cours sur laplace et poisson

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• Publié par: Omka
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Chapitre4 EDP elliptiques.LaplaceetPoisson ContenuduChapitre4 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.2 UneinterprétationphysiquedesEDP elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.2.1 Notiondefluxconservatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.2.2 Equilibredesloisdeconservationsencomportementlinéaire . . . . . . . . . . . . . 67 4.2.3 Équilibregénéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.2.4 Exemplesclassiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.3.1 Conditionsauxlimitesnaturelles.Existenceetunicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.3.2 PrincipesdeMaximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.3.3 Uneformulationvariationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.4 Méthodesanalytiquesderésolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.4.1 Leproblèmeuni-dimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.4.2 Lecasbidimensionnel.Séparationdesvariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.4.3 NoyaudeLaplace,dePoissonetfonctionsdeGreen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.5 Applicationsplusqueclassiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.5.1 Élasticitélinéairedessolides–Statique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.5.2 ÉcoulementdeStokes? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.5.3 Méthodesnumériquesassociées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.6 Applicationsendomainenonborné. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.6.1 Équationsintégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.6.2 FonctiondeGreen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.6.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.6.4 Méthodenumériqueassociée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Chapitre 4. EDP elliptiques. Laplace et Poisson 66/xi Notations 4.1 Introduction Dans ce chapitre, nousnousintéressonsaux EDP elliptiqueslinéaires. Si l’on considère le cas scalaire, 2c’està dire,unefonction inconnueu définiesurun domaine ouvert Ω⊂ IR età valeurs réelles,une EDP elliptiquelinéaire semetsouslaformesuivante: a(x,y)u (x,y)+b(x,y)u (x,y)+c(x,y)u (x,y)+d(x,y)u (x,y)+eu(x,y) =f(x,y) (4.1.1)xx yy x y aveca(x,y)b(x,y) > 0. nSilafonctionuestdéfiniesurΩ⊂ IR ,ondéfinituneEDP elliptiquelinéaire par Lu(x) =f(x), ∀x∈ Ω (4.1.2) oùl’opérateurdifférentielLestdéfinipar: n nX X Lu = a (x)u (x)+ b (x)u (x)+c(x)u(x) (4.1.3)ij x x i xi j i i=1,j=1 i=1 avec les valeurs propres de la matrice A = a qui sont toutes non nulles et de même signe. On rappelleij que le matrice A peuttoujoursêtre choisie symétriquedufait de la symétrieu = u et doncque lesx x x xi j j i valeurssontréelles. Uneautredéfinitiondel’ellipticité del’équationpeutêtredonnée: n nX X 2 n∃α> 0, a ξ ξ ≥α ξ ,∀ξ∈ IR (4.1.4)ij i j i i,j=1 i=1 quipeutseréécrire: T 2 n∃α> 0,(Aξ,ξ) =ξ Aξ≥αkξk ,∀ξ∈ IR (4.1.5) Cette définition implique que la matrice A est définie positive et puisque nous sommes en dimension finie,onaéquivalence entre(4.1.4) etle faitquetouteslesvaleurspropressontstrictementpositives.Ona d’ailleursqueleminimumdesvaleurspropresestα .0 3 3Enfin, dans le cas vectoriel, nous limiterons au cas u : Ω ⊂ IR 7! IR où le système d’équations est 1gouvernéparlelaplacien ,Δu. 4.2 UneinterprétationphysiquedesEDPelliptiques 4.2.1 Notiondefluxconservatif Une interprétationphysique des équations elliptiques provient de la notion de flux conservatif donné par un gradient. Cette notion fournit un modèle mathématique pour des lois de conservation à l’équi- libre encomportementlinéaire. Comme on le verra, cela peutêtre appliqué à de nombreux domaines des sciencespourl’ingénieur. Considérons une grandeur scalaire u(x) (Température, concentration chimique, ...). Comme pour les équationsdetransport,onassocieunflux(Chaleur,matière,...)etonconsidèrequecefluxversl’extérieur 2decettequantité,q(x)estnulàl’équilibre ,soitZ q(x).n ds = 0 (4.2.1)x ∂ω 1Lanotiond’ellipticitépeutêtreétendueendimensioninfiniepourdesopérateursvectoriels,voir(RENARDY&ROGERS,1993) 2Onditaussiqu’ilestauto-équilibré Version 0.3 du 2007-10-08 15:2067/xi 4.2. Une interprétation physique des EDP elliptiques quelquesoitlevolumed’intégrationω inclusdansΩ.Enutilisantlaformuledivergence-flux,onobtient:Z div q(x)dx = 0 (4.2.2)x ω Ensupposantunebonnerégularitépourq(x),onobtientuneversionlocale decetteéquation: div q(x) = 0,∀x∈ Ω (4.2.3)x dufaitdel’indépendanceduvolumed’intégration. Sil’onsupposedeplusquecefluxestunefonctionlinéairedugradient,∇u,etorientédansladirection opposée(les flux se font souvent de façon opposéeau gradient d’une grandeur), on peut alors écrire que q(x) =−a(x)∇ u.Onobtientuneloideconservationàl’équilibre dutype:x div (a(x)∇u(x)) = 0 (4.2.4)x Poura(x)≡ 1,onobtientlaplussimpledeséquationselliptiques,l’équation de Laplace: div∇u(x) = Δu(x) = 0 (4.2.5) 4.2.2 Equilibredesloisdeconservationsencomportementlinéaire D’une manière plus générale, le raisonnement précédent peut être mené en considérant les lois de conservations dans les milieux continus présentées au § 3.1. Les ingrédients principaux qui vont nous conduireàunegrandefamille d’équationselliptiquessontlessuivants: – Conservationd’unegrandeur – Milieuimmobileetrégimestationnaire – Loidecomportementlinéaire entrelefluxdecettegrandeuretlegradient. Lesdeuxpremièresnotionssontsouventassociéesàl’équilibre d’unsystème. dRetour sur les lois de conservations On considère un domaine Ω ∈ IR ,d = 1,...3. Pour tout sous- domaineω(t)⊂ Ω,ondéfinitunegrandeurU(t)àpartirdesadensitéspécifique(massique)u(x,t),soit:Z U(t) = ρ(x,t)u(x,t)dx (4.2.6) ω(t) oùρestlamassevolumiquedumilieu.OnsupposequelavariationdecettegrandeurU(t)nepeutsefaire queparunapportextérieurvolumique: Z ϕ dx (4.2.7)U ω(t) 3etunapportsurfaciquesurlafrontièredeω : Z − J ds, (4.2.8)U ∂ω(t) LeLemmedeCauchyaffirmealorsl’existenced’untenseurj telqueJ =j .netquel’onaitlaloideU U U conservationlocale : ∂ (ρu)+div (ρuv) =ϕ −div j , (4.2.9) x U x U ∂t En utilisant la conservation de la masse, on obtient la seconde formulation de l’équation de conservation locale,soit: Du ρ =ϕ −div j . (4.2.10)U x U Dt 3Lesigneestuneconventionquiveutquelefluxsortantestcomptecomptenégativement. Version 0.3 du 2007-10-08 15:20Chapitre 4. EDP elliptiques. Laplace et Poisson 68/xi Hypothésedemilieuimmobileetderégimestationnaire. Silemilieuestimmobile,lavitesseeulérienne, v(x,t)estalorsnulleetdoncladérivéeparticulaire seréduità: Du ∂u ∂u ρ =ρ +∇ u(x,t).v(x,t) =ρ (4.2.11)x Dt ∂t ∂t L’équationdeconservationdonnedonc: ∂u ρ =ϕ −div j . (4.2.12)U x U ∂t ∂u etsionsupposequel’onseplaceenrégimestationnaire,ρ = 0,onobtient ∂t ϕ −div j = 0 (4.2.13)U x U Hypothèse de loi de comportement linéaire On associe à cette loi de conservation, une loi constitutive dumilieu (loi decomportement)quiprécisele comportementdumilieu. Leplussimple deschoix revient àchoisirunerelationlinéaireentrelefluxetlegradientsoit: j (x,t) =A(x,t).∇ u(x,t) (4.2.14)U x Enreportantdansl’équation4.2.12,onobtient: div A(x,t).∇ u(x,t) =ϕ (4.2.15) x x U soit AΔ u+∇ A.∇ u =ϕ (4.2.16)x x x U Pour terminer, on obtient une équation de type elliptique pour peu que l’opérateur A(x) possède de bonnespropriétésdepositivité: A(x)Δ u(x)+∇ A(x).∇ u(x) =ϕ (4.2.17)x x x U Remarque On peut bien sûr établir ce type d’équation elliptique dans un cadre différent que celui de la mécaniquedesmilieuxcontinus.Ilsuffitpourceladeconsidérerdesgrandeursintégralesdutype: Z U(t) = u(x,t)dx (4.2.18) ω(t) ∂u(x,t) etdeconfondreladérivéeparticulaire avecledérivéepartielle, . ∂t 4.2.3 Équilibregénéral Pour résumé, les équations elliptiques sont beaucoup utilisées dans les sciences de l’ingénieur pour dtraduire desphénomènesstationnaires oud’équilibre surun domaine Ω∈ IR ,d = 1,2,3. Cesmodèlesse mettentsouslaformesuivante: j = −A(x)∇ u Equationdeflux (4.2.19)x divj = f −c(x)u Equationd’équilibre,oudeconservation (4.2.20) où d- lafonctioninconnuescalaireu : Ω∈ IR 7! IRestappeléeunpotentiel Version 0.3 du 2007-10-08 15:2069/xi 4.2. Une interprétation physique des EDP elliptiques d d- lafonctionvectoriellej : Ω∈ IR 7! IR estappeléeunflux d- lafonctionscalairef : Ω∈ IR 7! IRjouelerôledetermessourcesdepotentiel - lesfonctionsscalairesA(x)etc(x)sontdesdonnéesduproblème. d dNaturellement, ces notions peuvent être transportéesau cas vectoriel u : Ω ∈ IR 7! IR . La première équations’appelle plutôtune loi constitutive ou loi de comportement dumilieu. Lefluxj devientuntenseur d’ordre2(unematrice),lafonctionA(x)unetenseurd’ordre4etc(x)unefonctionvectorielle. a˘ 4.2.4 Exemplesclassiques Donnonsiciquelquesapplications classiquesdeséquationsd’équilibrelinéaires: Equationdelaconductiondelachaleur Variable Notations Titre Unité u → T Température [T] = 1K 2j → q Fluxdechaleur [q] = 1W/m 3f → f SourcedeChaleur [f] = 1W/m −2 −1A(x) → κ(x) Conductivitédumatériau [κ] = 1W.m .K c(x) → c(x)≡ 0 – La loi donnant le flux en fonction du gradient de température,(4.2.19) estappelée la loi de Fourier etla loi deconservationassurelaconservationdel’énergie. Électrostatique Variable Titre Unité u → V Potentielélectrostatique [V] = 1V ∇ u → E champélectrostatique [V] = 1Vx 2j → D Déplacementélectrique(Fluxdedensitédecou- [D] = 1As/m rant) 3f → ρ Densitédecharge [ρ] = 1As/m A(x) → ǫ(x) Tenseurdiélectrique [ǫ] =F/m c(x) → c(x)≡ 0 – La loi de Faraday en électrostatique (rotE = 0) permet de postuler à l’existence d’un potentiel élec