Cours-supelec0910-AnaFonct

Description

Mathematiques avancees : AnalysefonctionnelleAnnee 2009-2010Angela PasqualeRelectures et corrections par Philippe Bonneau Laboratoire de Mathematiques et Applications (LMAM), Universite PaulVerlaine { MetzE-mail address: [e-mail] des matieresIntroduction 51. Notations et rappels 6Chapitre 1. Operateurs et formes lineaires 91. Operateurs lineaires bornes 92. Dual topologique d’un espace vectoriel norme 103. Topologies faibles 14Chapitre 2. Operateurs compacts 171. Operateurs de Hilbert-Schmidt 19Chapitre 3. Theorie spectrale des operateurs compacts autoadjoints sur un espace deHilbert 25Bibliographie 293IntroductionL’analyse fonctionnelle est la partie de l’analyse qui etudie les espaces vectoriels de dimensionin nie sur R ou sur C ainsi que les applications lineaires sur ces espaces. Ce qui distinguel’analyse fonctionnelle de l’algebre lineaire est le r^ole important joue par la topologie. Sur1les espaces vectoriels de dimension nie toutes les normes sont equivalentes , donc ellesde nissent la m^eme topologie. En outre, toute application lineaire est automatiquementcontinue. Dans le cas de dimension in nie les choses ne sont pas aussi simples.Considerons par exemple l’espace C([0; 1]) des fonctions continues sur [0; 1] a valeurscomplexes, muni de la structure d’espace vectoriel complexe habituelle. Les normesZ1kfk := jf(x)j dx et kfk := sup jf(x)j1 10 x2[0;1]ne sont pas equivalentes sur C([0; ...

Informations

• Publié par: Injie
• Nombre de lectures: 28
• Langue: Français

Extrait

Math´ematiquesavance´es:Analyse fonctionnelle Anne´e2009-2010

Angela Pasquale

Relectures et corrections par Philippe Bonneau

LaboratoiredeMathe ´ matiquesetApplications(LMAM),Universite ´ Paul Verlaine – Metz E-mail address:[e-mail]

Tabledesmati`eres

Introduction 1. Notations et rappels Chapitre1.Op´erateursetformeslin´eaires 1.Op´erateursline´airesborne´s 2.Dualtopologiqued’unespacevectorielnorm´e 3. Topologies faibles Chapitre2.Op´erateurscompacts 1.Op´erateursdeHilbert-Schmidt Chapitre3.Th´eoriespectraledesope´rateurscompactsautoadjointssurunespacede Hilbert Bibliographie

3

5 6 9 9 10 14 17 19 25 29

Introduction

L’analyse fonctionnelleemsnedidoinesvespacielsctorte´iuqeseseleiduedtiaraplyna’aeltles infinie surRou surCeugnitsiseseapec.seCuqdinslin´eairessurcleuqpasecilpoitaasiin l’analysefonctionnelledel’alg`ebrelin´eaireestlerˆoleimportantjoue´parlatopologie.Sur lesespacesvectorielsdedimensionfinietouteslesnormessont´equivalentes 1 , donc elles d´efinissentlameˆmetopologie.Enoutre,touteapplicationlin´eaireestautomatiquement continue. Dans le cas de dimension infinie les choses ne sont pas aussi simples. Conside´ronsparexemplel’espaceC([0,1]) des fonctions continues sur [0,a]l`av1rseu complexes, muni de la structure d’espace vectoriel complexe habituelle. Les normes 1 kfk 1 := Z 0 xetkfk ∞ := x s ∈[ u 0, p 1] |f(x)| |f(x)|d nesontpase´quivalentessurC([0,1,m])soaian’lnie´agil´tekfk 1 ≤ kfk ∞ pour toutf∈ C([0,quertronuxdeesec1mruoP.)]valeequi,oncntesseenonmrap´sostnuiteelasd`eronsi de fonctions{f n }avecf n (x) :=x n . Alors 1 1 kf n k 1 = Z 0 x n dx= +1 →0 pourn→ ∞, n kf n k ∞  tout pour= 1n . Ainsi la suite{f n }crevnap0sevnoeegroptrrrpaa`k ∙ k 1 , mais elle ne converge pas uni- forme´mentvers0surl’intervalle[0,1]. Sionconsid`eremaintenantl’espaceX=C 1 ([−1,1]) des fonctions complexes de classe C 1 sur [−1,1], muni de la normekfk ∞ = sup x∈[−1,1] |f(x)|, alors l’applicationT:X→C de´finieparT(f) =f 0 (0) estC-lin´aire, mais pas continue. En effet, soit{f n }la suite de e fonctionsd´efiniespourn≥1 par f n (x) =  sin(n 2 x) . n Alors{f n }vers0sur[grueinofmre´emtncveon−1,1], maisT(f n ) =nconverge vers∞et pas versT(0) = 0.

1. On rappelle que deux normesk ∙ ketk ∙ k 0 sur un espace vectorielXsontivqu´esteenals’il existe deux constantesC >0 etC 0 >0 telles que pour toutx∈Xon a Ckxk ≤ kxk 0 ≤C 0 kxk. Cetteconditioneste´quivalente`alasuivante:Toutesuite{x n }inXconverge versx∈Xpourk ∙ ksi et seulement si elle converge versxpourk ∙ k 0 . 5

1. Notations et rappels Dansceparagraphenouscommenc¸onsparintroduirelesnotationsquiserontemploye´es ensuiteetnousrappelonsbri`evementlesd´efinitionsd’espacesdeBanachetdeHilbert. Nousde´signeronsparN,Z,RetCles ensembles usuels de nombres. Ainsi,Rsera par exemplel’ensembledesnombresre´elsetCiulecbromsndelempcoesaLapex.s´reetrei’unlled nombre complexezt´eeranoseeRz; la partie imaginaire dezotanersmIee´z. Onconside`redanscequisuitdesespacesvectorielssuruncorpsKqui seraRouC. Soit Xun espace vectoriel surK. UnenormesurXest applicationx7→ kxkdeXdans [0,∞[ quive´rifielestroisconditionssuivantes: (1)kx+yk ≤ kxk+kykpour toutx, y∈X, (2)kλxk=|λ| kxkpour toutx∈Xetλ∈K, (3)kxk= 0 si et seulement six= 0. Un espace vectoriel muni d’une norme est dit unspacevecemre´otirleon. Exemple1 (Exemples en dimension finie).Pour toutx= (x 1 , x 2 , ..., x n )∈K n on pose : (1)kxk ∞ := sup i=1,...,n |x i |, (2)kxk p := ( P i n =1 |x i | p ) 1/p (pourp≥1 ; pourp=,2noerrtuoevalnormeassoci´eeau produit scalaire euclidien ou hermitien usuel). Les applicationsk ∙ k ∞ etk ∙ k p sont des normes surK n . Exemple2 (Exemples en dimension infinie).(1) SoitXun ensemble non vide,M une tribu surXuressmlembseenesnfinete)selba´emes´elntle(doe´lspplenoattnss soitµune mesure surM. Deux fonctions mesurables surXurscomplexesa`avel sontditese´quivalentes(etparlasuiteidentifie´es)lorsqueellessontpresquepartout e´gales.Pour1≤p <+∞, l’espaceL p (X,M, µ) est l’espace vectoriel des (classes d’´equivalencedes)fonctionsf:X→C’balseelssesrruueemsumstanpfieeci,d´er´e (X,M, µ) et pour lesquelles Z X µ  1/p <∞. kfk p :=|f| p d Icikfk p ade´isnglenormeL p def. Suivant le contexte, les symbolesMetµpeuvent etre sous-entendus dans la notationL p (X,M, µon);sacecsnadarirce´L p (X). ˆ (2) Soit (X,M, µapecemus)nuseu’tqfoune.r´diOnaruselbitcnemnof:X→C estbontmelee´erneleitnesss’il existe un presque majorant de|f|,c’-tsed-a`uerien constanteC≥0 telle que|f(x)| ≤Cesquetout´el´emeoprunrtpx∈X. Dans cecas,onde´finitlabornesupe´rieureessentiellesupess|f|comme l’inf des presque majorants. L’espaceL ∞ (X,M, µroeentablnteseeulctnen’opiss´cda)es(classes d’´equivalencede)fonctionsessentiellementborn´ees(larelationd’´equivalencee´tant l’e´galite´presquepartout).Ilestmunidelanormekfk ∞ := sup ess|f|. Unespacevectorielnorme´estunespacem´etriqueparrapporta`ladistanced(x, y) := kx−yk. Une suite (x n )tediquristeeecapte´msnadsenusuite de Cauchysi pour tout >0 il existe unN∈Ntel que pour tout > Nn, mon ad(x n , x m )< eriqu´mteapecnUse.X est ditcompletsi toute suite de Cauchy deXa une limite dansX. Unespace de Banach estunespacevectorielnorme´completpourladistanceissuedesanorme. 6

Exemple3.sesenodttes2el1sxempdesem´essnoresdcepapaessvcetoecelriseL Banach. Pourλ∈Ktinfie´dnoλcenjugu´edommelecoλsiK=Cet commeλsiK=R. SoitX un espace vectoriel surK. Unproduit scalairesurXest une applicationh∙,∙i:X×X→K i´ifielesproprie´t´essuivantespourtoutx, y, x 0 ∈Xetλ, µ∈K: qu ver (1)hλx+µx 0 , yi=λhx, yi+µhx 0 , yi, (2)hx, yi=hy, xi (3)hx, xi ≥0 , (4)hx, xi= 0 si et seulement six= 0 . Unespace de Hilbertest un espace de BanachXdont la normek ∙ kdeu’pnoruddtei´oclu scalaireh∙,∙ipar la formulekxk= p hx, xipour toutx∈X. Exemple4.Les espaces de Banach des exemples 1 et 2 sont des espaces de Hilbert pour p= 2. Les produits scalaires sont n hx, yi:= X x j y j , j=1 hf= Z X (x)g(x)d , gi:f µ(x)

pourK n , et pourL 2 (X).

7