Cours sur la dérivation

Costantini

Description

DÉRIVATIONI) NOMBRE DÉRIVÉDéfinition 1On dit qu'une fonction ƒ définie sur un intervalle I contenant a est dérivable en a s'il existe un réel A tel que : pour tout réel h tel que a + h ˛ I : ƒ(a + h) = ƒ(a) + Ah + hj(h) avec lim j(h) = 0hfi0Le nombre A s'appelle nombre dérivé de ƒ en a ; on le note ƒ'(a).Exemple :2La fonction ƒ, définie sur  , par ƒ(x) = x + 3x – 4 est-elle dérivable en a ?Pour le savoir, calculons ƒ(a + h) :2 2 2 2ƒ(a + h) = (a + h) + 3(a + h) – 4 = a + 2ah + h + 3a + 3h – 4 = a + 3a – 4 + (2a + 3)h + h·hƒ(a + h) = ƒ(a) + Ah + hj(h) avec A = 2a +3 et j(h) = h (et on a bien j(h) = 0).limhfi0Conclusion : la fonction ƒ est dérivable pour tout réel a. Son nombre dérivé est A = 2a + 3.Exercices : calculer (s'il existe) le nombre dérivé A de la fonction "carré", d'une fonction affine ƒ(x) = mx + p etd'une fonction constante ƒ(x) = k.Le théorème suivant est un critère pour voir si une fonction est dérivable en a (car ce n'est pas toujours facile dele vérifier avec la définition)Théorème 1Une fonction ƒ est dérivable en a si et seulement si la limite suivante existe et est finie :ƒ (a+h)-ƒ()alimhfi 0 hSa valeur A est alors le nombre dérivé de ƒ en a.ƒ(a +h)-ƒ()aVocabulaire : la quantité s'appelle l'accroissement moyen de ƒ entre a et a + h.h(Ou encore le "taux de variation" ou "taux d'accroissement", selon les ouvrages)3Exemple : La fonction ƒ définie par ƒ(x) = x – 7 est-elle dérivable en a = 2 ?Pour le savoir, évaluons la limite de ...

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Extrait

I) NOMBRE DÉRIVÉ

Définition 1

DÉRIVATION

On dit qu'une fonctiondéfinie sur un intervalleIcontenantaest dérivable enas'il existe un réelAtel que : pour tout réelhtel quea+h ∈ I:(a+h)= (a) +Ah+hϕ(h) avec  lim ϕ(h)=0 h→0

Exemple :

Le nombreAs'appelle nombre dérivé deena; on le note'(a).

La fonction, définie sur, par(x)= x 2 + 3x– 4 est-elle dérivable ena?    

Pour le savoir, calculons(a+h) : (a+h)=(a+h) 2 + 3(a+h) – 4= a 2 + 2ah+h 2 + 3a+ 3h– 4=a 2 + 3a– 4 + (2a+ 3)h+hh    

(a+h)= (a) +Ah+hϕ(h) avecA =2a+3 etϕ(h)= h  lim (et on a bienϕ(h)=0). h→0

Conclusion : la fonctionest dérivable pour tout réela. Son nombre dérivé estA =2a+ 3.

Exercices : calculer (s'il existe) le nombre dérivéAde la fonction "carré", d'une fonction affine(x)= mx+pet

d'une fonction constante(x)= k.

Le théorème suivant est un critère pour voir si une fonction est dérivable ena(car ce n'est pas toujours facile de

le vérifier avec la définition)

Théorème 1

Une fonctionest dérivable enaseulement si la limite suivante existe et est finie :si et

lim (a+h) (a) h→0 h Sa valeurAest alors le nombre dérivé deena.

Vocabulaire : la quantité (a+ h h) (a) s'appelle l'accroissement moyendeentreaeta+h. (Ou encore le "taux de variation" ou "taux d'accroissement", selon les ouvrages)

Exemple : La fonctiondéfinie par(x)= x 3 – 7 est-elle dérivable ena =2 ?

Pour le savoir, évaluons la limite de la quantité suivante : (a+h) (a) = (2+h) 3 72 3 +7 = 12h+6h 2 +h 3 =12 + 6h+h 2 h h h D'où : lim (a+h) (a)  12 = h→0 h Doncest dérivable ena =2, son nombre dérivé en 2 est'(2)= 12.

Exercice :

Montrer que la fonction racine carré (:x  a

Dérivation

On simplifie d'abord l'expression avant d'étudier sa limite.

x ) est dérivable en tout point de ]0 ;∞[ mais pas en 0.

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Démonstration du théorème

Siest dérivable, l'accroissement moyen n'est autre, d'après la définition, que la quantitéA+ϕ(h).

Donc la limite de l'accroissement moyen (quandhtend vers 0) estA(puisqueϕ(h) tend vers 0). Réciproquement, si la limite de l'accroissement moyen existe et vautA, alors il existe une fonctionϕ qui tend

vers 0 telle que (a+h h ) (a) = A+ϕ(h), donc on a bien l'écriture(a+h)= (a) +Ah+hϕ(h).

II) INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE DU NOMBRE DÉRIVÉ

SoitCla courbe représentative d'une fonctiondérivable ena.

On considère le pointA(a;(a)) et le pointB(a+h;(a+h)).

Le coefficient directeur de la droite (AB) est : (a+h) (a)(a+h) (a) = a+ha h

Lorsque le pointBs'approche du pointA(lorsquehtend vers

0), le coefficient directeur de (AB) tend vers le nombre

dérivé'(a) et la droite (AB) devient tangente àC (un seul

point de contact).

Propriété

(a+h)

(a)

a

C

a+h

(AB)

Le nombre dérivé'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbeCau pointAe d a'sbicssa.

Équation de la tangente :

( ) On a'(a)=  y a pour tout pointM(x;y) de la tangente àCenA, ce qui nous en donne une équation : xa y =  (a)+ '(a) (x–a)

III) FONCTION DÉRIVÉE

tangente

Nous avons vu dans un exemple précédent, que la fonction par définie(x)= x 2  + 3x 4 est dérivable pour – tout réela et que son nombre dérivé ena estA = '(a)= 2a +est donc naturel de définir une nouvelle 3. Il

fonction qui àxassocie le nombre dérivé'(x).Cette fonction s'appelle la dérivée deet se note'. La dérivée de la fonction:x a  x 2 + 3x– 4 est donc':x a 2x+3.

Définition 2

On dit qu'une fonctionest dérivable sur un intervalleIlorsqu'elle est dérivable en tout point de cet intervalle.

Dérivation

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'(x)= a

'(x)= nx n–1

'(x)=   n n +1 x

  '(x)= 2 1 x

u v

1 v

uv

n u

x

(x)= k(constante)

(x)= ax+b

(x)= x n (n1)

(x)=  1 n (n 1) x

(x) =

Fonction dérivée'

'(x) 0 =

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Dérivation

Fonction

Tableau des dérivées des fonctions usuelles

définie sur







u'v+uv'

n 'u n–1 u

v ′  2 v

′ ′ u vuv 2 v

Fonction

Fonction dérivée

Dérivée d'une somme, d'un produit, d'un inverse, d'un quotient

Dans le tableau ci-dessous,uetvfonctions définies sur un même intervallesont deux I

 *

] 0 ; +∞[

u'+v'

u  v +

20 4x4) 2

Si(x)=  2  laro s 1 1 '(x)=  (x 2 2x 1) 2 x  

Dérivée des fonctions de la forme(x) =g(ax+b)

2 +  = = Si(x)= 4 2x x + 4 3  rslo a'(x ) (4x 4 4 (x )( 4) 4 2 2x3) ( 

Si(x)= xloa+ 1    rs'(x)=  1 1 – 2 x x

Exemple

Si(x)=(3x 2 – 2) 5 alors'(x)=5(6x) (3x 2 – 2) 4  =30x(3x 2 – 2) 4

1 3 1x+x  = Si(x)= x xalors'(x)=  2x 2 x

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On remarque quepeut s'écrire(x)= g(3x– 1) oùg(t)=t.  

On admettra le résultat suivant : '(x)= a g'(ax+b) Exemple : Soit la fonctionsur nie ; [ 1 3  édif +∞[ par(x)= 3x1 . Comment la dériver ?

3 1 3x  t 1  oprut uox> . 3

Or, pour toutt> 0, on a :=  1 ,  donc'(x)= a g'(a g'(t 2 )  t x+b)=  2

Exercice : À l'aide des résultats ci-dessus, calculer les dérivées des fonctions suivantes :

1)(x)=(x 2 +x+ 1) 2

2)(x)=(x– 1) 2 (3 –x) 3

3)(x)=(x– 1) 4 (x+ 1) 4

4)(x)= x 3 (1 +

5)(x)=4x 2 x

Dérivation

x)

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 4 6)(x)=    1 1+  x x   

 2 1  = 7)(x)   x    x

8)(x)= 2

x

x+

x

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