexe pour les calculs des champs ♠Les Équations deMaxwell sont valables dans n’importe quel milieu. Elles ne −→ sont utilisable sous cette forme quand si l’on sait expliciter la source(ρ,j)du champ dans le milieu considÉrÉ; c’est le cas : -dans les milieux non diÉlectriques et non magnÉtique; -dans le vide; -dans les plasmas. Forme intgrale des quations de Maxwell ♠Flux du champ Électrique { −→ ρ(M,t) →− →− Q int div E(M,t) =⇔E.d S= ε 0 ε 0 qui n’est d’autre que le thÉorÈme de Gauss ce thÉorÈme est valable sans restriction en rÉgime variable, À condition que le flux du champ et la charge intÉrieure soient calculÉs au mme instant t. 1110 ♠Flux du champ magnÉtique { −→ −→ −→ div B(M,t) =0⇔B.d S=0 Le champ magnÉtique est À flux conservatif : Le flux du champ magnÉtique se conserve À travers toute section d’un tube de champ. Le flux du champ magnÉtique est le mme À travers toute surface s’appuyant sur un contour C −→ on dÉfinit ainsi le flux deBÀ travers le contour C 1115 ♠Circulation du champ Électrique −→ I x −→ −→ −→ ∂B(M,t)d →− →− dΦ rot E(M,t) =− ⇔E.d l=−B.d S=− ∂dtt dt Le champ Électrique n’est pas À circulation conservative en rÉgime variable.A un champ magnÉtique variable est toujours associÉ un champ Électrique À circulation non conservative. 2009/2010page 56http://chimiephysique.hautetfort.com/

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♠Circulation du champ magnÉtique −→ I x x −→ −→−→ ∂E(M,t) −→−→ −→ −→ −→ rot B(M,t) = 0 (j(M,t) +ε 0 )⇔B.d l= 0 (j.d S+j d .d S) ∂t Le thÉorÈme d’AmpÈre de la magnÉtostatique se gÉnÉralise en prenant en compte l’intensitÉ du courant de dÉplacement À travers le contour orientÉ. Le courant de 1120 −→ −→ ∂E(M,t) dÉplacementj d (M,t) =ε 0 est source de champ magnÉtique, comme ∂t −→ un courantjCe terme ne traduit que les variations temporelles du champ Électrique ;il n’y a ni courant, ni dÉplacement

Relations de passage Le champ ÉlectromagnÉtique d’une distribution volumique de charges et de courants est continu. Si l’on dÉcrit la distribution par un modÈle superficiel (distribution surfacique de charges et de courants), le champ ÉlectromagnÉtique subit une discontinuitÉ À la traversÉe de la distribution. Les Équations de Maxwell ne peuvent s’Écrire en un point M de la distribution superficielle, et doivent tre remplacÉes par les relations de passage : −→−→ σ(M,t) −→ E 2 (M,t)−E 1 (M,t) =n 1→2 ε 0 −→ −→−→ −→ B 2 (M,t)−B 1 (M,t) = 0 j s (M,t)∧n 1→2 A la traversee d’une surface chargÉe avec une densitÉ surfaciqueσ(M,t), la 1125 composante normale champ Électrique est discontinue.A la traversÉe d’une distribution surfacique de courant, la composante tangentielle du champ magnÉtique est discontinue. ♠RÈgle mnÉmotechnique pour trouver la relation de passage Pour trouver la relation de passage associÉe À une Équation de Maxwell, on 1130 remplace : −→ -l’opÉrateur nabla dans le premier membre parn 12 ; -le champ dans le premier membre par la discontinuitÉ du champ; −→ -les dÉrivÉes temporelles dans le second membre par0 ; -les densitÉs volumiques dans le second membre par les densitÉs surfaciques 1135 correspondantes Potentiels scalaire et vecteur −→−→ Le champ ÉlectromagnÉtique(E(M,t),B(M,t))dÉrive d’un potentiel scalaire −→ V(M,t)et d’un potentiel vecteurA(M,t)tel que : −→ −→ −−→ ∂A(M,t) E(M,t) =−gradV(M,t)− ∂t 2009/2010page 57http://chimiephysique.hautetfort.com/

AMAMI MP-PC2 dcembre 2009 −→ −→ −→ B(M,t) =rot A(M,t) −→−→ Pour un couple(E(M,t),B(M,t))donnÉ, on a en fait une infinitÉ de couples −→ (A(M,t),V(M,t))possibles.Supposons en effet qu’on en ait trouvÉ un notÉ −→ (A 0 ,V 0 )et soitφ(M,t)une fonction scalaire quelconque. Si l’on Écrit −→ −→ −−→ A=A 0 +gradφ(M,t) −→ −→ −→ −→ on a encoreB=rot A. Pour obtenir le mmeEil suffit de dÉfinir un nouveau potentiel V tel que : −→−→ −−→ ∂A −−→ ∂A 0 −gradV−=−gradV 0 − ∂t∂t ∂φ ce qui donneV=V 0 +. On peut construire ainsi une infinitÉ de couples de ∂t potentiels donnant les mmes champs. cette indÉtermination peut tre mise À profit en imposant une condition supplÉmentaire sur ces potentiels qui simplifie les calculs intermÉdiaires. Cette condition est appelÉe choix de jauge. En rÉgime variable on choisit la jauge de Lorentz −→ ∂V div A+ 0 ε 0 =0 ∂t −→ qui ne fait que restreindre le choix de tous les couples(A,V)possibles permet d’obtenir, pour les potentiels, les Équations appelÉes Équations de Poisson : 2 ∂Vρ ΔV− 0 ε 0 + =0 2 ∂tε 0 −→ 2 −→ −→ ∂A −→ −→ ΔA− 0 ε 0 + 0 j=0 2 ∂t Une fois encore, en rÉgime stationnaire, nous retrouvons les Équations de Poisson des potentiels introduites aux chapitres prÉcÉdents. De mme la forme particuliÈre de la jauge de Lorentz en rÉgime stationnaire n’est autre que la jauge de Coulomb Il y a donc parfaite compatibilitÉ entre les Équations des rÉgimes variables et 1140 celles des rÉgimes stationnaires nergie lectromagntique ♠On admet l’existence d’une Énergie ÉlectromagnÉtique localisÉe dans la rÉgion oÙ rÈgne le champ ÉlectromagnÉtique avec une densitÉ volumiqueu em (M,t) l’Énergie W(t) contenue par le champ dans un volume V À l’instant t s’Écrit y W(t) =u em (M,t)dτ V 2009/2010page 58http://chimiephysique.hautetfort.com/

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♠Puissance transportÉe par le champ Le phÉnomÈne de transport de l’Énergie par le champ ÉlectromagnÉtique est appelÉ rayonnement ÉlectromagnÉtique. La puissance ÉlectromagnÉtique rayonnÉe À travers une surfaceΣs’Écrit comme le flux À traversΣdu vecteur courant d’Énergie ÉlectromagnÉtique, appelÉ vecteur de Poynting x −→ −→ P rayonnee =Π(M,t).d S ♠Puissance cÉdÉe par le champ À la matiÈre Le champ Électromagnetique peut cÉder de la puissance aux porteurs de charges par l’intermÉdiaire de la force de Lorentz. La puissance cÉdee a un volumedτs’Écrit −→−→ d P cedee =j(M,t).E(M,t)dτ La puissance du terme magnÉtique de la force de Lorentz est nulle. ♠Bilan d’Énergie ou de puissance La variation dW de l’Énergie ÉlectromagnÉtique W(t ) d’un volume V pendant une durÉe dt est donnÉe par dW=−∂W rayonnee −∂W cedee ou∂W cedee est l’Énergie cÉdÉe pendant dt aux porteurs de charges presents dans le volume V (elle est donc perdue par le champ), et∂W rayonne est l’Énergie rayonnÉe pendant dt À travers la surfaceΣdÉlimitant V (le flux Étant sortant, le champ perd de l’Énergie quand∂W rayonne >0). AprÈs simplification par dt , on obtient le bilan de puissance sous forme intÉgrale : y {y ∂u em (M,t) → →− −− → → − dτ=−Π(M,t).d S−j(M,t).E(M,t)dτ ∂t V V soit sous forme locale ∂u em (M,t) −→ −→ −→ +divΠ(M,t) =−j(M,t).E(M,t) ∂t ♠IdentitÉ de Poynting Revenons À prÉsent À l’idÉe d’une Équation locale de conservation de l’Énergie qui doit tre contenue dans les Équations de Maxwell. Essayons de la dÉgager en faisant apparatre le terme prÉcÉdent. Il suffit de −→ multiplier scalairement maxwell ampÈre parE −→ −→ −→ −→−→−→−→ ∂E E.rot B= 0 (E.j+ε 0 E.) ∂t −→ −→ −→−→ E.rot B −→ −→−→ ∂E =E.j+ε 0 E.  0 ∂t 2009/2010page 59http://chimiephysique.hautetfort.com/

AMAMI MP-PC2 dcembre 2009 −→ B puis on multiplie scalairement l’Équation de maxwell faraday par  0 −→ −→−→ B −→ −→ B∂B .rot E=−.  0  0 ∂t Enfin, en effectuant la diffÉrence des deux Équations, on obtient : −→ −→ −→−→ −→ −→ 2 2 E.rot B−B.rot E −→−→ ∂ ε 0 E B =j.E+ (+ )  0 ∂t2 2 0 −→−→ 2 2 E(M,t)∧B(M,t) →→−− ∂ ε 0 E B −div=( )j.E+ (+ )  0 ∂t2 2 0 −→−→ 2 2 ∂ ε 0 EE B∧B −→−→ ( +) +div=( )−j.E ∂t2 2 0  0 On en dÉduit la densitÉ volumique d’Énergie ÉlectromagnÉtique 2 2 ε 0 E(M,t)B(M,t) u em = + 2 2 0 et le vecteur de Poynting −→−→ −→ E(M,t)∧B(M,t) Π(M,t) =  0 −→ Le choix du couple(u em ,Π)n’est pas unique ;il faut considÉrer le choix fait ici comme un postulat supplÉmentaire de l’ÉlectromagnÉtisme. 1145 Cas particulier de l’ARQS les Équations de Maxwell s’Écrivent dans ce cadre : −→ ρ(M,t) div E(M,t) = ε 0 −→ −→ ∂B(M,t) −→ rot E(M,t) =− ∂t −→ div B(M,t) =0 −→ −→−→ rot B(M,t) = 0 j(M,t) On en dÉduit la conservation de la charge −→ div j(M,t) =0 On nÉglige le courant de dÉplacement, et le champ magnÉtique se calcule comme en magnÉtostatique 2009/2010page 60http://chimiephysique.hautetfort.com/