CI.6 MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES CI 6 MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES On supposera comme dans les chapitres précédents que les solides sont géométriquement parfaits et indéformables. On constate que les ensembles mmaattéérriieellss ssee ddééppllaacceenntt eett ssee ddééffoorrmmeenntt. OOnn aassssoocciiee llee tteerrmmee général de « force »»» aaauuuxxx cccaaauuussseeesss dddeee ccceeesss ppphhhééénnnooommmèèènnneeesss... PPPooouuurrr pppooouuuvvvoooiiirrr mmmeeettttttrrreee eeennn éééqqquuuaaatttiiiooonnnsss llleeesss ppphhhééénnnooommmèèènnneeesss ppphhhyyysssiiiqqquuueeesss qui nous préoccupent, on va associer un modèle mathématique à ce concept de force ou plutôt d’action mécanique. I. MISE EN EVIDENCE. Tout système est en permanence soumis à des actions. Exemple de la pince Schrader : LL’’aaccttiioonn dduu ppooiiggnneett ssuurr llaa ppiinnccee,, ll’’aaccttiioonn ddee llaa ppiièèccee sur la pince… On appelle ces Actions : Actions Mécaniques. Robot Shrader Définition d’une AM. OOnn aappppeellllee AAccttiioonn MMééccaanniiqquuee ((nnoottééee AAMM)) ttoouuttee ccaauussee ccaappaabbllee :: - de maintenir un corps au repos, Modèle global - de créer ou modifier un mouvement, - de déformer un corps. Modèle local O SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L'INGENIEUR 1 fifiljCI.6 MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES Pince ...
MODELIS TIONDESACTI NSMECANIQ ES Onsupposeracommedansl s chapitres précédents que les solidessontgéométriquementparfaits et indéformables. On constate que les ensembles matérielssedéplacentetsedéforment. Onassocieetermegénéral de « force »auxcausesdecesphén mènes.Pourpouvoirmettreenéquationslesph nomènesphysiquesquinouspréoccupent,onvaassocierunmodèlemathématiqueàceconceptdefo ceouplutôt d’action mécanique.
I.
MISEENEVI
ENCE.
Toutsystèmeestenpermanencesoumisàdesaction Exemple de la pince Schrader : L’actiondupoignet sur la pince, l’actiondelapiècesur la pince… On appelle ces Actions :ActionsMécaniques. Définition d’une AM. OnappelleActionMécanique(n téeAM)toutecausecapable: -demainteniruncorpsarepos, -decréeroumodifierunouvement, de déformer un corps. -
SCIENCESINDUSTRIELLES POUR L'INGE
IEUR
Modèle global
Modèle local
Robot Shrader
O
1
CI.6MODELISATION DESACTIONSMECANIQUES
II.
MODELISATION LOCALE
Pince Shrader seule
1.NCE(QUIAGISSENATCISUNRUQLSEEADSIATLEACSONTIMESVOLUME).Chaque élément de volume de l’ensemble matériel subit une action mécanique élémentaire. (action volumique)df(Q)1Φ(Q).dVExemples : Attraction terrestre (action de la pesanteur). Champ magnétique d’un aimant (action magnétique)…
2.CTANSIOECMIQANSEUCEDATNO(TCQUIAGISSENTSURLAESL SURFACE)Elles s’appliquent directement sur la surface frontière des ensembles matériels en contact (action ponctuelle ou surfacique).df(Q)1l(Q).dSExemples : Entre deux solides (action de liaison). Entre un solide et un fluide (action de pression)…
3.DOMACOLELECENAQIEULD’UNEACTIONM
Principe de ce modèle :Représenter localement toutes lesactions mécaniques élémentairesen tout point Q où elles agissent : c'est7à7dire sur un volume élémentairedvou une surface élémentaire ds. Objectif de ce modèle :de contact, et des déformations de solides (notions quiEtudier des pressions sortent du cadre de votre programme) Modélisation par unchamp de vecteursdf(Q): Exemple de l’action mécanique élémentaire de contact de la pièce sur le doigt de la pince :
Q
dfpièce|doigt(Q)
SCIENCESINDUSTRIELLES POUR L'INGENIEUR
Cette action mécanique élémentaire est modélisée en son point d’application Qpar un vecteur liédfpièce|doigt(Q)dont les caractéristiques sont : • un point d'application Q, • une direction, • un sens, • une intensité dont l’unité est le NEWTON (N).
2
CI.6MODELISATION DESACTIONSMECANIQUES
III.MODELE GLOBAL : TORSEUR D’EFFORT ASSOCIE
Principe de ce modèle :Représenter globalement lesactions mécaniques(dans le cas de solides indéformables). Objectif de ce modèle :le mouvement (avec actions mécaniques) de solidesEtudier l'équilibre ou indéformables. Cette représentation fait disparaître l’effet local, mais est très efficace pour appliquer les lois de la Mécanique : Principes fondamentaux de la Statique (PFS) ou de la Dynamique (PFD). Modélisation par untorseur(résultante + moment) :
1èreétape : Notion de résultante :Rpièce|doigt1∫dfpièce|doigt(Q)D Exemple de l’action mécanique de contact de la pièce sur le doigt de la pince : Cette action mécanique est modélisée en un point A particulier Apar un vecteur liéRpièce|doigtO(appelée résultante)dont les caractéristiques sont : Rpièce|doigtcationAd'appliidertcoi,•nuen,tniopnu• • un sens, • une intensité dont l’unité est le NEWTON (N). Rpièce|doigt1∫dfpièce|doigt(Q) (Rpièce|doigtest la somme de tous les petitsdfpièce|doigt(Q)) D
où D est le domaine sur lequel s’exercent les actions mécaniques élémentaires (une surface ou un volume).
2èmeétape : Notion de moment résultant :MO,pièce|doigt1∫OQÙdfpièce|doigt(Q). D La modélisation de l’action mécanique par une résultante en un point particulier est : ·suffisante pour un point appartenant au support de l’action,puisqu’elle prend en compte l’action de tirer ou pousser. ·pour un point n’appartenant pas au support de l’action,insuffisante puisqu’elle ne prend pas en compte l’action de tordre. En effet si on s’intéresse à l’effet de l’action mécanique précédente au point O, celle7ci a tendance à : 7 pousser le doigt dans une direction verticale parallèle àRpièce|doigt. 7 tordre le doigt autour de l’axe z.
SCIENCESINDUSTRIELLES POUR L'INGENIEUR
3
CI.6MODELISATION DESACTIONSMECANIQUES
Par conséquent, nous modéliserons l’action mécanique de la pièce→doigt en O : MO,pièce|doigt
Rpièce|doigt
d
par unerésultanteRpièce|doigt qui a tendance à pousser dans une direction(résultante inchangée par rapport à celle modélisée en A) et par un 2èmevecteur lié (appeléemoment notée et MO,pièce|doigtqui a tendance à tordre autour d’un axeet dont les caractéristiques sont : • un point d'application, • une direction, • un sens, • une intensité dont l’unité est le NEWTON MÈTRE (N.m).
Rpièce|doigt1∫dfpièce|doigt(Q) etMO,pièce|doigt1∫OQÙdfpièce|doigt(Q)D D où D est le domaine sur lequel s’exercent les actions mécaniques élémentaires (une surface ou un volume).
Bilan : Torseur de l’action mécanique globale. Lorsque l’on s’intéresse, pour une résultante, à un point différent d’un des points de son support, on dit que la résultante induit un moment par rapport à ce point. Ainsi, pour traduire avec précision les effets d’une action mécanique en n’importe quel point d’un solide, il faut caractériser cette action mécanique par une Résultante et un Moment (ceux7ci pouvant être nul). C’est pourquoi, nous utiliserons l’outil mathématique qui permet de regrouper ces 2 informations : le torseur. Définitiondu torseur d’action mécanique: Le torseur d’action mécanique estdéfinien un point donnépar ces« deux éléments de réduction »: ·une résultante du point d'expression du torseur. indépendante ·un momentMfonction du point choisi. ∫|) 1 2R1|2Ddf1 2(Q 11OD∫Ù |OMO,1 2OQ df1 2(Q) | | MA,1|21MB,1|2#R1|2ÙBA
Rappel :
Remarque : Calcul du moment d’un glisseur par la méthode du « bras de levier ». dMO,1|21MA,1|2#OAÙR1|2
IENC
STRIELLES POUR
Rpièce|doigt
GENIEUR
4
dfpes|1(Q)1Λ(Q).g.dv1Λ.g.dv solide homogène) (car
3.BAL.GLODELEOM
1
Selon la définition d’une résultante :Rpes|11vol∫umdefpes|1(Q)1vol∫umeΛ.g.dv1Λ.g.vol∫umdev1Λ.g.V1m.g
NOTION DE POIDS:Rpes|11m.g.
Q
dv
1 % MO,1|2d.R1|2.z
M O,1|21d.R1|2d est appelé bras de levier (distance entre le point O et le support de la résultante au point A).
.y)
MO,1|21(d.x#?.y)Ù(%R1|2
CI.6MODELISATION DESACTIONSMECANIQUES
dFpes|1(Q)
z
SCIENCESINDUSTRIELLES POUR L'INGENIEUR
5
Λ( Q )1 Λ 1cste 1..EGOM:ENOLIDEHOESEDUSYHOPHT Qsolide, la masse volumique reste constante :Λ( Q )1 Λ 1cste(Hypothèse qui n’est pas valable pour du béton par exemple)
2.L:OLACLEEMDOdfpes|1(Q)1 Λ(Q).g.dv.
ACTION MECANIQUE A DISTANCE : CAS DE LA PESANTEUR.
IV.
Soit un solide 1, de volume V, placé dans le champ de pesanteurgtel que g1 %g.z (Par défaut, on prend :g19,81 m.s%2).
Le champ de la pesanteur est orienté suivant la verticale descendante. Il produit en tout point Q du solide 1 une action mécanique élémentaire dfpes|1(Q)proportionnelle au volume élémentaire dv entourant Q :
CI.6MODELISATION DESACTIONSMECANIQUES
NOTION DE CENTRE DE GRAVITE:V.OG1∫OQ.dv . volume Selon la définition d’un moment : MO,pes|11vol∫umOeQÙdFpes|1(Q)1vol∫umOeQÙ Λ.g .dv1vol∫umOeQ.dvÙ Λ.gPour simplifier l’expression de ce moment, on choisit de l’exprimer non au point O mais en un point G, tel quevolu∫mGeQ.dv10. Ainsi en ce point G,MG,pes|11vol∫uGQ.dvÙ Λ.g10. me Le point G peut être également définit en faisant intervenir le point O, origine du repère : 01∫GQ.dv1∫(GO#OQ).dv1∫GO.dv#∫OQ.dv1V.GO#∫OQ.dv⇒volume volume volume volume volume V.OG1∫OQ.dv volume Le point G ainsi défini, appelé centre de gravité, est le barycentre des points Q chacun pondéré du facteur dv. Action de la pesa Expression globale :pes|11G.m0gpesanteur est donc un torseur glisseur dont. Le torseur de la l’expression la plus simple est obtenue en G. L’axe central du torseur passe par le centre de gravité et est vertical. NB : Pour les solides dont une dimension est négligeable (plaque) ou pour les solides unidimensionnels (fil), le domaine d’intégration est une surface (S) ou une ligne (L).
V.
LOIS DE COULOMB
1.ONDNOTIEREN’ADH.EECRFTETTOTNEM
1/
2/
3/
4/
Le frottement ou l’adhérence sont des phénomènes qui tendent à s’opposer au mouvement ou, à la tendance au mouvement relatif de 2 pièces en contact.
S’il existe un mouvement relatif entre les 2 pièces en contact, on dit qu’il y a frottement.
S’il existe une tendance au mouvement relatif entre les 2 pièces en contact (mais sans mouvement…), on dit qu’il y a adhérence.
L’équilibre strict se situe juste avant le mouvement (il n’y a pas encore de mouvement).
Soient deux solides S1 et S2 en contact sur une surface S. L’action mécanique élémentairedF1|2(Q)au point Q se projette sur la normale et dansde S1 sur S2 le plan tangent commun à S1 et S2 en Q telle que :dF1|2(Q)1dN1|2(Q)#dT1|2(Q) oùdN1|2(Q)caractérise la répartition d’action normale (pression de contact)dN1|2(Q)1p(Q).ds dT1|2(Q)caractérise la répartition d’action tangentielle (adhérence ou frottement) dT1|2(Q)σ ma lim ite.dN1|2(Q)
Cas de l’adhérence
Vitesse de glissementVQÎ2 / 110Cône S2 d’adhérence
dN1|2(Q)
a limite
a
dF1|2(Q)
Q
Cas de l’adhérence limite
Vitesse de glissementVQ 2 / 110Î
Cône S2 d’adhérence
dN1|2(Q)dF1|2(Q)
a limite
Q
Cas du frottement
Vitesse de glissementVQÎ2 / 1¹0
Cône de frottement
S2
dN1|2(Q )
VQÎ 12 /
Q
f
dF1|2( Q)
(Q) dsdT1|2(Q) (Q)dsdT1|2(Q ) ( Q)dsdT1|2( Q)S1 S1 S1 Φa(angle d’adhérence)Φa lim ite(angle d’adhérence limite)Φf(angle de frottement) dT1|2(Q)0 ma limite. dN1|2(Q)dT1|2(Q)1 ma limite. dN1|2(Q)dT1|2(Q)1 mf. dN1|2(Q)avec coef d’adhérencemitelima1tanΦtelimai coef d’adhérence avecmaimleti1tanΦetiamilavec coef de frottementmf1tanΦfL’action mécanique élémentaire L’action mécanique élémentaire L’action mécanique élémentaire dF1|2(Q)se situedF1|2(Q)se situedF1|2(Q)se situe DANS le cône d’adhérenceSUR le cône d’adhérenceSUR le cône de frottement(de sommet Q et de demi7angle au sommetΦalimit) (de sommet Q et de demi7angle au sommetΦalimitsommet Q et de demi7angle au sommet) (deΦf) L’action tangentielle d’adhérence L’action tangentielle d’adhérence L’action tangentielle de frottement dT1|2(Q)s’oppose à la tendancedT1|2(Q)s’oppose à la tendancedT1|2(Q)s’oppose au glissement au glissement de 2/1. au glissement de 2/1. de 2/1 : La direction dedT1|2(Q)est donc La direction dedT1|2(Q)est doncVQÎ2 / 1ÙdT1|2(Q)10(colinéaire) ipnadséltaertmenindéaencpeuiasuqugelils’soenmneentcodnen2a/ît1niédeteépmrnieuliuqsnec’onponnetalsaaecnadnseisgluedntme2a/î1tVQÎ2 /1·dT1|2(Q)00(de sens opposé)
SCIENCESINDUSTRIELLES POUR L'INGENIEUR
7
CI.6MODELISATION DESACTIONSMECANIQUES
entielles
Récapitulatif sur l’évolution des actionsan d’adhérence Taet de frottement Tf. L’action tangentielle de frottement Tfesàl’originedespertes d’énergie par frottement.
Sil’objetestarrêtéilfaudra,pourlere ettreenmouvement, fournir une action F >malim te.N. Les différentesphasessontrésuméessuregraphique :
Adhéren e ma limite=tanΦa limiteMatériaux en A sec L brifi contact
Frottement mf= tanΦf
A sec
Lubrifié
Ils dépendent essentiellement : 0,09 0,18 0,12 0,15Acier sur acier de la natureducoupledematériauxencontact, 0,19 0,10 0,16 0,08 à 0,04Acier sur fonte delarugositédessurfacesencont ct, 0,10 0,10 0,09Acier sur bronze 0,11 de la lubrification (sec ou lubrifié), 0,04 0,04Téflon sur acier delatempératureauniveaud ssurfacesen à 0,04 0,20 0,08Fonte sur bronze 0,10 contactquipeutfavoriserdesmicr souduresoulaNylon sur acier 0,12 0,35 rupturedufilmd’huilesilecontacest lubrifié, 0,16 à 0,20 à 0,04 0,65Bois sur bois 0,40 0,20 de la vitesse de glissement… 0,10 0,50 à 0,20 0,08 à 0,02Métaux sur bois 0,60 à 0,50 Métal sur glace 0,02 Toutefois, en première approximation,ocorèesndi0,30 à 0,10 quelertèmarapentradénopérpconce nePneu voiture sur 0 80 0 , uniquementlaentaruducoupledexauritéaentluléeoroslomiuusr,60 contact.NB :Lecoefficientd’adhér nceesttoujourssupérieuraucoefficientefrottementma lim ite2 mf).Maisétantd nnélegrandnombredeparamètresquii terviennentdansleurdétermination,onconsidèresouvent,parmesuredesimplification,qucesdeuxcoefficientssont égaux et nommésmouf.
SCIENCESINDUSTRIELLES POUR L'INGE
IEUR
8
CI.6MODELISATION DESACTIONSMECANIQUES
VI.ACTION MECANIQUE TRANSMISSIBLE PAR UNE LIAISON PARFAITE.
1.IT.FOECBJ Nous allons nous intéresser auxpossibilités de transmission d’actions entre les piècesconstituant une liaison parfaite (compte tenu de la géométrie des surfaces de contact).
2.ARPITFA.ESRUSSELIAILSNOSRAPPELUne liaison parfaite est définie par : ·des surfaces de contact géométriquement parfaites, ·des jeux de fonctionnement nuls entre les surfaces de contact, ·un contact entre surfaces supposé sans adhérence.
TUDE DE L ACTION MECANIQUE TRANSMISSIBLE PAR UNE GLISSIERE
Soit la liaison glissière de direction supposée parfaite entre les pièces 1 et 2 :
Quels sont les mouvements élémentaires possibles ? Translation suivant la direction .
Peut7on transmettre une action de 1 sur 2 suivant ce degré de liberté ? Non.
En revanche peut7on transmettre une action de 1 sur 2 suivant les 5 degrés de liaison ? Oui, les composantes de la résultante Y, Z et les composantes du moment L, M et N sont transmises d’une pièce à l’autre.
Ainsi il existe une dualité entre le torseur cinématique et le torseur de l’action mécanique transmissible par la liaison glissière : Form é le FormegénéraleduTorseurdeel’gactniéornamécaniq du Torseur cinématique
0 L 2|11OY22||11MO,2O,2O|||11 Z N,2 1(x,y,z)
Généralisons. Lorsqu’un degré de liberté est supprimé entre 2 solides 1 et 2, il en résulte alors une composante dans le torseur de l’action mécanique transmissible de 1|2 (qui empêche le mouvement).